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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第1章解直角三角形（解析版）
1.3解直角三角形（1）
【知识重点】
概念：在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。
锐角三角函数的应用的技巧与方法：
1）解直角三角形的方法：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。
2）对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：
（1）作垂线构成直角三角形；（2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。
【经典例题】
【例1】如图是的高，，，，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°，
∴，
∴，
∴.
∵，即，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：C.
【例2】如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 米．（结果保留整数，sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
【答案】60
【解析】∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，
∴BD= ，CD= ，
∴ + =100，
解得AD≈60．
故答案为：60．
【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC= ．
【答案】
【解析】解: 连接BD．
∵AB是直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴AB=AD÷cos30°=4 ，
∴AC=AB cos60°=2 ，
故答案为：2 ．
【例4】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=
。求BC的长及∠A的正切值．
【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，sinB= ，
∴AC=AB．sinB=6，
∴BC= =8，
∴tanA=
【例5】动感单车是一种新型的运动器械.图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上.已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
【答案】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm.
【例6】在综合实践课上王老师带领大家利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=3m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m.请你根据以上数据计算广告牌的高度GH.
【答案】解：延长CD交AH于点E，
设DE=x，则BE= x，
∵∠A=30°，
∴ = = ，
∴x=5 -4.5，
∴GH=EC=5 -1.5（m）
答：GH的长为（5 -1.5）m.
【例7】如图1是某配电房的实物图，图2是它的部分示意图.已知，，，，参考数据：，，.
（1）根据以上信息可以求出的量有 （填序号）
①点A到的距离②的长③矩形的面积④点B到的距离
（2）选择（1）中的一个可求的量，写出求解过程.（结果精确到0.1m）
【答案】（1）①②④
（2）解：①如图，过点A作，
，
是等腰三角形，
，
在中，
，，
∴点A到的距离为
②解：在中，，，
，
又∵，
，
④解：如图，过点B作，
，，
在中，，
，
∴点B到的距离为4.6米.
【解析】（1）如图，过点A作，
，
是等腰三角形，
，
，
在中，
，，
，
，
，
∴点A到的距离为，
故①可求；
在中，，，
，
，
又∵，
，
故②可求；
，，
，，
，
∴四边形是矩形，
∵矩形的面积为：，
由已知条件不可求，所以矩形不可求，
故③不可求；
如图，过点B作，
，，
在中，，
，
∴点B到的距离为米；
故④可求；
故答案为：①②④；
【基础训练】
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，则AB=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【解析】由题意得：sinA=，
∵BC=6，
∴，
∴AB=10，
故答案为：C.
2．如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【解析】 ，
，
米，
米；
故答案为：D．
3．如图，线杆DC的高度为 ，两根拉线 与 互相垂直， ，若 、 、 在同一条直线上，则拉线 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵两根拉线 与 互相垂直，DC垂直AB，
∴∠CAB+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
∵ ，∴
在Rt△BCD中， ；
∴
故答案为：B．
4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故答案为：B.
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【答案】A
【解析】解: 如图，
∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC= = AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+ ）AC，
∴tan∠DAC= =2+ ．
故答案为：A．
6．在中，，是边上的高，，，则的面积为 .
【答案】或
【解析】如图，
∵在中，，，
∴，即：，
∴，
当D在之间时，，
∴的面积为；
当D在延长线上时，
∴的面积为
故答案为：或.
7．如图，菱形 的边长为15， ，则 .
【答案】
【解析】连接BD交AC于O， 于E，如图所示：
∵菱形ABCD
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC
在直角三角形AOB中,因为sin∠BAC＝ ，AB=15
∴sin∠BAC＝ =
∴
∴OB=9，BD=18
由勾股定理可得：OA=12
∴AC=24
∵
∴
在 中，
故答案为： .
8．如图，在△ABC中，AB= ，AC= ，∠B=45°，求△ABC的面积．
【答案】解: 作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，∠B=45°，
∴BD=AD=AB sin45°= × = ，
在Rt△ACD中，AD= ，AC= ，
∴CD= =2 ，
∴BC=BD+CD=3 ，
∴S△ABC= BC AD= ×3 × = ．
9．如图①中共线，若米，的范围：的范围：.
