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分课时教学设计
第一课时《1.3.1解直角三角形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的三角形内角和定理和勾股定理，研究解直角三角形的问题，既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础．解直角三角形是结合三角形内角和定理、勾股定理等知识，利用锐角三角函数对直角三角形的三条边以及两锐角这五个要素进行求解，在解直角三角形时注意借助相应的直角三角形来寻找已知元素与未知元素的关系式
学习者分析 九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，有较强的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。心理上九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合、转化和数学建模思想，体会锐角三角比的意义，提高应用数学和合作交流的能力
教学目标 1.理解解直角三角形的概念； 2.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
教学重点 解直角三角形的意义以及一般方法.
教学难点 选择恰当的边角关系解直角三角形
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 某些城市规划中，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，这样能有效解决顶楼住宅的渗透、隔热差等问题，并且美化居住景观.这个改造工程也称为“平改坡”工程. 学生活动1： 学生了解平改坡工程活动意图说明：通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.环节二：新知探究教师活动2： 问：在三角形中共有几个元素？ 三个角，三条边，共六个元素。 ∠ =30°，∠ =60°，∠ =90° 1，，2 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，都有哪些元素呢？这些元素之间都存在怎样的关系呢？ 学生活动2： 思考，计算，引导学生根据锐角三角函数的定义自主探求30°, 45°和60°角的三角函数值. 活动意图说明：有条理地梳理直角三角形除直角外的五个元素之间的关系，明确各自的作用，便于应用，在讨论解直角三角形的方法过程中，明确解直角三角形的条件，培养学生的逻辑思维能力.环节三：新知讲解教师活动3： 例1、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶的设计图.已知原平顶屋面的宽度l为10m，坡屋顶高度h为3.5m.求斜面钢条a的长度和坡角α(长度精确到0.1米，角度精确到1°). 解:如图，a==≈6.1(m). ∵ tanα===0.7， ∴ α≈35°. 答:斜面钢条a的长度约为6.1米，坡角约为35°. 方法小结：已知两边的长， ①先利用勾股定理求出另一条边的长 ②再利用正弦或余弦求角的度数． 例2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=50 °，AB=3.求∠B 和a，b（边长精确到0.1） 解：如图，在Rt△ACB中， ∠B=90°-∠A=40°. ∵sinA= ， ∴a=AB sinA=3sin50°≈2.3. ∵cosA=， ∴b=AB cosA=3cos50°≈1.9. 已知斜边和锐角 (1)∠B=90°-∠A； (2)由sinA=，得a=c·sinA； (3)由cosA=，得b=c·cosA. 提醒：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中. 在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′. 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角. （必须有一个条件是边）学生活动3： 学生自主解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，共同得到正确的结论.活动意图说明：进一步训练解一般直角三角形的思路和方法，并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解
板书设计 1、解直角三角形的概念： 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形. 2、已知两边 3、已知一边一角
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠A的度数为( ) A．90° B．60° C．45° D．30° 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值是( ) A. B. C. D. 3.已知 △ABC中，∠C＝90°,c＝ 4，∠A＝30°，求∠B、a、b． 选做题： 4. 如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米 【综合拓展类作业】 5、如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方. 试求敌舰与两炮台的距离(精确到1米).
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA =，BC=6，则AB的值为 ( ) A．4 B．6 C．8 D．10 2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是 ( ) A．10 B．20 C．40 D．28 3. 在RT△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A， ∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b=a·tanA B. b=c·sinA C. b=c·cosA D. a=c·cosA 4.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB = ，则 AC 的长为 . 选做题 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线AD= ，解这个直角三角形. 【综合拓展类作业】 6.在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，求BC的长.
教学反思 通过本节课的实践，我觉得也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。比如，在探讨解直角三角形的依据时，处理得有些过于仓促，讲话语速太快，影响学生的思考时间，有些问题还应该放手让学生自己去想，可能效果更好。在今后的教学中，我将更多地关注学生的发展与提升，注意以学生的思维为发展目标。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
1.3.1解直角三角形
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1.理解解直角三角形的概念；
2.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
新知导入
某些城市规划中，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，这样能有效解决顶楼住宅的渗透、隔热差等问题，并且美化居住景观.这个改造工程也称为“平改坡”工程.
新知讲解
问：在三角形中共有几个元素？
三个角，三条边，共六个元素。
在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
；
；
；
；
；
；
新知讲解
分数有意义的条件是分母不为0.
在直角三角形中，都有哪些元素呢？这些元素之间都存怎样的关系呢？
解直角三角形
1.两锐角之间的关系:
2.三边之间的关系:
3.边角之间的关系
∠A+∠B=900
a2+b2=c2
斜边
的对边
正弦函数：
A
A
∠
=
sin
的邻边
的对边
正切函数：
A
A
A
∠
∠
=
tan
斜边
的邻边
余弦函数：
A
A
∠
=
cos
典例精析
例1、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶的设计图.已知原平顶屋面的宽度l为10m，坡屋顶高度h为3.5m.求斜面钢条a的长度和坡角α(长度精确到0.1米，角度精确到1°).
l
h
a
α
解:如图，a==≈6.1(m).
∵ tanα===0.7，
∴ α≈35°.
答:斜面钢条a的长度约为6.1米，坡角约为35°.
新知讲解
方法小结：已知两边的长，
①先利用勾股定理求出另一条边的长
②再利用正弦或余弦求角的度数．
典例精析
例2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=50 °，AB=3.求∠B 和a，b（边长精确到0.1）
B
C
a
b
A
3
解：如图，在Rt△ACB中，
∠B=90°-∠A=40°.
