3.2三角形的内切圆
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课件24张PPT。3.2三角形的内切圆 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？生活实例三角形的内切圆怎样作呢？例1、作圆，使它和已知三角形的各边都相切．（1）作圆的关键是什么?讨论以下几个问题：（2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件?（3）这样的点I应在什么位置? （4）圆心I确定后半径如何找？ 结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．（确定圆心和半径）（角平分线的交点）（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）到三角形三边的距离相等3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆ABC作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.三角形内切圆的圆心叫三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等①三角形的内心是三角形角平分线的交点③三角形的内心一定在三角形的内部例1、作圆，使它和已知三角形的各边都相切． 1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2、和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.定义（三角形外接圆的圆心）1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3.内心在三角形内部．比一比 1.如图1，△ABC是⊙O的 三角形。⊙O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，它是三角形 的交点。外接内接外心三边中垂线外切内切内三个角平分线2.如图2，△DEF是⊙I的 三角形，⊙I是△DEF的 圆，点I是 △DEF的 心，它是三角形 的交点。填一填1无数内部 BAC 140o ABC ACB 4、 如上图，四边形DEFG是⊙O的 四边形，⊙O是四边形DEFG的 圆.3、 三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____个,三角形的内心在圆的_______.
2.如图,O是△ABC的内心,则OA平分∠______, OB平分∠______,OC平分∠______,.
(2) 若∠BAC=100o,则∠BOC=______.内切外切填一填x01、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3、等边三角形的内心和外心重合； （ ）
4、三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
5、菱形一定有内切圆（ ）
6、矩形一定有内切圆（ ）错错对对 错 对辨一辨D例2、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面是圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３cm，求圆柱底面的半径。解：设⊙O且AB于点D，连结OA，OB，OD∵⊙O是△ABC的内切圆∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线∵△ABC是正三角形∴∠OAB=∠OBA=300∵OD⊥AB，AB=3cm∴AD=BD=1/2AB=1.5cm（2）AD=AF=n-a，BE=BD=n-b，CF=CE=n-c。例4、已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为a,b,c,I为内心，内切圆半径为r,
求△ABC的面积S(用a,b,c,r表示）证明：连结AI,BI,CI
Ｓ△ABC ＝Ｓ△ABI + Ｓ△BCI + Ｓ△ACI练习：
⑴边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿＿
⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿＿11.5.ABCabcrr =a+b-c2rO例5、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，求求其内切圆O的半径长。ED1、三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点（如图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想在△ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，请你帮助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？练一练2、已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x∴(13-x)+(9-x)=14解：设AF＝x，则BF=13-x因此，AE=AF=x,BD=BF=13-x,
DC=EC=9-x,解得x=4答：AF=4，BD=9，CE=5。∴AF=4，BD=9，CE=5练一练又∵BD+CD=143.正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ）4、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ）（A）矩形 （B）菱形 （C）正方形 （D）平行四边形DC练一练5、菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为（ ）6、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）（A）70° （B）110°
（C）120° （D）130° 练一练DB7、如图, ?ABC 的内心为I,外心为O.求证:(2) ? BOC = 4?BIC ?360 ° 练一练1.本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 .
2.通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。
3.学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外心”的区别，
4.利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。课堂小结：过圆外一点，你能作出几条圆的切线呢？它们之间有什么关系呢？合作探究PBCO切线长：在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长。思考：切线长和切线的区别和联系？小结：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。合作探究切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。pABO∵PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO∴PA=PB，∠OPA=∠OPB合作探究几何语言表示： 如图，△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点E，与BC交于点D.
求证：（1）IE＝BE拓展提高(2)设△ABC外接圆半径R=3，IE=2，AE=x，DE=y，当点A在优弧BC上运动时，求函数y与自变量x间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）若外接圆半径为R，内切圆的半径为r，求证：AI:r=2R:ID再见！
求作：和△ABC的各边都相切的圆ABC作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.三角形内切圆的圆心叫三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等①三角形的内心是三角形角平分线的交点③三角形的内心一定在三角形的内部例1、作圆，使它和已知三角形的各边都相切． 1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2、和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.定义（三角形外接圆的圆心）1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3.内心在三角形内部．比一比 1.如图1，△ABC是⊙O的 三角形。⊙O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，它是三角形 的交点。外接内接外心三边中垂线外切内切内三个角平分线2.如图2，△DEF是⊙I的 三角形，⊙I是△DEF的 圆，点I是 △DEF的 心，它是三角形 的交点。填一填1无数内部 BAC 140o ABC ACB 4、 如上图，四边形DEFG是⊙O的 四边形，⊙O是四边形DEFG的 圆.3、 三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____个,三角形的内心在圆的_______.
2.如图,O是△ABC的内心,则OA平分∠______, OB平分∠______,OC平分∠______,.
(2) 若∠BAC=100o,则∠BOC=______.内切外切填一填x01、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3、等边三角形的内心和外心重合； （ ）
4、三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
5、菱形一定有内切圆（ ）
6、矩形一定有内切圆（ ）错错对对 错 对辨一辨D例2、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面是圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３cm，求圆柱底面的半径。解：设⊙O且AB于点D，连结OA，OB，OD∵⊙O是△ABC的内切圆∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线∵△ABC是正三角形∴∠OAB=∠OBA=300∵OD⊥AB，AB=3cm∴AD=BD=1/2AB=1.5cm（2）AD=AF=n-a，BE=BD=n-b，CF=CE=n-c。例4、已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为a,b,c,I为内心，内切圆半径为r,
求△ABC的面积S(用a,b,c,r表示）证明：连结AI,BI,CI
Ｓ△ABC ＝Ｓ△ABI + Ｓ△BCI + Ｓ△ACI练习：
⑴边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿＿
⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿＿11.5.ABCabcrr =a+b-c2rO例5、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，求求其内切圆O的半径长。ED1、三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点（如图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想在△ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，请你帮助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？练一练2、已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x∴(13-x)+(9-x)=14解：设AF＝x，则BF=13-x因此，AE=AF=x,BD=BF=13-x,
DC=EC=9-x,解得x=4答：AF=4，BD=9，CE=5。∴AF=4，BD=9，CE=5练一练又∵BD+CD=143.正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ）4、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ）（A）矩形 （B）菱形 （C）正方形 （D）平行四边形DC练一练5、菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为（ ）6、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）（A）70° （B）110°
（C）120° （D）130° 练一练DB7、如图, ?ABC 的内心为I,外心为O.求证:(2) ? BOC = 4?BIC ?360 ° 练一练1.本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 .
2.通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。
3.学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外心”的区别，
4.利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。课堂小结：过圆外一点，你能作出几条圆的切线呢？它们之间有什么关系呢？合作探究PBCO切线长：在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长。思考：切线长和切线的区别和联系？小结：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。合作探究切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。pABO∵PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO∴PA=PB，∠OPA=∠OPB合作探究几何语言表示： 如图，△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点E，与BC交于点D.
求证：（1）IE＝BE拓展提高(2)设△ABC外接圆半径R=3，IE=2，AE=x，DE=y，当点A在优弧BC上运动时，求函数y与自变量x间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）若外接圆半径为R，内切圆的半径为r，求证：AI:r=2R:ID再见！