(共17张PPT)
便利的
交通设计
气派的
学校正门
6.9 直线的相交
学习内容
1.了解相交线和对顶角的概念；
2.理解对顶角相等；
3.会利用余、补角和对顶角的性质进行有关角的计算.
O
·
D
B
C
A
如图直线AB与CD相交，交点是O点。
1
2
3
4
对顶角
① 顶点相同；
② 角的两边互为反向延长线.
两直线相交，形成两对对顶角，四对邻补角。
（一同两反）
如果两条直线只有一个公共点，
就说这两条直线相交。
顶点 角的两边
∠1
∠2
点O
点O
射线OA、OC
射线OB、OD
新知1：相交线与对顶角
1
2
1
2
1
2
1
2
1.如图，∠1和∠2是对顶角吗？为什么？
1
2
1
2
不是
不是
不是
不是
不是
是
2.下列关于对顶角的定义说法正确的是（ ）
A.有公共顶点的两个角
B.有公共顶点且相等的两个角
C.一个角的两边分别是另一个角的两边的延长
线
D.一个角的两边分别是另一个角的两边的反向
延长线
D
例1：如图三条直线相交于点O，写出图中的几组对顶角？
C
D
E
F
O
分类讨论思想
题后反思:
A
B
1、如果∠1=28°，
则∠2=（ ）
1
2
28°
对顶角的性质：
对顶角相等.
∴∠1=∠2
（对顶角相等）
∵∠1与∠2是对顶角
符号语言：
2、如果 ∠1=x°，
则∠2=（ ）
x°
A
O
E
B
D
新知2：对顶角的性质
例2：如图,已知直线AD与BE相交于
点O, ,∠COE=62°
求∠AOB的度数.
A
O
E
B
D
C
62°
解∵OC为∠AOE的平分线( 已知 )
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=2∠COE=2×62°=124°
∴∠DOE=180°-∠AOE=180°-124°=56°
∴∠AOB=∠DOE ( 对顶角相等)
∴∠AOB=56°.
∵∠AOB与∠DOE是对顶角 ( 已知 )
C
62°
OC为∠AOE的平分线
∠DOE与∠COE互余
相交线——对顶角
概念
性质
“一同两反”
对顶角相等
思想方法：
分类讨论、数形结合
1、下列关于对顶角的说法正确的个数为
( )：
1)对顶角相等 ； 2)相等的角是对顶角 ； 3)若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； 4)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.
A.1个 B.2个 C .3个 D.4个
B
课后巩固
方程思想
2.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD,且∠AOC=∠COB-30°，则∠AOE = 度
142.5
O
A
B
C
D
E
3.观察图，寻找对顶角.
(1)
(2)
(3)
若有10条直线相交于一点，则可形成 对对顶角？
若有n条直线相交于一点呢？
4.下图中AB,CD,EF相交于点0，则图中共有_____对对顶角
6
O
E
D
C
B
A
F
5.如图，直线AB,CD相交于点O，射线OE平分∠COB.已知∠EOC=60°，求∠AOD和∠BOD的度数.
6.如图，点O在直线AB上，且∠AOC=∠BOD，则∠BOD与∠BOC互为补角，请说明理由.
谢谢！(共35张PPT)
学习内容
1.认识并能表示两直线互相垂直;
2.学会画两直线垂直，并探索垂线的性质;
3.能运用“垂线段最短”解决实际问题.
a
b
a
b
下面是同一平面内两条直线相交的情况：
我们把这种情形
叫做垂直
900
知识回顾(1分钟)
新知1：垂直的概念及表示方法
自学P169的的内容并思考：
1、我们身边有相互垂直的线吗？
2、完成P170“做一做”中的问题。
3、怎么画两条相互垂直的线？
4、怎么表示两条相互垂直的线？
当两条直线相交所成的四个角中有一个是_____ 时，这两条直线________。
其中一条直线叫做另一条直线的______。
互相垂直的两条直线的交点叫做______。
两条线段、射线互相垂直，是指它们所在的直线互相垂直。
直角
互相垂直
垂线
垂足
如果直线AB与直线CD垂直
如果用l、m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，
那么可记作：
l⊥m（或m ⊥ l）
A
B
C
D
O
l
m
垂直的表示法：
“⊥”读作“垂直于”
O为垂足
∵ AB⊥CD
∵∠AOC=90°
∴∠AOC=90°
∴ AB⊥CD
AB⊥CD（或CD⊥AB）
可记作：
垂
直
的
性
质
垂
直
的
判
定
1.找出图中互相垂直的线段：
A
AO ⊥ CO
BO ⊥DO
B
C
D .
O
.
.
.
学以致用1
2.找出图中互相垂直的线段
A
B
C
D
E
AC ⊥ BC, AC ⊥CE, AC ⊥BE
CD ⊥ BC ,CD ⊥CE, CD ⊥BE
AD ⊥ BC, AD ⊥CE, AD ⊥BE
3、如图，CD⊥EF，∠1= ∠ 2，则AB ⊥ EF，请说明理由（补全解答过程）
解：∵ CD⊥EF
∴ ∠1=____ （ ）
∵ ∠2= ∠ 1=____
∴ AB ⊥ EF
（ ）
垂直的定义
90°
90°
垂直的定义
C
E
1
D
B
A
F
2
A
B
C
D
E
F
G
H
K
O
新知2：如何画垂直
如何在下面方格纸上画出互相垂直的直线？
·
A
m
n
1、已知直线m和m上一点A，过A画m的垂线n.
