(共25张PPT)
1.1.2锐角三角函数
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1．运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值；
2．熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用
新知导入
什么是正弦、余弦和正切？
A
B
C
a
b
c
如右图，sinA ＝_____， cosA ＝_____，
tanA＝_____.
新知讲解
（1）sin30°,cos30 °,tan30 °的值分别是多少？
C
A
B
如图∠A=30°，在∠A的一边上任取一点B，作BC垂直于∠A的另一条边与点C，则AB=2BC（为什么？）
AC=
sin30°=sinA=
cos30°=cosA=
tan30°=tanA=
新知讲解
分数有意义的条件是分母不为0.
A
B
C
30°
(2)60°角的三角函数值分别是多少？你是怎样得到的？
所以sin60°== ，
cos60°= =，
tan60°==.
分析：由探究(1)知 AC=BC ，AB=2BC.
新知讲解
（3）sin45°,cos45 °,tan45 °的值分别是多少？
A
B
C
（
45°
在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=45° ．
设AC=a，那么BC=AC=a，所以
AB=
sin45°=
sin45°=
tan45°=
归纳总结
1
根据前面探究的结果，完成下表：
归纳总结
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 .
增大（或减小）
减小（或增大）
典例精析
例1 求下列各式的值:
(1)2sin30°-3cos60°；
(2)cos245°+tan60°sin60°；
(3)cos30°-sin45°+tan45°cos60°.
解：(1)2sin30°-3cos60°=2× -3×=-.
(2)cos 45°+tan60°sin60°= +×=2.
(3) cos30°-sin45°+tan45°cos60°=×-× +1×=1.
温馨提示：
sin245°表示(sin45°) 2
cos245°表示(cos45°) 2
新知讲解
1.计算并与tan30°的值作比较，说说发现的结论
2.计算的值你有什么发现？
1.同角公式
sin2A+cos2A=1
tanA=
2.当∠A+∠B=90°时,
sinA=cosB,
cosA=sinB,
tanA·tanB=1.
典例精析
例2 如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，∠BAC=120°.
求BC的长和△ABC的面积.
解：如图，作AD⊥BC.
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°.
∵ sin∠BAD=，
C
B
A
D
典例精析
∴BD=ABsin∠BAD=8sin60°=8×=4(cm).
∴ BC=2BD=8 (cm).
而cos∠BAD=，
∴ AD=ABcos∠BAD=8cos60°=8=4(cm).
∴=BCAD==16(cm ).
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1、若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
2. 在△ABC中，若角A，B满足|cos A－ |＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小是( )
A．45° B．60°
C．75° D．105°
D
D
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3，
∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.
∴2sin2α+cos2α- tan（α+15°）
=2sin245°+cos245°- tan60°
=2
=-
3.已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求
2sin2α+cos2α-tan（α+15°）的值．
课堂练习
【综合拓展类作业】
4、升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.6m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
D
A
B
E
1.6m
20m
45°
C
答：旗杆AB的高度为21.6米.
解：由已知得DC=EB=20m
∵tan∠ADC=tan45°=
∴AC=DC
∴AB=AC+CB=20
=20+1.6=21.6(m)
课堂总结
特殊角的三角函数值：
三角函数 锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα
300
450
600
板书设计
30°，45°，60°角的函数值
特殊角的三角函数值：
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．2sin 60°的值等于 ( )
A.1 B. C. D.2
2．已知∠α为锐角，且sin α＝，则∠α＝ ( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C
A
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3、计算:
(1) sin60°-tan45°；
(2) sin45°＋sin60°-2cos45°.
解：(1) sin60°-tan45°= -1= ；
(2)sin45°＋sin60°-2cos45°= + -2×= .
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形．已知∠CEB′＝60°，则tan ∠AEB′＝______.
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则斜边上的中线长为_____.
6．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝____________.
作业布置
【综合拓展类作业】
7.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的直角三角板的斜边与含30°的直角三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．
作业布置
【综合拓展类作业】
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《1.1.2锐角三角函数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 特殊角的三角函数值是在学习了直角三角形的相关性质之后进一步学习的．前两节我们主要探索了直角三角形中锐角三角函数正弦、余弦、正切的概念、表示方法和计算方法，而本节主要让学生熟记特殊角的三角函数值，运用特殊角的三角函数值进行加、减、乘、除运算，并能根据函数值说出对应的锐角度数．教学中要注意引导学生比较这两个方面，看清它们的实质．学好本节内容学生能灵活运用锐角三角函数解决实际生活中的问题．
学习者分析 学生已经学习了正弦、余弦和正切的定义及等腰直角三角形和30°所在的三角形三边之间的关系，所以学生自己可探索出特殊角的三角函数值
教学目标 1．运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值； 2．熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用
教学重点 正确推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能熟练有关计算.
