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分课时教学设计
第一课时《1.3.3解直角三角形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节是九年级下册第一章《解直角三角形》第三节的第三课时，是在学生学习了锐角三角函数及解直角三角形后的进一步学习。本节内容以实际生活中的问题为背景，巩固解直角三角形的初步应用，通过解直角三角形来解决方位角以及仰角、俯角等问题，让学生体验将许多有关图形化归为直角三角形问题来解决，渗透用数学知识解决实际问题的数学建模思想。
学习者分析 学生计算能力较差，一部分学生乘除变形都会出错，对计算也存在畏难情绪，而本节课教学内容要求有一定的计算基础，可放慢计算节奏，使学生在轻松的环境中进行。我的学生逻辑思维能力也较差，不会举一反三，只会简单模仿。进入初三以来，学生学习数学的积极性有所提高，可充分发挥学生的自主性去学习，学习过程中提高逻辑思维能力和逻辑推理能力。
教学目标 1．继续经历将实际问题化归为解直角三角形问题的过程，探索解直角三角形在解决实际问题中的一些应用． 2．会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题． 3．进一步体会数形结合和函数思想的运用．
教学重点 了解方位角、仰角与俯角的概念.
教学难点 运用解直角三角形来解决方位角、仰角、俯角有关的实际问题
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 东方明珠塔是上海市的一个标志性建筑.它有多高呢？ 在实际问题中，为了测量建筑物的高度，我们常使用测角仪支架，测得它的仰角(或俯角).什么是仰角和俯角呢？学生活动1： 学生思考回答问题。活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：新知探究教师活动2： 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角。 如图所示： 学生活动2： 老师讲解，学生通过图理解仰角，俯角，方位角 活动意图说明：学生探究利用解直角三角形解决仰角，俯角，方位角问题，在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：典例精析教师活动3： 例1、 如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12′，点C的俯角为43°24′，求这两幢楼的高度(精确到0.1m). 解：在Rt△ABC中， ∠ACB=∠FAC=43°24′， ∴AB=BC×tan∠ACB =32.6×tan43°24′≈30.83≈30.8(m). 在Rt△AED中，∠ADE=∠DAF=35°12′，DE=BC=32.6(m)， ∴AE=DE×tan∠ADE =32.6×tan35°12′≈23.00(m). ∴ CD=AB-AE≈30.83-23.00 =7.83≈7.8(m). 答：两幢楼高分别约为30.8m和7.8m. 归纳总结： (1)仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，可简记为“上仰下俯”，仰角和俯角都是锐角. (2)在实际问题中，常利用平行线的性质，将仰角或 俯角放在直角三角形或转化到直角三角形中. 例2、某海防哨所O发现在它的北偏西30°，距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的B处.求船从A处到B处的航速(精确到1km/h). 解：根据题意画出示意图，如图. 在Rt△AOC中，OA=500m，∠AOC=30°， ∴AC=OAsin∠AOC=500×sin30° =500×=250(m)， OC=OAcos∠AOC=500×cos30° =500×=250(m). 在Rt△BOC中，∠BOC=45°，∴BC=OC=250(m)， ∴AB=AC+BC=250+250=250(1+)(m). 所以船的航速为 250(1+)÷3×60 ≈14000(m/h)=14(km/h) 答：船从A处到B处的航速约为14km/h. 归纳总结： (1)方向角通常以南北线为起始线，习惯说“南偏东(或西)” 或“北偏东(或西)”. (2)含有45°角的方向角是特殊的一类，可直接描述为： 北偏东45°→东北方向；北偏西45°→西北方向； 南偏东45°→东南方向；南偏西45°→西南方向. (3)各观测点的南北线互相平行，通常借助此性质进行角度转化. (4)方向角是小于90°的角.学生活动3： 学生通过计算给出答案，教师通过多媒体展示具体求解过程活动意图说明：通过例题、总结解题方法，让学生经历知识更新的产生，更能深化理解解决实际问题的方法，并达到活跃课堂氛围，激发学生的积极性，在不同水平的学生都得到发展，真正落实“面向全体学生”的教学要求。
板书设计 1.在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. 2.以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标方向线所成的锐角叫做方向角.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ） A.160 2. 王英同学从A地沿北偏西60 方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ） A.50 3.如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75） 选做题： 4、如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？ 【综合拓展类作业】 5.如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔 ，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45° ，然后他们沿着坡度为i=1:2.4的斜坡攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76° (1)求坡顶A到地面PQ的距离； (2)计算古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76° ，cos76° ， tan76°）
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0°刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 2.如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上，已知CD＝9.6 m，则旗杆AB的高度为________m. 选做题 3.两座建筑物DA与CB，其地面距离DC为50.4米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角α=20°，测得其底部C的俯角β=35°.求这两座建筑物的高.(精确到0.1米) 【综合拓展类作业】 4．如图，小东在教学楼距地面9 m高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25 m处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46 s结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据： sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
教学反思 通过仰角，俯角，方位角的认识和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形问题”的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题。给出一定情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力。
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1.3.3解直角三角形
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1．继续经历将实际问题化归为解直角三角形问题的过程，探索解直角三角形在解决实际问题中的一些应用．
2．会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．
3．进一步体会数形结合和函数思想的运用．
新知导入
东方明珠塔是上海市的一个
标志性建筑.它有多高呢？
在实际问题中，为了测量建筑物的高度，我们常使用测角仪支架，测得它的仰角(或俯角).
