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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第1章解直角三角形（解析版）
1.2锐角三角函数的计算（1）
【知识重点】
无
【经典例题】
【例1】四位学生用计算器求cos 27°40'的近似值的结果如下，正确的是（ ）
A．0.885 7 B．0.885 6 C．0.885 2 D．0.885 1
【答案】A
【解析】根据计算器，可得到cos27°40'≈0.8857
故答案为：A。
【例2】а为锐角，且sinа=0.6，则（ ）
A．0°＜а＜30° B．30°＜а＜45°
C．45°＜а＜60° D．60°＜а＜90°
【答案】B
【解析】解：∵sin30°=0.5，sin45°=≈0.71，
又sinа=0.6，
∴30°＜а＜45°．
故选B．
【例3】先用计算器求：tan20°≈ ，tan40°≈ ，tan60°≈ ，tan80°≈ ，再按从小到大的顺序用“＜”把tan20°，tan40°，tan60°，tan80°连接起来： ．归纳：正切值，角大值 ．
【答案】0.3640；0.8391；1.7321；5.6713；tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°；大
【解析】tan20°≈0.3640，
tan40°≈0.8391，
tan60°≈1.7321，
tan80°≈5.6713，
tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°，
大．
【例4】用计算器求下列格式的值（结果精确到0.0001）．
（1）tan63°27′；
（2）cos18°59′27″；
（3）sin67°38′24″．
【答案】解：（1）tan63°27′≈2.0013；
（2）cos18°59′27″≈0.9456；
（3）sin67°38′24″≈0.9248．
【例5】用计算器计算:sin 51°30'+cos 49°50'-tan 46°10'的值约是 .
【答案】0.3860
【解析】sin 51°30'+cos 49°50'-tan 46°10'≈0.78261+0.64501-1.0416≈0.3860.
故答案为：0.3860.
【例6】用计算器计算下列各式的值．
（1）sin 20°（2）cos 20°（3）tan 48°（4）sin 15°32′（5）cos 49°18′（6）tan 75°3′．
【答案】解：（1）sin 20°≈0.3420；（2）cos 20°≈0.9397；（3）tan 48°≈1.1106；
（4）sin 15°32′≈0.2678；（5）cos 49°18′≈0.6521；（6）tan 75°3′≈3.745．
【例7】用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：
锐角 … … …
随着锐角A的度数不断增大， 有怎样的变化趋势？ 呢？ 呢？你能说明自己的结论吗？
【答案】解：
锐角A … … …
… 0.2588 0.3090 0.3420 0.3746 … 0.9848 0.9903 0.9945 …
… 0.9659 0.9511 0.9397 0.9272 … 0.1736 0.1392 0.1045 …
… 0.2679 0.3249 0.3640 0.4040 … 5.6713 7.1154 9.1544 …
随着锐角A的度数不断增大， 的值不断增大， 的值不断减小， 的值不断增大.
理由：在 中， ，假定 的对边不变，当 增大时，必有斜边减小，因此 的值增大；假定 的邻边不变，当 增大时，必有斜边增大，对边增大，因此 的值减小， 的值增大.
