第6章 反比例函数专题复习
【课标要点】
1.掌握反比例函数的图象及性质；
2.会求反比例函数的解析式；
3.会画反比例函数的图象.
【知识网络】
第1讲 反比例函数
【知识要点】
1、一般地，函数或叫做反比例函数.
2、反比例函数图象的特点：
⑴当时，图象位于一、三象限，在每一象限内，y随x增大而减小.
⑵当时，图象位于二、四象限，在每一象限内，y随x增大而增大.
【典型例题】
例1 已知
⑴如果是的正比例函数，求的值；
⑵如果是的反比例函数，求的值.
分析：根据正比例函数和反比例函数的概念，正比例函数要满足中的指数为1，又要满足系数而反比例函数须满足的指数为-1，且系数
解：⑴若是的正比例函数，由题意知：
解得： 所以
故若是的正比例函数，则
⑵若是的反比例函数，由题意知：
解得： 所以
故若是的反比例函数，则
例2.的反比例函数，下表给出了与的一些值：
x
-2
-1
1
3
y
2
-1
⑴写出这个反比例函数的表达式；
⑵根据函数表达式完成上表.
分析：已知是的反比例函数，根据图表中给出的信息求出反比例函数此问题的关键在于确定的值.
解：⑴设反比例函数为当时，得所以反比例函数为.
⑵利用函数表达式把已知的或的值代入表达式，即可解出未知或的值.从左到右依次填：
例3 如图19-1-1，
已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若
⑴求点的坐标；
⑵求一次函数和反比例函数的解析式.
分析：⑴由及点所在的坐标轴的特征，直接写出三点坐标.先由点坐标确定一次函数的解析式，然后求出点坐标，最后确定反比例函数的解析式.
解：⑴∵，∴.
⑵∵在一次函数的图象上，
∴ 解得：
∴一次函数解析式为：
∴C点在一次函数的图象上，且轴. ∴点的坐标为（1，2）.
又∵C点在反比例函数的图象上，∴将C（1，2）点代入，得
∴反比例函数的解析式为
【知识运用】
一、解答题
1.已知反比例函数与一次函数的图象都经过点，并且在时，这两个函数的函数值相等，求这两个函数的解析式.
2.如图，已知两点是反比例函数 的图象上任意两点，过两点分别作轴的垂线，垂足分别是，连结 求梯形的面积与的面积是多少？
第2讲 反比例函数的应用
【知识要点】
1.反比例函数的应用就是指运用反比例函数的概念、性质去解决实际问题，因此必须要通过对题目的阅读理解抽象出实际问题的函数关系，再利用反比例函数的思想去解决.
2.应注意以下几个问题：⑴在反比例函数关系中，（定值）；⑵在实际问题中：.
【典型例题】
例1一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，
⑴ 求与的函数关系式；
⑵求当时，氧气的密度.
分析：由题意知：，把、的已知数值代入即可求出常数，再把代入即可求出.
解：⑴设，当时，
∴， ∴
∴与的函数关系是.
⑵当时，，
当时，氧气的密度为
例2 已知：正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数 的图象上，点是函数 的图象上的任意一点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为并设矩形不重合的部分的面积为如图19-2-1所示.
⑴求点的坐标和的值；
⑵当时，求点的坐标；
⑶写出与之间的函数关系式.
分析：⑴先根据面积求出点坐标，再根据函数图象过这点求出的值；⑵由于图形不定应当讨论.
解：⑴根据题意得：∴点的坐标为
把代入中，得
⑵∵在函数上，∴
①当时，如图19-2-2所示，由已知得解得：
∴即点的坐标为
②当时，如图19-2-2所示，由已知得解得：
∴即点的坐标为
⑶①如图19-2-3所示，当时，∵点的坐标为，且点在上，
∴由已知得：∴
②如图19-2-4所示，当时，同理可得：∴
【知识运用】
一、解答题
1.已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6，求一次函数的图象与轴、轴的交点坐标.
反比例函数家庭作业
一、解答题
1.已知二氧化碳的密度与体积的函数关系式是.
求当时二氧化碳的密度；
请写出二氧化碳的密度随的增大（或减小）而变化的情况.
2.已知一次函数与反比例函数的图象在第一象限内的交点为⑴求得值；⑵求一次函数和反比例函数的解析式.
3.已知反比例函数和一次函数的图象都经过点
⑴求点的坐标及这个一次函数的解析式；
⑵若点和点都在这个一次函数的图象上，试通过计算或利用一次函数的性质，说明大于.
参考答案
第1讲
一、解答题
1.
2.设交于点 ∵
∴=，则=+=+=
：=1：1.
第2讲
一、解答题
1.一次函数与轴的交点为，与轴的交点为
反比例函数家庭作业
一、解答题
1.⑴； ⑵密度随体积的增大而减小.
2. ⑴；⑵
3. ⑴一次函数的解析式为
⑵由一次函数的图象可知.在其定义域内随的增大而减小，
又∵， ∴
第6章 反比例函数
教学目标：
(一)教学知识点
1.经历抽象反比例函数概念的过程、领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.
2.会作反比例函数的图像，并探索和掌握反比例函数的主要性质.
3.会从函数图像中获取信息，解决实际问题.
(二)能力训练要求
1.熟练掌握本章的知识网络结构.
2.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念，培养学生的抽象思维能力.
3.经历一次函数的图像及其性质的探索过程，在交流中发展学生的合作意识和能力.
4.能利用图像解决实际问题.
(三)情感与价值观要求
通过本章内容的回顾与思考，培养学生的归纳、整理等能力；能利用反比例函数的性质及图像解决实际问题，发展学生的数学应用能力，经历函数图像信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力.
教学重点：反比例函数的概念，会画反比例函数的图像，并掌握其性质.反比例函数的应用.