新知讲解
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
典例精析
例1、 如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12′，点C的俯角为43°24′，求这两幢楼的高度(精确到0.1m).
A
B
C
D
E
F
35°12′
43°24′
32.6m
典例精析
在Rt△AED中，∠ADE=∠DAF=35°12′，DE=BC=32.6(m)，
∴AE=DE×tan∠ADE
=32.6×tan35°12′≈23.00(m).
∴ CD=AB-AE≈30.83-23.00
=7.83≈7.8(m).
答：两幢楼高分别约为30.8m和7.8m.
解：在Rt△ABC中，
∠ACB=∠FAC=43°24′，
∴AB=BC×tan∠ACB
=32.6×tan43°24′≈30.83≈30.8(m).
归纳总结
(1)仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，可简记为“上仰下俯”，仰角和俯角都是锐角.
(2)在实际问题中，常利用平行线的性质，将仰角或
俯角放在直角三角形或转化到直角三角形中.
新知讲解
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角。 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
北偏东30°
南偏西45°
典例精析
例2、某海防哨所O发现在它的北偏西30°，距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的B处.求船从A处到B处的航速(精确到1km/h).
典例精析
解：根据题意画出示意图，如图.
在Rt△AOC中，OA=500m，∠AOC=30°，
∴AC=OAsin∠AOC=500×sin30°
=500×=250(m)，
OC=OAcos∠AOC=500×cos30°
=500×=250(m).
典例精析
在Rt△BOC中，∠BOC=45°，∴BC=OC=250(m)，
∴AB=AC+BC=250+250=250(1+)(m).
所以船的航速为
250(1+)÷3×60
≈14000(m/h)=14(km/h)
答：船从A处到B处的航速约为14km/h.
归纳总结
(1)方向角通常以南北线为起始线，习惯说“南偏东(或西)”
或“北偏东(或西)”.
(2)含有45°角的方向角是特殊的一类，可直接描述为：
北偏东45°→东北方向；北偏西45°→西北方向；
南偏东45°→东南方向；南偏西45°→西南方向.
(3)各观测点的南北线互相平行，通常借助此性质进行角度转化.
(4)方向角是小于90°的角.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A.160
2. 王英同学从A地沿北偏西60 方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地的距离AC为（ ）
A.50
A
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75）
A
B
37°
45°
400米
P
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
设PO=x米，
在Rt△POB中，∠PBO=45°，
在Rt△POA中，∠PAB=37°，
tan∠PAB=
OB=PO= x米.
解得x=1200.
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
即
故飞机的高度为1200米.
O
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：过A作AF⊥BC于点F，CE交AB于点E
则AF的长是A到BC的
最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，
∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.
4、如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
北
东
A
C
B
60°
30°
D
F
E
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA
= 90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
∴AF=AC · cos30°=6 (海里)，
6≈10.392＞8，
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔 ，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45° ，然后他们沿着坡度为i=1:2.4的斜坡攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°
(1)求坡顶A到地面PQ的距离；
(2)计算古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76° ，cos76° ， tan76°）
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：过点A作 AH于H，如图所示：
∵斜坡AP 的坡度为i=1:2.4 ，
∴ ，
设AH=5k，则PH=12k ，
则AP= ，
=26
解得：k=2 ，
∴AH=10，
坡顶A到地面PQ的距离为 10米．
课堂练习
【综合拓展类作业】
（2）解：延长 BC交 PQ于D，如图所示：
∵BC⊥AC，ACllPQ，
∴BD⊥PQ，
∴∠ACD=∠CDH=∠AHD=90°，
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10， AC=DH
∴∠BPD=45°，∴△PBD为等腰直角三角形，∴PD=BD
设BC=x,则x+10=24+DH，∴AC=DH=x-14。
在Rt△ABC中，tan76°=, ∴≈4,解得: x≈19。
∴古塔BC的高度约19米.
课堂总结
俯角仰角
在视线与水平线所成的角中，
视线在水平线上方的角叫做仰角，
视线在水平线下方的角叫做俯角.