【例8】已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
求：AB边上的高（精确到0.01）；
【答案】解：作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中，，
∴CH=AC sinA=9sin48°≈6.69；
【基础训练】
1．计算sin20°﹣cos20°的值是（保留四位有效数字）（ ）
A．﹣0.5976 B．0.5976 C．﹣0.5977 D．0.5977
【答案】C
【解析】按MODE，出现：DEG，按sin20﹣cos20，=后，显示：﹣0.597 7．
故本题选C．
2．利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用该型号计算器计算sin50°，按键顺序正确的是 ．
故答案为：A．
3．用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是（ ）
A．tan 25°C．sin 27°【答案】C
【解析】因为sin27°tan 25°≈0.4663，
cos25°>cos 30°=，
所以sin 27°故答案为：C。
4．已知∠α=36°，若∠β是∠α的余角，则∠β= 度，sinβ= （结果保留四个有效数字）
【答案】54；0.8090
【解析】根据题意：∠β=90°﹣36°=54°，
借助计算器可得sinβ=0.8090．
5．用科学记算器计算：2×sin15°×cos15°=
【答案】0.5
【解析】用计算器按MODE，有DEG后，按2×sin15×cos15=显示结果为0.5．
故答案为0.5．
6．计算（结果保留小数点后四位）
（1）sin23°5′+cos66°45′
（2）sin27.8°﹣tan15°8′．
【答案】解：（1）sin23°5′+cos66°45=0.39206+0.39474≈0.7686；
（2）sin27.8°﹣tan15°8′
=0.0184172﹣0.27044937
=﹣0.252032
≈﹣0.2520．
7．用计算器求下列各式的值：
（1）cos63°17′；
（2）tan27.35°；
（3）sin39°57′6″．
【答案】解：（1）cos63°17′≈0.45；
（2）tan27.35°≈0.52；
（3）sin39°57′6″≈0.64．
8．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
求：AB边上的高（精确到0.01）；
【答案】（1）解：作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中， ，
∴CH=AC sinA=9sin48°≈6.69
【培优训练】
9．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【答案】C
【解析】sin58°=cos32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cos58°＜cos32°＜cos28°，
∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选C．
10．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关
【答案】B
【解析】sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；
cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；
tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，
所以B正确．
故答案为：B．
11．已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（ ）
A．m＞1 B．m=1 C．m<1 D．m≥1
【答案】A
【解析】解：设在直角三角形ABC中，∠A=α，∠C=90°，
故sinα=，cosα=；
则m=sinα+cosα=＞1．
故选A．
12．当45°＜θ＜90°时，下列各式中正确的是（ ）
A．tanθ＞cosθ＞sinθ B．sinθ＞cosθ＞tanθ
C．tanθ＞sinθ＞cosθ D．cosθ＞sinθ＞tanθ
【答案】C
【解析】∵45°＜θ＜90°，
∴可令θ=60°，∴tanθ= ，sinθ=，cosθ=，
∴tanθ＞sinθ＞cosθ．
故选C．
13．用计算器验证，下列等式中正确的是（ ）
A．sin18°24′+sin35°26′=sin54°
B．sin65°54′﹣sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin70°18′﹣sin12°18′=sin47°42′
【答案】D
【解析】利用计算器分别计算出各个三角函数的数值，进行分别检验．正确的是sin70°18′﹣sin12°18′=sin47°42′．
故选D．
14．某商场为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD=18°，C在BD上，BC=0.5 m.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度.小明和小亮谁说得对 请你判断并计算出符合题意的结果.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.325)
【答案】解：在△ABD中，∠ABD=90°，∠BAD=18°，BA=10，
∵tan∠BAD= ，∴BD=10×tan18°.
∴CD=BD-BC=10×tan18°-0.5≈2.8(m).
在△ABD中，∠CDE=90°-∠BAD=72°.
∵CE⊥ED，∴∠DCE=18°.∴cos∠DCE=
∴CE=CD×cos∠DCE=2.8×cos18°≈2.7(m).
∵2.7m<2.8m，且CE⊥AE，∴小亮说得对.
因此，小亮说得对，CE为2.7m.
15．如图，在一滑梯侧面示意图中，BD∥AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于
点E．BC＝1.8m，BD＝0.5m，∠A＝45 ，∠F＝29 ．
（1）求滑道DF的长(精确到0.1m)；
（2）求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF(精确到0.1m)．
【答案】（1）解：在Rt△DEF中，∠DEF＝90 ，DE＝BC＝1.8m，∠F＝29 ．
∵∴ = =3.75
（2）解：∵∴
在Rt△ABC中，∠ACB＝90 .由∠A＝45 得AC＝BC＝1.8m．
又∵CE＝BD＝0.5m，
∴AF=AC+CE+EF≈1.8+0.5+3.27≈5.6.
答：DF长约为3.8m，AF约为5.6m..