动手画垂线
你能利用三角尺画出两条互相垂直的直线吗？
方法：一靠，
二过，
三画。
n
m
·
A
2、已知直线m和m外一点A,过A画m的垂线n.
如图所示，直线n为所求直线。
学以致用2
1.过一条线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在（ ）
A.这条线段上
B.这条线段的端点上
C.这条线段的延长线上
D.以上都有可能
D
2、如图：直线m,n相交与点o，A,B分别是m,n上的点，
试用三角板完成下列画图：
（1）过点A画直线n的垂线。
（2）过点B画直线m的垂线。
m
n
A
B
O
新知3：垂线的性质
自学P170的“做一做”下面的内容：
1、平面内，过一点 直线与已知直线
垂直。
3、直线外一点到这条直线的 的 ，
叫做点到直线的距离。
2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，
最短。
有且只有一条
垂线段
长度
垂线段
在下列两个图中，分别过点A作l的垂线，你能作出来吗？每个图中你能作几条？你得到了什么结论？
A
A
C
A
B
F
垂线段最短
E
D
G
H
请你观察后猜想:
线段CD,CE,CF,CG,CH 哪一条最短
垂线段CF的长度，称为点C 到直线 AB 的距离。
1、平面内，过一点 直线与已知直线
垂直。
2、直线外一点到这条直线的 的 ，
叫做点到直线的距离。
3、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，
最短。
有且只有一条
垂线段
垂线段
长度
直线上，直线外
我们如何测立定量跳远的成绩？
思考“议一议”
A
B
踏板
沙 坑
学以致用3
1、下列说法中正确的是（ ）
A.过直线m外一点A和直线m上一点B，一
定可以画一条直线与直线m垂直。
B.过直线外两点一定可以画这条直线的垂线。
C.过射线外一点，可以画这条射线的垂线。
D.同一平面内的两直线，如果不相交，那么
这两条直线有可能互相垂直。
C
2.一下关于距离的五种说法正确的是（ ）
①连接两点的线段长度叫做两点的距离；
②连接直线外一点和直线上的点的线段叫点到
直线的距离；
③从直线外一点，所引的这条直线的垂线叫做
点到直线的距离；
④直线外一点，到这条直线的垂线段叫做这点
到直线的距离；
⑤过直线外一点作这条直线的垂线，垂线的长
度叫做这个点到这条直线的距离。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
3.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，如果AB=4㎝，
AC=3㎝，AD=2.4㎝，BC=5㎝，那么A，B两
点之间的距离为 ，点A到直线BC的距离
为 ，点C到直线AB的距离为 。
A
B
D
C
4㎝
2.4㎝
3㎝
4、如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？
请画出图来，并说明理由。
C
∟
本节课你的收获是什么？
垂直定义；
垂线的多种画法；
垂直的表示方法；
垂直的性质；
点到直线的距离。
1：关于垂直说法不正确的有（ ）个
①两条直线相交有一个角是直角，那么这两条直线垂直。
②互相垂直的两条直线的交点叫垂足。
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
④垂直于一条直线的垂线只有一条。
A.1 B.2 C.3 D.4
A
2:如图OA⊥OC,OB ⊥ OD,
∠AOD=3∠BOC,
则∠BOC=
O
C
D
B
A
45
0
课后巩固
3.下面的语句中，不正确的是（ ）
A.对顶角相等 B.相等的角是对顶角
C.线段BA和线段AB表示同一条线段
D.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4.在同一平面内两条直线的位置关系可能是（ ）
A.相交或垂直 B.垂直或平行
C.平行或相交 D.以上都不对
5.体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.两点之间，线段最短C.垂线段最短
D.两点确定一条直线
C
B
C
6．利用网格画图： （1）过点C画AB的平行线CD； （2）过点C画AB的垂线，垂足为E； （3）连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，
线段 最短，理由 ：
CE
垂线段最短
7.如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，
AB ⊥CD，∠AOE= ∠AOD,求∠BOF与∠BOE的
度数.
A
D
E
F
C
B
O
300 1500
8.如图所示：∠AOB是一条直线，
∠AOD:∠DOB=3:1，OD平分∠ COB,
求：（1）∠AOC的度数
(2)判断AB与CO的位置关系。
O
A
B
D
C
900
垂直
9. 如图，已知OB⊥OD，∠1∶∠2∶∠AOB＝2∶1∶5，求∠1的度数．
解：设∠2＝x，则∠1＝2x，∠AOB＝5x，
则∠BOC＝∠AOB－∠1－∠2
＝5x－2x－x＝2x，
∴2x＋x＝90
解得：x＝30
∴∠1＝2×30°＝60°.
∴∠1的度数为60°.
10. 如图，点O是直线AB上一点，∠AOD∶∠DOB＝3∶1，OD平分∠COB.请判断AB与OC的位置关系．
解：∵∠AOD∶∠DOB＝3∶1，
∵OD平分∠COB，
∴∠COB＝2∠DOB＝2×45°＝90°，
∴AB⊥OC.
11. 按下面的方法折纸，然后回答问题：
(1)AE与EF有何位置关系？为什么？
(2)在图中找出所有互余和互补的角．
解：(1)AE⊥EF，理由如下：
如图，以AE为折痕将△ABE翻折，得：
∠1＝∠4，
同理可得：∠3＝∠5，
∴AE⊥EF.
(2)互余：
∠1与∠3，∠1与∠BAE，∠3与∠EFC，
∠BAE与∠EAD；
互补：
∠1与∠AEC，∠3与∠BEF，∠EFD与
∠EFC，还有5个直角之间互补．
