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浙教版2023-2024学年九下数学第1章解直角三角形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝1.5，BC＝2，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为a，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cos a B．4sin a C．4tan a D．
3．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（ ）
A．6（＋1）m B．6 (-1) m C．12 (＋1) m D．12（－1）m
4．周末，小明和小华来滨湖新区渡江纪念馆游玩，看到高雄挺拔的“胜利之塔”，萌发了用所学知识测量塔高的想法，如图，他俩在塔AB前的平地上选择一点C，树立测角仪CE，测出看塔顶的仰角约为30°，从C点向塔底B走70米到达D点，测出看塔顶的仰角约为45°，已知测角仪器高为1米，则塔AB的高大约为（≈1.7）（ ）
A．141米 B．101米 C．91米 D．96米
5．在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，BE=2，则tan∠DBE的值是( )
A． B． C． D．2
6．如图，直径为10的 经过点 和点 ， 是 轴右侧 优弧上一点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题）
7．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以每小时40海里的速度前往救援，则海警船到达事故船C处所需的时间大约为（单位：小时）（ ）
A． B． C．sin37° D．cos37°
8．如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为 m，下列结论中，正确的是（ ）
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
A． B．-1 C．2- D．
10．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E、F分别在射线AD、BC上，若点E与点B关于AC对称，点E点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．tan∠ADB=﹣1 B．∠DEF=67.5° C．∠AGB=∠BEF D．cos∠AGB=
（第9题） （第10题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75°方向20米处，点C在点A南偏西15°方向20米处，则点B与点C的距离为 米．
（第11题） （第12题） （第14题） （第15题） （第16题）
12．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为 m．
13．如图消防云梯，其示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD、支撑EF构成，在作业过程中，救授台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整.如图2，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时展角∠ABC＝ °.
14．如图，在等腰直角三角形中，，AC=6，D为AC上一点，若 ，则AD的长为
15．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
16．如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BC= ，CD= ，则sin∠AEB的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．小瑞放学后回家，到小区的门口C处时，看到自己家的窗户A的仰角，他向前走了后到达点D处时，看到自己家窗户A的仰角，小瑞的身高，求小瑞家到地面的高度．（结果取整数，参考数据：，，，，，，）
18．今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，如图，在A处测得航标C在北偏东60°方向上．前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（供考生参考的数据： ≈1.732）
19．2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想.求此时顶部边缘处离桌面的高度的长.（结果精确到；参考数据：，，）
20．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的中点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度 时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4 ，DC=2 ．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
（1）求BE的长；
（2）求四边形DEBC的面积．
22．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝．
（1）求∠B的度数和AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．
23．图（1）为某大型商场的自动扶梯．图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（ ）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m，（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）．
（1）求图中B到一楼地面的高度．
（2）求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）．
24．如图，矩形中，，E是上一点，沿折叠，点A恰好落在线段的点F处，连接.
（1）求证：；
（2）若，则 ；
（3）设，，求m与k满足的关系式.
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浙教版2023-2024学年九下数学第1章解直角三角形 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝1.5，BC＝2，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝3，
在Rt△ABC中，cosB＝ ＝ ，
故答案为：A.
2．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为a，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cos a B．4sin a C．4tan a D．
【答案】A
【解析】如图，作AH⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BC=2HC
∵HC=ACcosa =2cosa，
∴BC=2HC=4cosa.
故答案为：A.
3．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（ ）
A．6（＋1）m B．6 (-1) m C．12 (＋1) m D．12（－1）m
【答案】A
【解析】在Rt△ABD中，∠ADB=45°，∠ABD=90°，
∴AB=BD，
设AB=BD=x，则BC=BD+CD=（x+12）m，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AB=2x，
∵AC2=AB2+BC2，
∴（2x）2=x2+（x+12）2，
解得x= 6（＋1） .
故答案为：A.
