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最值问题专项训练（1）
夯实基础，稳扎稳打
1.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？
2.编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，…求每一根这样的竹条的最短长度．
如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝ cm，高BC＝12 cm，P为BC的中点，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．
4.问题探究：（1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）；（2）如图②所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．
5．如图，圆柱形容器的高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子所走的最短路程．(容器厚度忽略不计)
连续递推，豁然开朗
6.我国古代有这样一个数学问题：枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达到其顶，如图所示，问葛藤之长几何？（1丈=10尺，1尺=米），其题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求葛藤的最短长度。
7．如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 的初始位置在 AB 上，AP＝1，
点 P 由此出发，沿着圆柱的侧面移动到 CD 的 中点 S ，点 P 与点 S 之间的最短距离．
8．如图，圆锥的底面半径为10 cm，高为10cm.(1)求圆锥的全面积；(2)若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥侧面一周回到SA上的点M处，且SM＝3AM，求它所走的最短距离．
9．如图是一个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称；(2)根据所示数据计算这个几何体的全面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．
10. 如图所示，已知圆锥底面半径r＝10 cm，母线长为40 cm.(1)求它的侧面展开图的圆心角和面积；(2)若一甲虫从点A出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，求它所走的最短路线．
思维拓展，更上一层
11．长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？
12．如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即 ，如T（60°）＝1. （1）理解巩固：T（90°）＝ ，T（120°）＝ ；
（2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q.
①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）.（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）
参考答案
1.如图所示，∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.∴PA＝4＋2＋4＋2＝12cm，QA＝5cm，∴PQ＝＝13cm.
2.
3.解：∵圆柱底面直径AB＝ cm，高BC＝12 cm，P为BC的中点，
∴圆柱底面圆的半径是 cm，BP＝6 cm，∴AB＝π×＝8 (cm)，
在Rt△ABP中，AP＝＝10 (cm)．即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10 cm.
5．解：因为壁虎与蚊子在相对的位置上，所以若沿蚊子所在的母线将圆柱形容器的侧面展开，则壁虎在展开图矩形相对两边中点的连线上，如图所示．要求壁虎捕捉蚊子的最短距离，实际上是在EF上找一点P，使PA＋PB的值最小．求这个最小值，于是作点A关于EF的对称点A′，连结A′B，则A′B与EF的交点就是点P，过B作BM⊥AA′于点M.易知A′M＝1.2 m，BM＝0.5 m，所以在Rt△A′MB中，A′B＝＝1.3 m，因为A′B＝A′P＋PB＝AP＋PB，所以壁虎捕捉蚊子所走的最短路程为1.3 m.
6.解：5个侧面展开图拼成长方形——AB==25 (尺）
7.【解】 如解图所示．
∵圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形，
∴AD＝2π.
∵S 是 CD 的中点，∴SD＝2，
∴PS＝ （2－1）2＋（2π）2＝
8．【解析】(1)由题意，可得圆锥的母线SA＝＝＝40(cm)，
∴S侧＝π×10×40＝400π(cm2)，S底＝πAO2＝100π(cm2)，
∴S全＝S侧＋S底＝(400＋100)π＝500π(cm2)．
(2)沿母线SA将圆锥的侧面展开，如图，
则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离．
由(1)知，SA＝40 cm，＝20π cm.∵＝20π(cm)，∴n＝＝90，∴∠S＝90°.
∵SA′＝SA＝40 cm，SM＝3A′M，∴SM＝30 cm，
∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM＝50 cm，∴蚂蚁所走的最短距离是50 cm.
9．解：(1)圆锥(2)全面积S＝12π＋4π＝16π.
(3)如图将圆锥侧面展开，易知C为弧BB′中点，线段BD为所求的最短路程．由条件易得，∠BAB′＝120°，AC⊥BB′，∠BAC＝∠BAB′，所以∠BAD＝60°，所以BD＝ABsin 60°＝3.
10.解：(1)＝2π×10，解得n＝90.∴圆锥侧面展开图的圆心角为90°，
圆锥侧面展开图的面积为π×10×40＝400π(cm2)．
(2)如图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长．在Rt△ASB中，SA＝40 cm，SB＝20 cm，∴AB＝20 cm.
∴甲虫走的最短路线的长度是20 cm.
11．解：将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，
由题意可得：BD=BC+CD=5+10=15cm，AD=CH=15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，
由题意得：BH=BC+CH=5+15=20cm，AH=10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：
则需要爬行的最短距离是15 cm.
连接AB，如图3，
由题意可得：BB′=B′E+BE=15+10=25cm，AB′=BC=5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：
∵∴则需要爬行的最短距离是
12.解：（1）如图1，∠A＝90°，AB＝AC，
则 ∴T（90°）＝ ，
如图2，∠A＝120°，AB＝AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD＝60°，
∴BD＝ AB，∴BC＝ AB，∴T（120°）＝ ；
（2）解：①∵圆锥的底面直径PQ＝8，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
设扇形的圆心角为n°，则 ＝8π，解得：n＝160，
∴圆锥侧面展开图的扇形圆心角为160°；
②∵160°÷2＝80°，∴T（80°）≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.61.