（1）如图②，当，BC恰好垂直时，求的长；（结果保留根号）
（2）若（1）中长度不变，求点间最远的距离多少米.（结果保留根号）
【答案】（1）解：如图：
由题意得：，，，
，
答：的长为；
（2）解：如图：
由题意得，，时，伸展到最远，过点作交的延长线于，
在中，，，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
.
∴点C、A间最远的距离为米.
10．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝．
（1）求∠B的度数和AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．
【答案】（1）解：作CE⊥AB于E，设CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝ ，
∴AE＝2x，
∴AC＝ x，
∴ x＝ ，
解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝2．
在Rt△BCE中，∵sinB＝ ，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE＋BE＝3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3
（2）解：∵CD为中线，
∴BD＝ AB＝1.5，
∴DE＝BD－ BE＝0.5，
∴tan∠CDE＝2.
【培优训练】
11．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（ ）
A．（11﹣2 ）米 B．（11 ﹣2 ）米
C．（11﹣2 ）米 D．（11 ﹣4）米
【答案】D
【解析】解: 如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC cot30°=2 m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，∴ = ，∴PB= = =11 米，
∴BC=PB﹣PC=（11 ﹣4）米．
故答案为：D．
12．如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（ ）
A．4 米 B．（2 +2）米
C．（4 ﹣4）米 D．（4 ﹣4）米
【答案】D
【解析】在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°，
∴CM=MB tan30°=12× =4 ，在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°，
∴∠MAD=∠MDA=45°，∴MD=AM=4米，
∴CD=CM﹣DM=（4 ﹣4）米，
故答案为：D．
13．如图，在等腰中，，， 是上一点．若，那么的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【解析】【分析】如图，过D点作DE⊥AB，垂足为E.
∵等腰三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，
∴∠A=45°，BC=AC=6，
∴．
∵在Rt△DEB中，，
∴设DE=a，则BE=5a，
∴在Rt△ADE中，AE=DE=a，
∴AB=AE+BE=a+5a=6a=6，
∴a=，
∴在Rt△ADE中，．
故选A.
14．在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为 ．
【答案】或
【解析】如图，过点C作CD⊥AB交BA于点D，
∵BC=14， ，
∴CD= ，
∴BD= ，
∵，
∴AD= AB-BD-= ，
在Rt△ACD中，AC= ，
过P作PE⊥AB，与BA的延长线于点E，
∵点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为 ，
∴△APE∽△ACD，
∴，
即 ，
解得 ，
∴①点P在线段AC上时，CP=AC-AP= ，
②点P在射线CA上时，CP=AC+AP= ，
综上所述，CP的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC=18，tanA= ，那么CD= ．
【答案】5
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=18，tanA= ，
∴AC ，
∴AB ，
cosB ，
∵边AB的垂直平分线交边AB于点E，
∴BE= AB= ．
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，
∴cosB= ，
∴BD=13，
∴CD=BC﹣BD=18﹣13=5．
故答案为：5．
16．我国自主研发的大型飞机C919成功首飞.如图是某型号飞机机翼的示意图，其中m=1，n= ，则AB的长为 ．
【答案】2-
【解析】过点A作AF⊥CD与点F,
由题意可知∠CAF=45°，∠DBE=30°，
∴AF=n=，AB=EF，
在Rt△ACF中，∠CAF=45°，
∴CF=AF=，
∴DF=CF-CD=-1
在Rt△BDE中，
DE=BEtan∠DBE=BEtan30°=.
∴EF=DE-DF=AB=.
故答案为：.
17．如图，在△ABC中，AC=BC=4 ，∠C=90°，点D在BC上，且CD=3DB，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则tan∠BED的值是 .
【答案】
【解析】∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=∠EDF=45°，
由三角形外角性质得：∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
∵CD=3DB， ，
∴CD= ，
设CF=x，则DF=FA= ，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+CD2=DF2，
即 ，解得： ，
∴ ， ；
故答案为： .