4．周末，小明和小华来滨湖新区渡江纪念馆游玩，看到高雄挺拔的“胜利之塔”，萌发了用所学知识测量塔高的想法，如图，他俩在塔AB前的平地上选择一点C，树立测角仪CE，测出看塔顶的仰角约为30°，从C点向塔底B走70米到达D点，测出看塔顶的仰角约为45°，已知测角仪器高为1米，则塔AB的高大约为（≈1.7）（ ）
A．141米 B．101米 C．91米 D．96米
【答案】D
【解析】设AG=x米．
在Rt△AGF中，∵∠AGF=90°，∠AFG=45°，
∴FG=AG=x米，
同理在Rt△AEG中，∵∠AGE=90°，∠AEG=30°，
∴EG=AG=x米．
∵EF=EG﹣FG，
∴x﹣x=70，
解可得：x=35（+1）≈94.5；
故AB=AG+BG≈94.5+1≈96．
答：塔AB的高大约为96米．
故选D．
5．在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，BE=2，则tan∠DBE的值是( )
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】设菱形ABCD边长为t，
∵BE=2，
∴AE=t-2，
∵cosA=，
∴=，
∴=，
∴t=5，
∴AE=5-2=3，
∴DE==4，
∴tan∠DBE===2．
故答案为：2．
选D
6．如图，直径为10的 经过点 和点 ， 是 轴右侧 优弧上一点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设设 与x轴的另一个交点为D，连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD是直径，
即CD=10，
∵ ，
∴OC=5，
∴OD= ，
∵∠OBC=∠ODC，
∴ = = = ．
故答案为：C．
7．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以每小时40海里的速度前往救援，则海警船到达事故船C处所需的时间大约为（单位：小时）（ ）
A． B． C．sin37° D．cos37°
【答案】B
【解析】如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，
∴CD=AC=40海里．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠BCD=37°，
∴BC= = 海里，
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：÷40=（小时）．
故选B．
8．如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为 m，下列结论中，正确的是（ ）
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
【答案】C
【解析】过点A作水平线AE，则∠EAD为楼顶望塔基俯角，∠CAE为由楼顶望塔顶仰角．
∵AB=50，
∴DE=50．
∴CE=CD=﹣50= ．
∴tan∠CAE=CE：AE=CE：BD=．
∴∠CAE=30°．
∵tan∠EAD=DE：AE=50：BD=1，
∴∠EAD=45°．
故选C．
9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）
A． B．-1 C．2- D．
【答案】A
【解析】∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．
又∵点D为边AC的中点，
∴AD=DC=AC．
∵DE⊥BC于点E，
∴∠CDE=∠C=45°，
∴DE=EC=DC=AC．
∴tan∠DBC===．
故选：A．
10．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E、F分别在射线AD、BC上，若点E与点B关于AC对称，点E点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．tan∠ADB=﹣1 B．∠DEF=67.5°
C．∠AGB=∠BEF D．cos∠AGB=
【答案】D
【解析】如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，
由轴对称性得，AB=AE，设为1，
则BE==，
∵点E与点F关于BD对称，
∴DE=BF=BE=，
∴AD=1+，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四边形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，
∴tan∠ADB===﹣1，故A错误；
∠AEB+22°=45°+22°=67°，
∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，
∴∠BFE==67.5°，
∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故B错误；
∵AB=AE=BC=1，AD∥BC，AB⊥AD，
∴四边形ABCE是正方形，
∴∠BAC=∠CBE=45°，
∵点E与点F关于BD对称，
∴EF⊥BD，
∵AB⊥AD，
∴∠EOD=∠BAD=90°，
∵∠ADB=∠ODE，
∴∠ABG=∠OED，
∵AD∥BC，
∴∠OED=∠BFE，
∴∠ABG=∠BFE，
∴∠AGB=∠BEF，故C错误；
由勾股定理得，OE2=BE2﹣BO2=（）2﹣（）2=，
∴OE=，
∵∠EBG+∠AGB=90°，
∠EBG+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF
∴cos∠AGB===，故D正确．
故选：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75°方向20米处，点C在点A南偏西15°方向20米处，则点B与点C的距离为 米．
【答案】20
【解析】根据题意得：∠BAC=90°，AB=AC=20米，
在Rt△ABC中，BC= = =20，
故答案是：20．
12．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为 m．
【答案】50﹣
【解析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．
则AB=MN，AM=BN．
在直角△ACM，∵∠ACM=45°，AM=50m，
∴CM=AM=50m．
∵在直角△BCN中，∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m，
∴CN= = = （m），
∴MN=CM﹣CN=50﹣ （m）．
则AB=MN=（50﹣ ）m．
故答案是：50﹣ ．
13．如图消防云梯，其示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD、支撑EF构成，在作业过程中，救授台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整.如图2，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且，则这时展角∠ABC＝ °.