教学难点：探索反比例函数的主要性质.反比例函数的应用.
教学方法：师生交流互动法.
教具准备：多媒体课件
教学过程：
Ⅰ.导入
[师]本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内容?
[生]反比例函数的定义；反比例函数的图像及性质；反比例函数的应用.
[师]下面请大家系统全面地进行复习.
Ⅱ.重点知识回顾
一、本章知识结构
[师]由刚才大家的回忆，我们一齐来构造本章内容结构图，好吗?(给学生时间让学生自己构造，然后出示投影片)
1.本章内容框架
[师]同学们可以根据以上内容框架，
用自己的语言归纳总结本章内容.
二、举出现实生活中有关反比例函数
的实例，并归纳反比例函数概念.
[生]例：当三角形的面积是12 cm2时，
它的底边a(cm)是这个底边上的高h(cm)
的函数.
解：a＝.
在上式中，每给h一个值，相应地就
确定了一个a的值.因此a是h的函数，又它们之间的关系符合y=(k≠0),因此，a是h的反比例函数.
三、说说函数y＝和y＝-的图像的联系和区别.
[生]联系：(1)图像都是由两支曲线组成；
(2)它们都不与坐标轴相交；
(3)它们都不过原点，既是中心对称图形，又是轴对称图形.
区别：(1)它们所在的象限不同，y=的两支曲线在第一和第三象限；y=-的两支曲线在第二和第四象限.
(2)y＝的图像在每个象限内，y随x的增大而减小:y=-的图像在每个象限内，y随x的增大而增大.
[师]还有一点.虽然y＝和y=-的图像不同，但是在这两个函数图像上任取—点，过这两点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积相等，都为2.
四、画反比例函数图像的步骤，讨论反比例函数图像的性质
[生]画图像的步骤有列表，描点，连线.在画反比例函数的图像时应注意：列表时自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值，并尽量多取一些点，连线时要连成光滑的曲线，而不是折线.
反比例函数图像的性质有：
1.反比例函数的图像是两支双曲线，当k>0时，图像分别位于第一、三象限；当k<0时，图像分别位于第二、四象限.
2.当k>0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大.
3.因为在y= (k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图像不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
4. 在一个反比例函数图像上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2
5. 反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.
[师]这位同学总结的非常详细，下面进行有关练习.
1.下列函数中，其图像位于第一、三象限的有哪些?在其图像所在象限内，y的值随x值的增大而增大的是哪些( )
(1) (2) (3) (4)
2.在函数的图像上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是多少?
分析：根据反比例函数图像的根据，当k＞0时，图像位于第一、三象限，在每一个象
限内，y随x，的大而减小；当k<0时，正好相反，但在中，形式好像和反比例函数的形式不相同，但可以化成的形式好像和反比例函数.
[生]1.图像位于第一、三象限的有(1)(2).在其图像所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有(3)(4).
2. 由题意可知
S=｜k｜=3.
五、你能用反比例函数的知识解决有关问题吗?
1.一个圆台物体的上底面积是下底面积的，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200 Pa，倒过来放，对桌面的压强是多少?
2.一定质量的CO2，当体积v＝5米3时.它的密度ρ＝1.98千克／米3，求(1)ρ与v的函数关系式；
(2)当v=9米3时，CO2的密度.
[师]分析：压强p与受力面积S，压力F之间的关系为p=，因为是同一物体，所以F是一定的，由于面积不同，所以压强也不同.
质量m，密度ρ和体积v之间的关系为：ρ=由，由v=5米3，ρ=1.98千克／米3,可知质量m，实际是已知反比例函数中的k，就求出了反比例函数关系式.
解：1.当下底面放在桌面上时，对桌面的压强为p1＝＝200Pa,所以倒过来放时，对桌面的压强p2＝＝800Pa.
2.设CO2的质量为m千克，将v=5米3，ρ=1.98千克／米3代入公式ρ＝中，得m=9.9千克.
故所求ρ与v间的函数关系式为ρ＝.
(2)当v＝9米3时，ρ=＝1.1(千克／米3)，
Ⅲ.课堂练习
1.对于函数y=，当x>0时，y_______0，这部分图像在第______象限；对于y＝-，当x<0时，y____0，这部分图像在第_____象限.
2.函数y=的图像在第____象限内，在每一个象限内，y随x的增大而______.
3.根据下列条件，分别确定函数y＝的表达式
(1)当x=2时，y＝-3；
(2)点(-)在双曲线y＝上.
答案：
1.> 一、三 < 二、四
2.一、三 减小
3.(1)y= (2)y=；
Ⅳ.课时小结
本节课我们从现实世界出发，抽象出反比例函数的概念，比较了反比例函数y=和y=-的图像的联系和区别，归纳了反比例函数的图像和性质，并进一步进行了应用.
Ⅴ.课后作业
复习题—目标与评定
Ⅵ.活动与探究
反比例函数图像与矩形的面积
若点A是反比例函数y= (k≠0)图像上的任意一点，且AB垂直x轴，垂足为B，AC垂直于y轴，垂足为C,则矩形面积SABOC=｜k｜.＝图(1).
1.如图(2)，P是反比例函数)y= (k≠O)图像上的一点，由P点分别向x轴，y轴引垂线，得阴影部分(矩形)的面积为3，则 这个反比例函数的表达式______.
2. 如图（3）过双曲线y=上两点A、B分别作x轴，y轴的垂线，若矩形ADDC与矩形BFOE的面积分别为S1,S2,则S1与S2的关系是_____.
1.解：由题意得｜k｜=3.
又双曲线的两支分布在第二、四象限，所以k<0，故k＝-3.
∴k=.
2.解：由题意得
S1=S2=｜k｜=2.
