专题2.1 直线与圆的位置关系-重难点题型（含解析）
文档属性
| 名称 | 专题2.1 直线与圆的位置关系-重难点题型（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-08 16:16:37 | ||
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文档简介
直线与圆的位置关系4大题型
【知识点1 直线与圆的位置关系】
直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为则有：
相交：直线和圆有两个公共点 直线和相交
相切：直线和圆只有一个公共点 直线和相切
相离：直线和圆没有公共点 直线和相离
【题型1 直线与圆的位置关系（相交）】
【例1】（2020秋 自贡期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是 ．
【变式1-1】（2020秋 威海期末）已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 ．
【变式1-2】（2020秋 丹江口市期末）直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为 ．
【变式1-3】（2020秋 文登区期末）以坐标原点O为圆心，1为半径作圆，直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b＜1 B．b C．b＜0 D．0＜b
【题型2 直线与圆的位置关系（相切）】
【例2】（2021春 九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣4）为圆心，2为半径的圆，与直线x＝1的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【变式2-1】（2020秋 朝阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，已知点A（4，0），AB＝3，以C为圆心，4为半径作圆，则直线AB和⊙C的位置关系为 ．
【变式2-2】（2020秋 广西月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB有唯一公共点，则半径r的值是 ．
【变式2-3】（2020秋 玉田县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；点D坐标为（8，﹣2），连接CD，直线CD与⊙M的位置关系是 ．
【题型3 直线与圆的位置关系（相离）】
【例3】（2020秋 章贡区期中）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是 ．
【变式3-1】（2020秋 高邮市月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．当r＝2cm时，直线AB与⊙C位置关系是 ．
【变式3-2】（2020秋 玄武区校级月考）已知⊙O的半径r＝2，圆心O到直线l的距离d是方程x2﹣5x+6＝0的解，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
【变式3-3】（2021 乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．
【题型4 直线与圆的位置关系（交点个数问题）】
【例4】（2021 武进区模拟）已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-1】（2021秋 武汉期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，以2.4个单位长为半径的圆与AB的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【变式4-2】（2020秋 滦南县期末）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为 ．
【变式4-3】（2020 浙江自主招生）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点可能有 个．
直线与圆的位置关系-重难点题型
【知识点1 直线与圆的位置关系】
直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为则有：
相交：直线和圆有两个公共点 直线和相交
相切：直线和圆只有一个公共点 直线和相切
相离：直线和圆没有公共点 直线和相离
【题型1 直线与圆的位置关系（相交）】
【例1】（2020秋 自贡期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是 相交 ．
【分析】首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线AB的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，
解方程x2+6x﹣16＝0，
（x+8）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝2，
∴r＝2，
∵点O到直线AB距离d是，
∴d＜r，
∴直线AB与圆相交．
故答案为相交．
【变式1-1】（2020秋 威海期末）已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 r＞2 ．
【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝2，
∴r＞2．
故答案为：r＞2．
【变式1-2】（2020秋 丹江口市期末）直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为 k ．
【分析】根据题意得到A（﹣6，0），B（0，6k），设⊙O于AB相切于C，连接OC，求得∠OAC＝30°，于是得到结论．
【解答】解：∵直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（﹣6，0），B（0，6k），
设⊙O与AB相切于C，
连接OC，
∴OA＝6，OC＝3，∠ACO＝90°，
∴OCOA，
∴∠OAC＝30°，
当⊙O与l相交时，OB＝|6k|＜2，
∴k，
故答案为k．
【变式1-3】（2020秋 文登区期末）以坐标原点O为圆心，1为半径作圆，直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b＜1 B．b C．b＜0 D．0＜b
【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b），
当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0），
则OA＝OB＝b，
即△OAB是等腰直角三角形，
∴ABb，
连接圆心O和切点C．
则OC＝1，OC⊥AB，
∴OCAB，
∴1b，
∴b，
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b．
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是b，
故选：B．
【题型2 直线与圆的位置关系（相切）】
【例2】（2021春 九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣4）为圆心，2为半径的圆，与直线x＝1的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】本题应将该点到直线x＝1的距离与半径对比即可判断．