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最值问题专项训练（2）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图所示是一个三级台阶，它的每一级台阶的长、宽和高分别等于5 cm、3 cm和1 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点．A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．求这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短线路长．
2．如图所示，有一个长、宽、高分别为50 cm、40 cm、30 cm的木箱，将一根木棒放入木箱中，求木棒的最长长度.
3．如图所示的上、下底面全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形．如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带的长度至少为多少厘米？(不计接缝，结果保留准确值)
4．如图所示是由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图，求组成几何体的小立方体个
数的最大值与最小值．
5．如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC.(1)求AB的长；(2)求图中阴影部分的面积；(3)若用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．
连续递推，豁然开朗
6．(1)如图1，一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长．(2)如图2，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米(a＞b＞c)将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，并画出周长最大的平面图形．
7．将一直径为17cm的圆形纸片（图①）剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体（图③）形状的纸盒，求这样的纸盒体积的最大值．
8．如图是用矩形厚纸片(厚度不计)做长方体包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处矩形形状的“舌头”用来折叠后粘贴或封盖．(1)若用长31cm，宽26cm的矩形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“舌头”的宽度相等．求“舌头”的宽度和纸盒的高度；
(2)现有一张40cm×35cm的矩形厚纸片，按如图所示的方法设计包装盒，用来包装一个圆柱形工艺笔筒，已知该种笔筒的高是底面直径的2.5倍，要求包装盒“舌头”的宽度为2cm(如有多余可裁剪)，问这样的笔筒底面直径最大可以为多少？
思维拓展，更上一层
9．有若干个大小相同的小立方体堆成如图所示的立体图形，若你打算搬走其中部分小立方 体，但希望搬完后该立体图形的主视图、左视图和俯视图都不变，则你最多可以搬走 几 个 小立方体．
10．如图1是我们常用的一次性纸杯，下面我们来研究一次性纸杯的制作方法之一．如图2，取一个半径为18 cm的圆形纸板，再裁下一个半径为6 cm的同心圆纸板，沿半径OA，OB及CD，AB剪下，由AB，CD及线段AC和BD的部分即可围成纸杯侧面，然后在扇形OCD中再截去一个面积最大的圆形纸板．(1)若∠AOB＝60°，利用图3求裁去的面积最大的圆形纸板半径．(2)(1)中的圆形纸板足够做纸杯的底面，但要进行简单的剪裁，至此，纸杯也就制成了，通过以上数据，请你计算一次性纸杯的高，并回答它最接近于哪一个整数值．
参考答案
1.解：将台阶展开，如图，∵AC＝3×3＋1×3＝12 cm，BC＝5 cm，
∴AB2＝AC2＋BC2＝169，∴AB＝13 cm，即蚂蚁爬行的最短线路为13 cm.
2，解：50
3.解：如图所示，六边形ABCDEF为礼盒的俯视图，连结AD，BE交于点O，则点O为六边形ABCDEF的中心．∴∠AOB＝60°，又AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA＝60°.即△AOB为等边三角形，
过点A作AG⊥BO并延长AG交BE于点G，∴BG＝BO，
∵BE＝60 cm，则BO＝30 cm，BG＝15 cm，AB＝BO＝30 cm.
又∵AG平分∠BAO，∴∠BAG＝∠OAG＝30°，∴AG＝AB·cos 30°＝15 cm，
∴AC＝2AG＝30 cm，
胶带的长至少为：30×6＋15×6＝(180＋90)cm.
4解：12个，7个
5.(1)连结BC，如图．∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，即BC＝米，∴AB＝BC＝1米. (2)扇形ABC的面积为×π×AB2＝(平方米)，⊙O的面积为π×＝(平方米)，所以阴影部分的面积为：－＝(平方米). (3)设所得圆锥的底面圆的半径为r米，根据题意得2πr＝，解得r＝，即所得圆锥的底面圆的半径为米．
6.解：(1)∵正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，
∴要剪12－5＝7条棱，4×(7×2)＝4×14＝56(cm)．答：这个平面图形的周长是56 cm；
(2)如图，这个平面图形的最大周长是8a＋4b＋2c.
7． 解：根据勾股定理求得正要想使正方体的体积最大，那么图2的中间4个正方形组成的矩形的四个顶点就应该都在圆上，设正方形的边长为x，
连接AC，则AC是直径，AC=17，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：，，解得，
因此正方体的体积就是
8. (1)设纸盒底面边长为acm，“舌头”的宽为bcm.由题意可得：解得：2.5×6＝15cm，答：“舌头”的宽度为2cm，纸盒的高度为15cm; (2),直径最大可以是8cm.
9.【解】 如解图所示(解图为俯视图，图中所示数字为该位置上小立方体的个数，方案不 唯一)．
故最多可以搬走 27 个小立方体．
10.解：(1)∵原型纸板与OC、OD、弧CD相切时面积最大，
如图设纸板的圆心为M，作MF⊥OC，设MF＝x，则OM＝6－x，在Rt△MFO中，∠MOF＝30°，
则OM＝2MF，即6－x＝2x，解得x＝2.∴裁去的面积最大的圆形纸板半径为2 cm.
(2)∵∠AOB＝60°，∴弧AB的长为＝12π，
设杯子顶的半径为r，则2πr＝12π，故r＝6，杯子顶部的半径为6 cm，
同理可得杯子底边的半径为2 cm.
∴杯子的高为≈11.31(cm)．
∴杯子的高最接近整数11.
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