18．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，D为直线AB上的一点，若AD=2，则tan∠BDC的值为 。
【答案】 或
【解析】当点D在边AB上时，过点C作CE⊥AB于点E,
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，
在Rt△CBE中，∠B=60°，∠BCE=30°，
∴CE=BCsin∠B=4sin60°=
BE=
∴DE=AB-BE-AD=8-2-2=4
在Rt△CDE中，
;
当点D在AB的延长线上时，过点C作CE⊥AB于点E，
∵ED=AB-BE+AD=8-2+2=8
在Rt△CDE中，
;
∴tan∠BDC的值为或.
故答案为：或.
19．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA= ．
【答案】 或
【解析】分两种情况：
①如图1，
BD是AC边上的中线，BD=AC．
设AD=DC=k，则BD=AC=2k．
在Rt△BCD中，∵∠C=90°，
∴BC= = k，
∴tanA= = = ；
②如图2，
AD是BC边上的中线，AD=BC．
设BD=DC=k，则AD=BC=2k．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，
∴AC= = k，
∴tanB= = = ，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴tan∠CAB= = = ．
综上可知，所求值为 或 ．
故答案为 或 ．
20．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角为，探测最小角为．
（1）若该设备的安装高度为1.6米时，求测温区域的宽度．
（2）该校要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．(结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，)
【答案】（1）解：根据题意可知：
， ， ， 米，
在 中， 米 ，
在 中， 米 ，
米 ．
答：测温区域的宽度 为2.2米；
（2）解：根据题意可知：
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
解得 米，
米 ．
答：该设备的安装高度OC 约为1.84米．
21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 、箱长 、拉杆 的长度都相等，即 ，点 ， 在线段 上，点 在 上，支撑点 到箱底 的距离 ， ： ： ， 于点 ， ，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆 的长度；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离 的值 结果保留到 参考数据： ， ， .
【答案】（1）解： 于点 ， ，
在 中， ，
，
： ： ，
；
（2）解：如图，过A作 ，交 的延长线于G，
， ，
，
在 中， ，
.
22．已知：锐角三角形ABC内接于⊙O（），于点D，于点E，AD、AE交于点F.
（1）如图1，若⊙O直径为17，，求BF的长；
（2）如图2，连接OA，若，，求∠OAD的大小.
【答案】（1）解：如图，过C作的直径CG，连接AG，BG，
则∠GAC=90°，∠GBC=90°，
在Rt△AGC中，
∵，，
∴GA∥BE，GB∥AD，
∴四边形AGBF是平行四边形
∴BF=AG=8
（2）解：如图，过C作的直径CG，连接AG，BG，AD与CG交于点H，
由（1）得，四边形AGBF是平行四边形
∴BF=AG，BG=AF
∵，
∴AC=AG
又∵OG=OC，
∴AO⊥GC
∴∠AOC=90°，
在△AOH和△CDH中，∠AOH=∠CDH=90°，∠AHO=∠CHD，
∴∠HCD=∠HAO，
∵，
∴
在Rt△BCG中，sin∠BCG=，
∴∠BCG=30°，
∴∠OAD=30°.
【直击中考】
23．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过点A作AF⊥BE于点F，过点B作BG⊥CD于点G；
∵AF⊥BE于点F，BG⊥CD于点G，
∴∠AFB=∠BGC=90°，
在Rt△ABF中，，∴，
在Rt△BCG中，，
∴，
∴点A到桌面的最大高度为AF+BG= .
故答案为：D.
24．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
∵CD=6-1=5，AD=5，
∴CD=AD，
∴∠BAC=45°，
∴，
故答案为：C.
25．如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工.取，，，则，两点的距离是 .
【答案】
【解析】过点C作CE⊥AD于点D，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBD=180°-∠ABC=30°，
∴∠BCE=90°-30°=60°.
∵∠BCD=105°，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=45°，
∴CE=DE.
∵sin∠BCE=sin30°=，
∴CE=800，
∴CE=DE=800，
∴CD==.
故答案为：.
26．如图，在矩形 中， ，垂足为点 .若 ， ，则 的长为 .
【答案】3
【解析】在 中，
，，
，，
在矩形 中，
故答案为：3.
27．如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C．已知DC⊥BC，AB⊥BC．∠A=60°，AB=11m，CD=4m．求管道A-D-C的总长.
