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浙教版2023-2024学年七上数学第6章图形的初步知识 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
2．下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．钟表上从早上6点30分到早上8点10分时针所走的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
（第3题） （第4题）
4．如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知线段，，画一条射线，在射线上依次截取，在线段上截取.则（ ）
A． B． C． D．
7．下列四个图中，能表示线段的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是，，，，其中有一名同学计算正确.这名同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，且d-2a=10，那么数轴的原点应是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
10．如图，已知线段AB=a，线段CD=b，线段CD在线段AB上运动（点C、D始终在线段AB上），在CD的运动中，则图中所有线段的长度和是（ ）
A．2a+2b B．3a+b
C．3a+2b D．随着CD位置的改变而发生变化
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 .
（第11题） （第13题） （第16题）
12．如图，点C在线段上，已知，，D是线段的中点，则线段的长是 .
13．如图，∠AOB=∠COD=120°，若∠BOC＝108°，则∠AOD的度数是 ．
14．在直线l上取A，B两点，使AB=4cm，再在直线l上取一点C，使AC=6cm，点M，N分别是AB，AC的中点，则MN的长为 ．
15．如图，点C，M，N在线段AB上，.则线段MN的长为 .
16．如图，已知，射线从出发，以每秒的速度在内部绕点逆时针旋转，若和中，有一个角是另一个角的2倍，则运动时间为 秒.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店，点C表示图书馆.
⑴请画出学校A到书店B的最短路线.
⑵在公路l上找一个路口M，使得的值最小.
⑶现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线，并用所学知识描述小路的方向.
18．如图，点O为数轴原点，点A对应的数为-5，点B对应的数为10.
（1）点C是数轴上A、B之间的一个点，且，求线段CA的长及点C对应的数.
（2）点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，点Q从点B出发以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动.P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒.当满足，求运动时间t.
19．如图1，已知点O在直线AB上，射线OD、OC分别在直线AB的上、下两侧且，OE始终是的平分线.
（1）若，求的度数.
（2）如图2，设，已知，求n的值.
（3）如图3，在满足（2）的条件下，射线OP从OB出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线OQ从OE出发绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线OP、OQ同时开始旋转，记旋转时间为t秒.当和互余时，求旋转时间t的值.
20．如图，已知数轴上，两点对应的数分别为，，，两点对应的数互为相反数.
（1）求，的长.
（2）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动.当点到达点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的移动时间为（秒）.
①问为何值时，为的中点？
②当时，求的值.
21．含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图1放置，和重合.
【操作一】三角板保持不变，将三角板绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转.当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒.
（1）当时， 度.
（2）求t为何值时，.
【操作二】如图2，在三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转的同时，三角板也绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒（）.
（3）求t为何值时，与重合.
（4）试探索：在两个三角板旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由.
22．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.
如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角.
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，，若是的内半角，则 ；
（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至.若是的内半角，求的值；
（3）把一块含有角的三角板按图3方式放置.使边与边重合，边与边重合.如图4，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值.
23．如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3．
（1）数轴上点A表示的数为 ．
（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．
①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数为 ▲ ．
②设点A的移动距离AA′=x．
ⅰ．当S=4时，x= ▲ ；
ⅱ．D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE= OO′，当点D，E所表示的数互为相反数时，求x的值．
24．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．譬如：数轴上点A、点B表示的数分别为 a、b，则 A、B两点之间的距离 ，线段AB的中点表示的数为 ．如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为1．
（1）求线段AB的长和线段AB的中点表示的数．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得 ．并由此探索猜想，对于任意的有理数x， 是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．
（3）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程 的解．数轴上是否存在一点P，使得PA+PB=PC，若存在，写出点P对应的数；若不存在，请说明理由．
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浙教版2023-2024学年七上数学第6章图形的初步知识 尖子生测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【解析】∵，而，
∴.
故答案为：A.
2．下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①两点确定一条直线，故①正确；
②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②不正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故④不正确，
故答案为：B.
3．钟表上从早上6点30分到早上8点10分时针所走的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【解析】∵从早上6点30分到早上8点10分
∴一共走了100分钟
∵时针一分钟走0.5°
∴.
∴时针所走的度数为50°.
故答案为：B.
4．如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
5．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A、，故不符合题意；
B、由同角的余角相等可得=，故符合题意；
C、∵，，
∴与不相等，故不符合题意；
D、，，
∴与不相等，故不符合题意.