【解答】解：∵点（3，﹣4）到直线x＝1的距离为2，半径为2，
则有2＝2，
∴这个圆与直线x＝1相切．
故选：B．
【变式2-1】（2020秋 朝阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，已知点A（4，0），AB＝3，以C为圆心，4为半径作圆，则直线AB和⊙C的位置关系为 相切 ．
【分析】要确定直线与圆的位置关系，主要确定直线与圆心的距离与半径的大小关系；d＞r时，相离；d＝r时，相切；d＜r时，相交．
【解答】解：∵点A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝4，CB⊥AB，
∵BC＝r＝4，
∴直线AB⊙C相切，
故答案为：相切．
【变式2-2】（2020秋 广西月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB有唯一公共点，则半径r的值是 5＜r≤12或r ．
【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出BC＝12，再利用面积法计算出CD，然后根据直线与圆的位置关系得到当5＜r≤12或r时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有唯一公共点．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC12，
作CD⊥AB于D，如图，
∵CD ABBC AC＝S△ABC，
∴CD，
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有唯一公共点时，r的取值范围为5＜r≤12或r，
故答案为：5＜r≤12或r．
【变式2-3】（2020秋 玉田县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 （2，0） ；点D坐标为（8，﹣2），连接CD，直线CD与⊙M的位置关系是 相切 ．
【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；
（2）由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC是否与CD垂直即可．可根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．
【解答】解：（1）如图，经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（2）连接MC，MD，
MC2＝42+22＝20，
CD2＝42+22＝20，
MD2＝62+22＝40，
MD2＝MC2+CD2，
∴∠MCD＝90°，
又∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线；
故答案为：相切．
【题型3 直线与圆的位置关系（相离）】
【例3】（2020秋 章贡区期中）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是 相离 ．
【分析】欲求⊙P与x轴的位置关系，关键是求出点P到x轴的距离d再与⊙P的半径5比较大小即可．
【解答】解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8，
∵r＝5，
∴d＞r，
∴⊙P与x轴相离．
故答案为：相离．
【变式3-1】（2020秋 高邮市月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．当r＝2cm时，直线AB与⊙C位置关系是 相离 ．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和⊙C的半径比较即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB5，
由三角形面积公式得：3×45×CD，
CD＝2.4，
∵r＝2cm＜2.4，
∴⊙C和AB的位置关系是相离，
故答案为：相离
【变式3-2】（2020秋 玄武区校级月考）已知⊙O的半径r＝2，圆心O到直线l的距离d是方程x2﹣5x+6＝0的解，则直线l与⊙O的位置关系是 相切或相离 ．
【分析】先解方程，根据距离d与r的大小关系得出：直线与圆的位置关系．
【解答】解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
x＝3或2，
当d＝3时，则d＞r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离；
当d＝2时，则d＝r，所以直线l与⊙O的位置关系是相切；
则直线l与⊙O的位置关系是：相切或相离；
故答案为：相切或相离．
【变式3-3】（2021 乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 7 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP，
故答案为：7，．
【题型4 直线与圆的位置关系（交点个数问题）】
【例4】（2021 武进区模拟）已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为2的点的个数．
【解答】解：如图，
∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，
∴CE＝2，
过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE＝2，
∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A、B、C，
∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个，
故选：C．
【变式4-1】（2021秋 武汉期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，以2.4个单位长为半径的圆与AB的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【分析】据题意可以求得斜边AB的长度及斜边AB上的高的长度，从而可以解答本题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝4，
∴AB5，
∴斜边AB上的高是：2.4，
∴以点C为圆心，2.4长为半径的圆与AB相切，
即以2.4个单位长为半径的圆与AB的公共点的个数为1，
故选：B．
【变式4-2】（2020秋 滦南县期末）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为 2个 ．
【分析】过O作OD⊥OA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【解答】解：过O作OD⊥OA于D，
∵∠AOB＝30°，OC＝6，
∴ODOC＝3＜4，
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
故答案为：2个．
【变式4-3】（2020 浙江自主招生）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点可能有 0或1或2或3或4 个．
【分析】根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个．
【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，
∴三角形为直角三角形，
设内切圆半径为r，则（3+4+5）r3×4，
解得r＝1，
所以应分为五种情况：
当一条边与圆相离时，有0个交点，