【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由题意，得BE=CD=4，
∵AB=11．
∴AE=7．
∵∠A=60°．
∴AD=AE÷cos60°=14．
∴AD+CD=18(m)．即管道A-D-C的总长为18m．
28．在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．
如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°.
又∵BF=DH，
∴AD+DH=BC+BF
即AH=CF.
在Rt△AEH中，EH=.
在Rt△CFG中，FG=.
∵AE=CG，
∴EH=FG.
同理得，EF=HG.
∴四边形EFGH为平行四边形.
（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1. 设AE=x，则BE=x+1. ∵在Rt△BEF中，∠BEF=45°. ∴BE=BF. ∵BF=DH， ∴DH=BE=x+1. ∴AH=AD+DH=x+2. ∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=2， ∴AH=2AE. ∴2+x=2x. ∴x=2.
即AE=2.
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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第1章解直角三角形
1.3解直角三角形（1）
【知识重点】
概念：在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。
锐角三角函数的应用的技巧与方法：
1）解直角三角形的方法：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。
2）对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：
（1）作垂线构成直角三角形；（2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。
【经典例题】
【例1】如图是的高，，，，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
【例2】如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 米．（结果保留整数，sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC= ．
【例4】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=
。求BC的长及∠A的正切值．
【例5】动感单车是一种新型的运动器械.图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上.已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
【例6】在综合实践课上王老师带领大家利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=3m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m.请你根据以上数据计算广告牌的高度GH.
【例7】如图1是某配电房的实物图，图2是它的部分示意图.已知，，，，参考数据：，，.
（1）根据以上信息可以求出的量有 （填序号）
①点A到的距离②的长③矩形的面积④点B到的距离
（2）选择（1）中的一个可求的量，写出求解过程.（结果精确到0.1m）
【基础训练】
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，则AB=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
2．如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3．如图，线杆DC的高度为 ，两根拉线 与 互相垂直， ，若 、 、 在同一条直线上，则拉线 的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
6．在中，，是边上的高，，，则的面积为 .
7．如图，菱形 的边长为15， ，则 .
8．如图，在△ABC中，AB= ，AC= ，∠B=45°，求△ABC的面积．
9．如图①中共线，若米，的范围：的范围：.
（1）如图②，当，BC恰好垂直时，求的长；（结果保留根号）
（2）若（1）中长度不变，求点间最远的距离多少米.（结果保留根号）
10．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝．
（1）求∠B的度数和AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．
【培优训练】
11．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（ ）
A．（11﹣2 ）米 B．（11 ﹣2 ）米
C．（11﹣2 ）米 D．（11 ﹣4）米
12．如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（ ）
A．4 米 B．（2 +2）米
C．（4 ﹣4）米 D．（4 ﹣4）米
13．如图，在等腰中，，， 是上一点．若，那么的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
14．在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC=18，tanA= ，那么CD= ．
16．我国自主研发的大型飞机C919成功首飞.如图是某型号飞机机翼的示意图，其中m=1，n= ，则AB的长为 ．
17．如图，在△ABC中，AC=BC=4 ，∠C=90°，点D在BC上，且CD=3DB，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则tan∠BED的值是 .
18．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，D为直线AB上的一点，若AD=2，则tan∠BDC的值为 。
19．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA= ．
20．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），已知探测最大角为，探测最小角为．
（1）若该设备的安装高度为1.6米时，求测温区域的宽度．
（2）该校要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．(结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，)
21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 、箱长 、拉杆 的长度都相等，即 ，点 ， 在线段 上，点 在 上，支撑点 到箱底 的距离 ， ： ： ， 于点 ， ，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求水平滑杆 的长度；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离 的值 结果保留到 参考数据： ， ， .
22．已知：锐角三角形ABC内接于⊙O（），于点D，于点E，AD、AE交于点F.
（1）如图1，若⊙O直径为17，，求BF的长；
（2）如图2，连接OA，若，，求∠OAD的大小.
【直击中考】
23．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ）
A． B． C． D．
25．如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工.取，，，则，两点的距离是 .
26．如图，在矩形 中， ，垂足为点 .若 ， ，则 的长为 .
27．如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C．已知DC⊥BC，AB⊥BC．∠A=60°，AB=11m，CD=4m．求管道A-D-C的总长.
28．在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．
如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．
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