∵sinA= ，
∴a=AB sinA=3sin50°≈2.3.
∵cosA=，
∴b=AB cosA=3cos50°≈1.9.
新知讲解
已知斜边和锐角
(1)∠B=90°-∠A；
(2)由sinA=，得a=c·sinA；
(3)由cosA=，得b=c·cosA.
提醒：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中.
归纳总结
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角.
（必须有一个条件是边）
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠A的度数为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值是( )
A. B. C. D.
D
A
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.已知 △ABC中，∠C＝90°,c＝ 4，∠A＝30°，求∠B、a、b．
解：由直角三角形两锐角互余得：
∠B=∠C -∠A =90°-30°=60°.
∵sinA=
∴a=c
∵cosA=
∴b=c cos 30°=
A
C
B
c
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4. 如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米
解：如图所示，依题意可知，当∠B=600 时，
AB=
答：梯子的长至少4.62米.
C
B
A
课堂练习
【综合拓展类作业】
5、如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方.
试求敌舰与两炮台的距离(精确到1米).
A
2000
D
C
B
40°
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°-∠DAC=50°，
∵tan∠CAB=，
∴BC=AB tan∠CAB=2000×tan50°≈2384(米)，
∵cos∠CAB =cos50°=，
∴AC==≈3111(米)，
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
A
2000
D
C
B
40°
课堂总结
解直角
三角形
概念
分类
在直角三角形中，由已知的一些边、角，
求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
已知两边
已知一边一角
两直角边
斜边和一直角边
锐角和一直角边
锐角和斜边
板书设计
1、解直角三角形的概念：
在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
2、已知两边
3、已知一边一角
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA =，BC=6，则AB的值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
D
2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是 ( )
A．10 B．20
C．40 D．28
C
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
C
3. 在RT△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A， ∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是 ( )
A. b=a·tanA B. b=c·sinA
C. b=c·cosA D. a=c·cosA
4.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB = ，则 AC 的长为 .
3.75
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线AD= ，解这个直角三角形.
解：
∴∠CAD=30°
∵ AD平分∠BAC，
∴AB=12，BC=6
∴∠CAB=60°，∠B=30°
D
A
B
C
6
作业布置
【综合拓展类作业】
图①
6.在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，求BC的长.
解：∵cos∠B =，∴∠B=45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵AB=12，∠B=45°
∴AD=BD=ABcosB=12
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5
∴BC=BD-CD=12-5=7；
作业布置
【综合拓展类作业】
图②
当△ABC为锐角三角形时，如图②，
BC=BD+CD=12+5=17.
∴ BC的长为7或17.
谢谢
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第一章
课标要求 1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值；2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；3）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章的主要内容是直角三角形的边角关系及其实际应用.教材先从测量入手，给学生创设学习情境, 接着研究直角三角形的边角关系——勾股定理及锐角三角函数，最后运用勾股定理及锐角三角函数等知识解决些简单的实际问题.
学情分析 学生目前已经上到九年级，进行九年级相关知识的学习，对于函数的内容，学生在七八年级时已经学习过一次函数，对函数的相关概念已经有了一定的认识，对于锐角三角函数,学生单从名词来说，并不是很容易理解，因此，在教学的过程中，学生对直角三角形中角和边的关系能够理解，但是涉及到角的变化和相应边之间比值的变化之间是函数关系并不是很容易的理解。
单元目标 教学目标1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角比，知道30°、 45°、 60°角的三角函数值;2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由己知三角函数值求它对应的锐角3、理解并掌握直角三角形边角之间的关系4、能综合应用直角三角形的边角关系解决简单的实际问题(二)教学重点、难点教学重点：锐角三角比的概念及解直角三角形的基本类型和方法。教学难点:正确理解锐角三角比的概念和灵活选择解直角三角形的方法。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1锐角三角函数21.2锐角三角函数的计算11.3解直角三角形3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1锐角三角函数1.理解锐角三角函数的概念，并能将三角函数表示为两条线段的比；2.知道30°、 45°、 60°角的三角函数值；3.了解直角三角形中的边与三角函数值的关系。学生能够理解锐角三角函数的概念，知道特殊角的三角函数值，知道直角三角形边角关系任务1.认识三角函数任务2.探究特殊角的三角函数值，理解直角三角形边角关系 任务3.出示例题1.2锐角三角函数的计算1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值.2.掌握用科学计算器求锐角的三角函数值的步骤.3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.会用计算器求锐角三角函数值任务1：认识计算器任务2.探究用计算器求锐角三角函数值的步骤任务3.出示例题1.3解直角三角形1、进一步巩固解直角三角形；2、会用常见添辅助线方法构造直角三角形解决问题；3、体验用数学知识解决实际问题；4、渗透、培养学生将计算器用于解决实际问题的能力。会解直角三角形；能将实际问题转化成数学问题用解直角三角形来解决。任务1.出示问题 任务2.利用锐角三角函数解决实际问题任务3.出示例题
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：探究锐角三角函数的定义
解直角三角形
1.3.3解直角三角形
活动3：例题
活动2：探究方向角问题解决实际问题
活动1：复习引入本节课
1.3.2解直角三角形
活动3：例题
活动2：探究将实际问题转化成数学问题解直角三角形
活动1：引入课题
1.3.1解直角三角形
活动3：例题
活动2：通过探究解直角三角形
活动1：引入课题
1.2锐角三角函数的计算
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：会用计算器计算三角函数值
1.1.2锐角三角函数
活动3：例题
活动2：探究特殊角的三角函数值
活动1：引入课题
1.1.1锐角三角函数
活动3：例题
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