当一条边与圆相切时，有1个交点，
当一条边与圆相交时，有2个交点，
当圆与三角形内切圆时，有3个交点，
当两条边与圆同时相交时，有4个交点，
故公共点个数可能为0或1或2或3或4个．
故答案为0或1或2或3或4．
【知识点1 直线与圆的位置关系】
直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为则有：
相交：直线和圆有两个公共点 直线和相交
相切：直线和圆只有一个公共点 直线和相切
相离：直线和圆没有公共点 直线和相离
【题型1 直线与圆的位置关系（相交）】
【例1】（2020秋 自贡期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是 ．
【变式1-1】（2020秋 威海期末）已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 ．
【变式1-2】（2020秋 丹江口市期末）直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为 ．
【变式1-3】（2020秋 文登区期末）以坐标原点O为圆心，1为半径作圆，直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b＜1 B．b C．b＜0 D．0＜b
【题型2 直线与圆的位置关系（相切）】
【例2】（2021春 九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣4）为圆心，2为半径的圆，与直线x＝1的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【变式2-1】（2020秋 朝阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，已知点A（4，0），AB＝3，以C为圆心，4为半径作圆，则直线AB和⊙C的位置关系为 ．
【变式2-2】（2020秋 广西月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB有唯一公共点，则半径r的值是 ．
【变式2-3】（2020秋 玉田县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；点D坐标为（8，﹣2），连接CD，直线CD与⊙M的位置关系是 ．
【题型3 直线与圆的位置关系（相离）】
【例3】（2020秋 章贡区期中）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是 ．
【变式3-1】（2020秋 高邮市月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．当r＝2cm时，直线AB与⊙C位置关系是 ．
【变式3-2】（2020秋 玄武区校级月考）已知⊙O的半径r＝2，圆心O到直线l的距离d是方程x2﹣5x+6＝0的解，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
【变式3-3】（2021 乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．
【题型4 直线与圆的位置关系（交点个数问题）】
【例4】（2021 武进区模拟）已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-1】（2021秋 武汉期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，以2.4个单位长为半径的圆与AB的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【变式4-2】（2020秋 滦南县期末）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为 ．
【变式4-3】（2020 浙江自主招生）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点可能有 个．
直线与圆的位置关系-重难点题型
【知识点1 直线与圆的位置关系】
直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为则有：
相交：直线和圆有两个公共点 直线和相交
相切：直线和圆只有一个公共点 直线和相切
相离：直线和圆没有公共点 直线和相离
【题型1 直线与圆的位置关系（相交）】
【例1】（2020秋 自贡期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是 相交 ．
【分析】首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线AB的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，
解方程x2+6x﹣16＝0，
（x+8）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝2，
∴r＝2，
∵点O到直线AB距离d是，
∴d＜r，
∴直线AB与圆相交．
故答案为相交．
【变式1-1】（2020秋 威海期末）已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 r＞2 ．
【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝2，
∴r＞2．
故答案为：r＞2．
【变式1-2】（2020秋 丹江口市期末）直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为 k ．
【分析】根据题意得到A（﹣6，0），B（0，6k），设⊙O于AB相切于C，连接OC，求得∠OAC＝30°，于是得到结论．
【解答】解：∵直线y＝kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（﹣6，0），B（0，6k），
设⊙O与AB相切于C，
连接OC，
∴OA＝6，OC＝3，∠ACO＝90°，
∴OCOA，
∴∠OAC＝30°，
当⊙O与l相交时，OB＝|6k|＜2，
∴k，
故答案为k．
【变式1-3】（2020秋 文登区期末）以坐标原点O为圆心，1为半径作圆，直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b＜1 B．b C．b＜0 D．0＜b
【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b），
当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0），
则OA＝OB＝b，
即△OAB是等腰直角三角形，
∴ABb，
连接圆心O和切点C．
则OC＝1，OC⊥AB，
∴OCAB，
∴1b，
∴b，
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b．
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是b，
故选：B．
【题型2 直线与圆的位置关系（相切）】
【例2】（2021春 九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣4）为圆心，2为半径的圆，与直线x＝1的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】本题应将该点到直线x＝1的距离与半径对比即可判断．
【解答】解：∵点（3，﹣4）到直线x＝1的距离为2，半径为2，
则有2＝2，
∴这个圆与直线x＝1相切．
故选：B．