教学难点 30°，45°，60°角的三角函数值的推导过程和记忆.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 什么是正弦、余弦和正切？ 如右图，sinA ＝_____， cosA ＝_____， tanA＝_____. 学生活动1： 学生复习所学知识，回答教师提问的问题。活动意图说明：回顾所学内容，为本节课的教学内容做好准备.环节二：新知探究教师活动2： 如图∠A=30°，在∠A的一边上任取一点B，作BC垂直于∠A的另一条边与点C，则AB=2BC（为什么？） AB=2BC. ∵在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 你能利用下图，求出60°角的三角函数值吗？ (3)sin45°,cos45 °,tan45 °的值分别是多少？ 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=45° ． 设AC=a，那么BC=AC=a，所以 斜边为 根据上面的结果，将30°，45°，60°角的三角函数值填入下表. 1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系） 2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 . 1.计算并与tan30°的值作比较，说说发现的结论 2.计算的值你有什么发现？ 1.同角公式: tanA= sin2A+cos2A=1 2.当∠A+∠B=90°时, sinA=cosB, cosA=sinB, tanA·tanB=1.学生活动2： 思考，计算，引导学生根据锐角三角函数的定义自主探求30°, 45°和60°角的三角函数值. 活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：新知讲解教师活动3： 例1 求下列各式的值: (1)2sin30°-3cos60°； (2)cos245°+tan60°sin60°； (3)cos30°-sin45°+tan45°cos60°. 解：(1)2sin30°-3cos60°=2× -3×=-. (2)cos 45°+tan60°sin60°= +×=2. (3) cos30°-sin45°+tan45°cos60°=×-× +1×=1. 例2 如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，∠BAC=120°. 求BC的长和△ABC的面积. 解：如图，作AD⊥BC. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°. ∵ sin∠BAD=， ∴BD=ABsin∠BAD=8sin60°=8×=4(cm). ∴ BC=2BD=8 (cm). 而cos∠BAD=， ∴ AD=ABcos∠BAD=8cos60°=8=4(cm). ∴=BCAD==16(cm ). 学生活动3： 学生自主解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，共同得到正确的结论.活动意图说明：例题的设置存在梯度，给予学生层次递进的学习过程.
板书设计 特殊角的三角函数值： 30°，45°，60°角的函数值
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2. 在△ABC中，若角A，B满足|cos A－ |＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小是( ) A．45° B．60° C．75° D．105° 选做题： 3.已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求 2sin2α+cos2α-tan（α+15°）的值． 【综合拓展类作业】 4、升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.6m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
课堂总结 特殊角的三角函数值：
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．2sin 60°的值等于 ( ) A.1 B. C. D.2 2．已知∠α为锐角，且sin α＝，则∠α＝ ( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 3、计算:
(1) sin60°-tan45°； (2) sin45°＋sin60°-2cos45°. 选做题 4．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形．已知∠CEB′＝60°，则tan ∠AEB′＝______. 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则斜边上的中线长为_____. 6．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝____________. 【综合拓展类作业】 7.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的直角三角板的斜边与含30°的直角三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．
教学反思 三角尺是学生非常熟悉的学习用具，本节课在学生的积极配合下，比较顺利的完成了本节课的教学内容，大部分学生掌握了本节课的主要内容，基本达到预设的教学目标。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第一章
课标要求 1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值；2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；3）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章的主要内容是直角三角形的边角关系及其实际应用.教材先从测量入手，给学生创设学习情境, 接着研究直角三角形的边角关系——勾股定理及锐角三角函数，最后运用勾股定理及锐角三角函数等知识解决些简单的实际问题.
学情分析 学生目前已经上到九年级，进行九年级相关知识的学习，对于函数的内容，学生在七八年级时已经学习过一次函数，对函数的相关概念已经有了一定的认识，对于锐角三角函数,学生单从名词来说，并不是很容易理解，因此，在教学的过程中，学生对直角三角形中角和边的关系能够理解，但是涉及到角的变化和相应边之间比值的变化之间是函数关系并不是很容易的理解。
单元目标 教学目标1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角比，知道30°、 45°、 60°角的三角函数值;2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由己知三角函数值求它对应的锐角3、理解并掌握直角三角形边角之间的关系4、能综合应用直角三角形的边角关系解决简单的实际问题(二)教学重点、难点教学重点：锐角三角比的概念及解直角三角形的基本类型和方法。教学难点:正确理解锐角三角比的概念和灵活选择解直角三角形的方法。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1锐角三角函数21.2锐角三角函数的计算11.3解直角三角形3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1锐角三角函数1.理解锐角三角函数的概念，并能将三角函数表示为两条线段的比；2.知道30°、 45°、 60°角的三角函数值；3.了解直角三角形中的边与三角函数值的关系。学生能够理解锐角三角函数的概念，知道特殊角的三角函数值，知道直角三角形边角关系任务1.认识三角函数任务2.探究特殊角的三角函数值，理解直角三角形边角关系 任务3.出示例题1.2锐角三角函数的计算1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值.2.掌握用科学计算器求锐角的三角函数值的步骤.3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.会用计算器求锐角三角函数值任务1：认识计算器任务2.探究用计算器求锐角三角函数值的步骤任务3.出示例题1.3解直角三角形1、进一步巩固解直角三角形；2、会用常见添辅助线方法构造直角三角形解决问题；3、体验用数学知识解决实际问题；4、渗透、培养学生将计算器用于解决实际问题的能力。会解直角三角形；能将实际问题转化成数学问题用解直角三角形来解决。任务1.出示问题 任务2.利用锐角三角函数解决实际问题任务3.出示例题
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：探究锐角三角函数的定义
解直角三角形
1.3.3解直角三角形
活动3：例题
活动2：探究方向角问题解决实际问题
活动1：复习引入本节课
1.3.2解直角三角形
活动3：例题
活动2：探究将实际问题转化成数学问题解直角三角形
活动1：引入课题
1.3.1解直角三角形
活动3：例题
活动2：通过探究解直角三角形
活动1：引入课题
1.2锐角三角函数的计算
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：会用计算器计算三角函数值
1.1.2锐角三角函数
活动3：例题
活动2：探究特殊角的三角函数值
活动1：引入课题
1.1.1锐角三角函数
活动3：例题
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