16．如图1，是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到它的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若坐板CD平行于地面，前支撑架AB与后支撑架OF分别与CD交于点E，D，ED=25cm，OD=20cm，DF=40cm，∠ODC=60°，∠AED=50°．
（1）求两支架着地点B，F之间的距离；
（2）若A、D两点所在的直线正好与地面垂直，求椅子的高度．（结果取整数）
【答案】（1）解：连接BF，过D作DM⊥BF，过E作EN⊥BF于N，
则MN=DE=25cm，EN=DM，
∵DE∥BF，
∴∠F=∠ODE=60°，∠B=∠OED=50°，
∵DF=40，
∴EN=DM=20 =34.6，MF=20，
∴BN= = ≈29.08，
∴BF=BN+MN+MF=74.08cm，
故两支架着地点B，F之间的距离我74.08cm；
（2）解：在Rt△ADE中，AD=DE tan50°=29.75cm，
∴AM=29.75+20 ≈64cm，
故椅子的高度是64cm．
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1.2锐角三角函数的计算（1）
【知识重点】
无
【经典例题】
【例1】四位学生用计算器求cos 27°40'的近似值的结果如下，正确的是（ ）
A．0.885 7 B．0.885 6 C．0.885 2 D．0.885 1
【例2】а为锐角，且sinа=0.6，则（ ）
A．0°＜а＜30° B．30°＜а＜45°
C．45°＜а＜60° D．60°＜а＜90°
【例3】先用计算器求：tan20°≈ ，tan40°≈ ，tan60°≈ ，tan80°≈ ，再按从小到大的顺序用“＜”把tan20°，tan40°，tan60°，tan80°连接起来： ．归纳：正切值，角大值 ．
【例4】用计算器求下列格式的值（结果精确到0.0001）．
（1）tan63°27′； （2）cos18°59′27″； （3）sin67°38′24″．
【例5】用计算器计算:sin 51°30'+cos 49°50'-tan 46°10'的值约是 .
【例6】用计算器计算下列各式的值．
（1）sin 20° （2）cos 20° （3）tan 48°
（4）sin 15°32′ （5）cos 49°18′ （6）tan 75°3′．
【例7】用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：
锐角 … … …
随着锐角A的度数不断增大， 有怎样的变化趋势？ 呢？ 呢？你能说明自己的结论吗？
【例8】已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
求：AB边上的高（精确到0.01）；
【基础训练】
1．计算sin20°﹣cos20°的值是（保留四位有效数字）（ ）
A．﹣0.5976 B．0.5976 C．﹣0.5977 D．0.5977
2．利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是（ ）
A．tan 25°C．sin 27°4．已知∠α=36°，若∠β是∠α的余角，则∠β= 度，sinβ= （结果保留四个有效数字）
5．用科学记算器计算：2×sin15°×cos15°=
6．计算（结果保留小数点后四位）
（1）sin23°5′+cos66°45′
（2）sin27.8°﹣tan15°8′．
7．用计算器求下列各式的值：
（1）cos63°17′；
（2）tan27.35°；
（3）sin39°57′6″．
8．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
求：AB边上的高（精确到0.01）；
【培优训练】
9．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
10．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关
11．已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（ ）
A．m＞1 B．m=1 C．m<1 D．m≥1
12．当45°＜θ＜90°时，下列各式中正确的是（ ）
A．tanθ＞cosθ＞sinθ B．sinθ＞cosθ＞tanθ
C．tanθ＞sinθ＞cosθ D．cosθ＞sinθ＞tanθ
13．用计算器验证，下列等式中正确的是（ ）
A．sin18°24′+sin35°26′=sin54° B．sin65°54′﹣sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31° D．sin70°18′﹣sin12°18′=sin47°42′
某商场为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD=18°，C在BD上，BC=0.5 m.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度.小明和小亮谁说得对 请你判断并计算出符合题意的结果.
15．如图，在一滑梯侧面示意图中，BD∥AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于
点E．BC＝1.8m，BD＝0.5m，∠A＝45 ，∠F＝29 ．
（1）求滑道DF的长(精确到0.1m)；
（2）求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF(精确到0.1m)．
16．如图1，是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到它的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若坐板CD平行于地面，前支撑架AB与后支撑架OF分别与CD交于点E，D，ED=25cm，OD=20cm，DF=40cm，∠ODC=60°，∠AED=50°．
（1）求两支架着地点B，F之间的距离；
（2）若A、D两点所在的直线正好与地面垂直，求椅子的高度．（结果取整数）
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