故答案为：B.
6．如图，已知线段，，画一条射线，在射线上依次截取，在线段上截取.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴，D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据线段的和差关系可得AC=BC-AB，OC=OA-AC，据此解答.
7．下列四个图中，能表示线段的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，
A中：，故此选项不符合题意；
B中：，故此选项不符合题意；
C中：，故此选项符合题意；
D中：，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
8．已知，都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是，，，，其中有一名同学计算正确.这名同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】∵，都是钝角，
∴，
即，
∴，
在甲、乙、丙、丁四名同学的计算结果中，只有乙同学的结果在范围内.
故答案为：B.
9．如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，且d-2a=10，那么数轴的原点应是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【解析】若原点是A，则a=0，d=7，此时d-2a=7，和已知不符，排除；
若原点是点B，则a=-3，d=4，此时d-2a=10，和已知相符，正确；
若原点是C，则a=-4，d=3，此时d-2a=11，和已知不符，排除；
若原点是D，则a=-7，d=0，此时d-2a=14，和已知不符，排除.
故答案为：B.
10．如图，已知线段AB=a，线段CD=b，线段CD在线段AB上运动（点C、D始终在线段AB上），在CD的运动中，则图中所有线段的长度和是（ ）
A．2a+2b B．3a+b
C．3a+2b D．随着CD位置的改变而发生变化
【答案】B
【解析】如图，AB=a，CD=b，
AC+AD+AB+CD+CB+DB
=
=AB+AB+AB+CD
=3a+b，
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 .
【答案】152°
【解析】由图可知：，
∴；
故答案为：152°.
12．如图，点C在线段上，已知，，D是线段的中点，则线段的长是 .
【答案】1
【解析】∵D是线段AB的中点，AB=8，
∴，
∵，
∴.
故答案为：1.
13．如图，∠AOB=∠COD=120°，若∠BOC＝108°，则∠AOD的度数是 ．
【答案】132°
【解析】解∶∵∠COD=120°，∠BOC＝108°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOC=12°，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=132°．
故答案为：132°
14．在直线l上取A，B两点，使AB=4cm，再在直线l上取一点C，使AC=6cm，点M，N分别是AB，AC的中点，则MN的长为 ．
【答案】1cm或5cm
【解析】∵AB=4cm，AC=6cm，点M、点N分别是AB、AC中点，
∴，，
当点C在线段AB的延长线上时，
MN=AN-AM=3-2=1cm；
点C在线段BA的延长线上时，
MN=AM+AN=2+3=5cm，
综上所述，MN的长度为1cm或5cm．
故答案为：1cm或5cm
15．如图，点C，M，N在线段AB上，.则线段MN的长为 .
【答案】12
【解析】∵，
∴
∵
∴
∴.
故答案为：12.
16．如图，已知，射线从出发，以每秒的速度在内部绕点逆时针旋转，若和中，有一个角是另一个角的2倍，则运动时间为 秒.
【答案】3或6
【解析】设运动时间为t秒，此时.
当时，如图，
即，
解得；
当时，如图，
即，
解得；
故答案为3或6.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店，点C表示图书馆.
⑴请画出学校A到书店B的最短路线.
⑵在公路l上找一个路口M，使得的值最小.
⑶现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线，并用所学知识描述小路的方向.
【答案】解：⑴如图所示，连接，线段即为所求，
⑵如图所示，连接，交l于点M，点M即为所求，
⑶如图所示，过点A作交l于点D，线段即为所要求作的小路，
方向为从A向垂直于l的方向.
18．如图，点O为数轴原点，点A对应的数为-5，点B对应的数为10.
（1）点C是数轴上A、B之间的一个点，且，求线段CA的长及点C对应的数.
（2）点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，点Q从点B出发以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动.P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒.当满足，求运动时间t.
【答案】（1）解：，
对应的数为02
（2）解：点P表示的数为，点Q表示的数为.
又，，且
解得：或10
19．如图1，已知点O在直线AB上，射线OD、OC分别在直线AB的上、下两侧且，OE始终是的平分线.
（1）若，求的度数.
（2）如图2，设，已知，求n的值.
（3）如图3，在满足（2）的条件下，射线OP从OB出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线OQ从OE出发绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线OP、OQ同时开始旋转，记旋转时间为t秒.当和互余时，求旋转时间t的值.