【变式2-1】（2020秋 朝阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，已知点A（4，0），AB＝3，以C为圆心，4为半径作圆，则直线AB和⊙C的位置关系为 相切 ．
【分析】要确定直线与圆的位置关系，主要确定直线与圆心的距离与半径的大小关系；d＞r时，相离；d＝r时，相切；d＜r时，相交．
【解答】解：∵点A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝4，CB⊥AB，
∵BC＝r＝4，
∴直线AB⊙C相切，
故答案为：相切．
【变式2-2】（2020秋 广西月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB有唯一公共点，则半径r的值是 5＜r≤12或r ．
【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出BC＝12，再利用面积法计算出CD，然后根据直线与圆的位置关系得到当5＜r≤12或r时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有唯一公共点．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC12，
作CD⊥AB于D，如图，
∵CD ABBC AC＝S△ABC，
∴CD，
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有唯一公共点时，r的取值范围为5＜r≤12或r，
故答案为：5＜r≤12或r．
【变式2-3】（2020秋 玉田县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 （2，0） ；点D坐标为（8，﹣2），连接CD，直线CD与⊙M的位置关系是 相切 ．
【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；
（2）由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC是否与CD垂直即可．可根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．
【解答】解：（1）如图，经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（2）连接MC，MD，
MC2＝42+22＝20，
CD2＝42+22＝20，
MD2＝62+22＝40，
MD2＝MC2+CD2，
∴∠MCD＝90°，
又∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线；
故答案为：相切．
【题型3 直线与圆的位置关系（相离）】
【例3】（2020秋 章贡区期中）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是 相离 ．
【分析】欲求⊙P与x轴的位置关系，关键是求出点P到x轴的距离d再与⊙P的半径5比较大小即可．
【解答】解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8，
∵r＝5，
∴d＞r，
∴⊙P与x轴相离．
故答案为：相离．
【变式3-1】（2020秋 高邮市月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．当r＝2cm时，直线AB与⊙C位置关系是 相离 ．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和⊙C的半径比较即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB5，
由三角形面积公式得：3×45×CD，
CD＝2.4，
∵r＝2cm＜2.4，
∴⊙C和AB的位置关系是相离，
故答案为：相离
【变式3-2】（2020秋 玄武区校级月考）已知⊙O的半径r＝2，圆心O到直线l的距离d是方程x2﹣5x+6＝0的解，则直线l与⊙O的位置关系是 相切或相离 ．
【分析】先解方程，根据距离d与r的大小关系得出：直线与圆的位置关系．
【解答】解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
x＝3或2，
当d＝3时，则d＞r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离；
当d＝2时，则d＝r，所以直线l与⊙O的位置关系是相切；
则直线l与⊙O的位置关系是：相切或相离；
故答案为：相切或相离．
【变式3-3】（2021 乐亭县一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 7 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP，
故答案为：7，．
【题型4 直线与圆的位置关系（交点个数问题）】
【例4】（2021 武进区模拟）已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为2的点的个数．
【解答】解：如图，
∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，
∴CE＝2，
过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE＝2，
∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A、B、C，
∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个，
故选：C．
【变式4-1】（2021秋 武汉期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，以2.4个单位长为半径的圆与AB的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【分析】据题意可以求得斜边AB的长度及斜边AB上的高的长度，从而可以解答本题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝4，
∴AB5，
∴斜边AB上的高是：2.4，
∴以点C为圆心，2.4长为半径的圆与AB相切，
即以2.4个单位长为半径的圆与AB的公共点的个数为1，
故选：B．
【变式4-2】（2020秋 滦南县期末）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为 2个 ．
【分析】过O作OD⊥OA于D，求出CD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．
【解答】解：过O作OD⊥OA于D，
∵∠AOB＝30°，OC＝6，
∴ODOC＝3＜4，
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
故答案为：2个．
【变式4-3】（2020 浙江自主招生）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点可能有 0或1或2或3或4 个．
【分析】根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个．
【解答】解：∵32+42＝25，52＝25，
∴三角形为直角三角形，
设内切圆半径为r，则（3+4+5）r3×4，
解得r＝1，
所以应分为五种情况：
当一条边与圆相离时，有0个交点，
当一条边与圆相切时，有1个交点，
当一条边与圆相交时，有2个交点，
当圆与三角形内切圆时，有3个交点，
当两条边与圆同时相交时，有4个交点，
故公共点个数可能为0或1或2或3或4个．
故答案为0或1或2或3或4．