解直角三角形
以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标方向线所成的锐角叫做方向角.
一是分析题意，画出准确的示意图；
二是添加合适辅助线，构造直角三角形解决问题.
解题步骤
方向角
板书设计
1.在视线与水平线所成的角中，
视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.
2.以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标方向线所成的锐角叫做方向角.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0°刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
2.如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上，已知CD＝9.6 m，则旗杆AB的高度为________m.
B
14.4
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.两座建筑物DA与CB，其地面距离DC为50.4米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角α=20°，测得其底部C的俯角β=35°.求这两座建筑物的高.(精确到0.1米)
C
B
A
D
α
β
50.4
E
则AD=EC=AE·tanβ≈50.4×0.7≈35.3(米)
解：如图AD=EC，
Rt△AEC中，tanβ=
Rt△ABE中，tanα=
则BE=AE·tanα≈50.4×0.36≈18.1(米)
BC=EC+BE=35.3+18.1=53.4(米)
作业布置
【综合拓展类作业】
4．如图，小东在教学楼距地面9 m高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25 m处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46 s结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为多少？(结果保留小数点后一位，参考数据：
sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
作业布置
【综合拓展类作业】
解：过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△BCD中，BD＝9 m，∠BCD＝45°，则CD＝BD＝9 m.
在Rt△ACD中，CD＝9 m，∠ACD＝37°，
则AD＝CD·tan 37°≈9×0.75＝6.75(m)．
所以AB＝AD＋BD≈15.75 m，
整个过程中国旗上升的高度约为15.75－2.25＝13.5(m)，
因为耗时46 s，所以上升速度约为≈0.3(m/s)．
答：国旗匀速上升的速度约为0.3 m/s.
D
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第一章
课标要求 1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值；2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；3）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章的主要内容是直角三角形的边角关系及其实际应用.教材先从测量入手，给学生创设学习情境, 接着研究直角三角形的边角关系——勾股定理及锐角三角函数，最后运用勾股定理及锐角三角函数等知识解决些简单的实际问题.
学情分析 学生目前已经上到九年级，进行九年级相关知识的学习，对于函数的内容，学生在七八年级时已经学习过一次函数，对函数的相关概念已经有了一定的认识，对于锐角三角函数,学生单从名词来说，并不是很容易理解，因此，在教学的过程中，学生对直角三角形中角和边的关系能够理解，但是涉及到角的变化和相应边之间比值的变化之间是函数关系并不是很容易的理解。
单元目标 教学目标1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角比，知道30°、 45°、 60°角的三角函数值;2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由己知三角函数值求它对应的锐角3、理解并掌握直角三角形边角之间的关系4、能综合应用直角三角形的边角关系解决简单的实际问题(二)教学重点、难点教学重点：锐角三角比的概念及解直角三角形的基本类型和方法。教学难点:正确理解锐角三角比的概念和灵活选择解直角三角形的方法。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1锐角三角函数21.2锐角三角函数的计算11.3解直角三角形3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1锐角三角函数1.理解锐角三角函数的概念，并能将三角函数表示为两条线段的比；2.知道30°、 45°、 60°角的三角函数值；3.了解直角三角形中的边与三角函数值的关系。学生能够理解锐角三角函数的概念，知道特殊角的三角函数值，知道直角三角形边角关系任务1.认识三角函数任务2.探究特殊角的三角函数值，理解直角三角形边角关系 任务3.出示例题1.2锐角三角函数的计算1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值.2.掌握用科学计算器求锐角的三角函数值的步骤.3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.会用计算器求锐角三角函数值任务1：认识计算器任务2.探究用计算器求锐角三角函数值的步骤任务3.出示例题1.3解直角三角形1、进一步巩固解直角三角形；2、会用常见添辅助线方法构造直角三角形解决问题；3、体验用数学知识解决实际问题；4、渗透、培养学生将计算器用于解决实际问题的能力。会解直角三角形；能将实际问题转化成数学问题用解直角三角形来解决。任务1.出示问题 任务2.利用锐角三角函数解决实际问题任务3.出示例题
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：探究锐角三角函数的定义
解直角三角形
1.3.3解直角三角形
活动3：例题
活动2：探究方向角问题解决实际问题
活动1：复习引入本节课
1.3.2解直角三角形
活动3：例题
活动2：探究将实际问题转化成数学问题解直角三角形
活动1：引入课题
1.3.1解直角三角形
活动3：例题
活动2：通过探究解直角三角形
活动1：引入课题
1.2锐角三角函数的计算
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：会用计算器计算三角函数值
1.1.2锐角三角函数
活动3：例题
活动2：探究特殊角的三角函数值
活动1：引入课题
1.1.1锐角三角函数
活动3：例题
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