【答案】（1）解：平分，
，
.
（2）解：平分，
，
∵，
，
∵，
，
.
（3）解：当时，，
①当
，
②
，
（舍）
③
，
综上秒或45秒
20．如图，已知数轴上，两点对应的数分别为，，，两点对应的数互为相反数.
（1）求，的长.
（2）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动.当点到达点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的移动时间为（秒）.
①问为何值时，为的中点？
②当时，求的值.
【答案】（1）解：∵，两点对应的数分别为，，，两点对应的数互为相反数，
∴点对应的数为，
∴，；
（2）解：①由题意可得：点M表示的数为，
点N表示的数为，
若为的中点，
∴，
解得：，
∴为20秒时，为的中点；
②∵，
∴，
当时，
，即；
当时，
或，
解得：或，
∴当时，t的值为6秒或21秒或27秒.
21．含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图1放置，和重合.
【操作一】三角板保持不变，将三角板绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转.当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒.
（1）当时， 度.
（2）求t为何值时，.
【操作二】如图2，在三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转的同时，三角板也绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒（）.
（3）求t为何值时，与重合.
（4）试探索：在两个三角板旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）105
（2）解：由题意，当旋转到时，旋转角度为或，
∴或，
故当或13时，
（3）解：由题意，旋转的度数为，旋转的度数为，
∵，
∴当与重合时，，
解得：
（4）解：当与重合前时，
若，如图2，则，
∴，解得；
若，如图，则，
∴，解得；
当与重合后，如图，则，
∴，解得，
综上，满足条件的t值为2或4或12.
【解析】（1）解：当时，，，
，
故答案为：105°；
22．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.
如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角.
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，，若是的内半角，则 ；
（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至.若是的内半角，求的值；
（3）把一块含有角的三角板按图3方式放置.使边与边重合，边与边重合.如图4，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值.
【答案】（1）10°
（2）解：由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得，
∴的值为；
（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得；
②如图所示，此时∠BOC是∠AOD的内半角，
由旋转性质可得，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得 ；
③如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知 ，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得；
④如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得 .
综上所述，当射线、、、构成内半角时，的值为或30或90或.
【解析】（1）解：∵是的内半角，，
∴，
∴，
故答案为：10°；
AOD与经爱鸥BOC的关系，从而分别列出方程，求解即可.
23．如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3．
（1）数轴上点A表示的数为 ．
（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．
①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数为 ▲ ．
②设点A的移动距离AA′=x．
ⅰ．当S=4时，x= ▲ ；
ⅱ．D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE= OO′，当点D，E所表示的数互为相反数时，求x的值．
【答案】（1）4
（2）①2或6；
②ⅰ．
②ⅱ．解：如图1，
当原长方形OABC向左移动时，点D表示的数为4- ，点E表示的数为 由题意可得方程
解得：x=
如图2，
当原长方形OABC向右移动时，点D，E表示的数都是正数，不符合题意
24．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．譬如：数轴上点A、点B表示的数分别为 a、b，则 A、B两点之间的距离 ，线段AB的中点表示的数为 ．如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为1．
（1）求线段AB的长和线段AB的中点表示的数．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得 ．并由此探索猜想，对于任意的有理数x， 是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．
（3）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程 的解．数轴上是否存在一点P，使得PA+PB=PC，若存在，写出点P对应的数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：AB=1-（-2）=3，
线段AB中点表示的数为 ；
（2）解：式子|x＋2|＋|x 1|＝3可理解为：在数轴上，某点到-2所对应的点的距离和到1所对应的点的距离之和为3，
∴满足条件的整数x可为 2， 1，0，1；
有最小值．最小值为8，
理由是：∵|x 2|＋|x+6|理解为：在数轴上表示x到2和-6的距离之和，
∴当x在2与-6之间的线段上（即-6≤x≤2）时：
即|x 2|＋|x+6|的值有最小值，最小值为2 （-6）＝8；
（3）解： ，
解得 ，即点C在数轴上对应的数为2，
∴点P可能在A的左侧或在AB之间，
①当点P在点A的左侧时，由PA+PB=PC可知，-2-x+1-x=2-x，
解得x=-3；
②当点P在点A的左侧时，由PA+PB=PC可知，3=2-x，
解得x=-1；
综上，存在，点P对应的数为：-3或-1．
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