【答案】159
【解析】延长BC、FE交于P，过P作PQ∥AB，
由题意，PQ∥AB∥GH，
∴∠QPF=∠EFH=69°，∠ABC+∠BPQ=180°，
∵BC⊥EF，
∴∠BPF=90°，
∴∠BPQ=90°－∠QPF=90°－69°=21°，
∴∠ABC=180°－∠BPQ=180°－21°=159°.
故答案为：159.
14．如图，在等腰直角三角形中，，AC=6，D为AC上一点，若 ，则AD的长为
【答案】2
【解析】如图所示，做DE⊥AB，设DE=x
∵是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，⊿AED是等腰直角三角形，AE=DE=x
∵AC=6， ∴AB=6，BE=AB-AE=6-x，DE= BE×=（6-x）
∴（6-x）=x即x=
∴AD=x=×=2
15．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
【答案】3
【解析】方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B= ，O′D′= ，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE= ，
∴O′E= = ，
∴tanBO′E= ，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
方法二：连接AM、NL，
在△CAH中，AC=AH，
则AM⊥CH，
同理，在△MNH中，NM=NH，
则NL⊥MH，
∴∠AMO=∠NLO=90°，
∵∠AOM=∠NOL，
∴△AOM∽△NOL，
∴ ，
设图中每个小正方形的边长为a，
则AM=2 a，NL= a，∴ =2，
∴ ，∴ ，
∵NL=LM，∴ ，
∴tan∠BOD=tan∠NOL= =3，
故答案为：3．
方法三：连接AE、EF，如右图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE=∠BOD，
设每个小正方形的边长为a，
则AE= ，AF= ，EF= a，
∵ ，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴tan∠FAE= ，
即tan∠BOD=3，
故答案为：3．
16．如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BC= ，CD= ，则sin∠AEB的值为 ．
【答案】
【解析】∵BC为半圆的直径，
∴∠BAE=∠BDC=90°．
∵D是弧AC的中点，
∴∠ABE=∠DBC．
∴△ABE∽△DBC．
在Rt△DCB中，
∵∠BDC=90°，BC= ，CD= ，
∴BD= ，
∴sin∠DCB=BD：BC= ，
∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB．
∴sin∠AEB= ．
故答案为： ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．小瑞放学后回家，到小区的门口C处时，看到自己家的窗户A的仰角，他向前走了后到达点D处时，看到自己家窗户A的仰角，小瑞的身高，求小瑞家到地面的高度．（结果取整数，参考数据：，，，，，，）
【答案】解：如图，连接并延长，交于点E，
由题意可知，
∴四边形和四边形是矩形，∴，，
在中，，∴．
在中，，
∴，∴，
∴，
∴，
∴．
答：小瑞家到地面的高度为．
18．今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，如图，在A处测得航标C在北偏东60°方向上．前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（供考生参考的数据： ≈1.732）
【答案】解：过C作CD⊥AB于D，设BD＝x，
∵CD⊥AB且∠CBD＝45°∴BD＝CD＝x
在Rt△ACD中，tan30°＝
∴
解得x＝50（ +1）≈137
∵137＞120，
故这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险．
19．2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想.求此时顶部边缘处离桌面的高度的长.（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，
∴OA=，
在Rt△中，，cm，
∴cm.
20．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的中点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度 时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
【答案】（1）解：作PD∥QB，如图，由题意得：∠PBQ=∠DPB=60°，
则在Rt△PQB中， ，
即 米；
（2）解：作 于点H， 于点M，如图，则四边形AMQH是矩形，设 ，
∴HQ=AM=a，AH=MQ，∴PH=9－a，
∵ ，∴ ，
∴AH=QM= ，
由题意得：∠DPA=∠PAH=30°，
在Rt△PAH中，∵ ，
∴ ，解得： ，
∴AM=2，BM= ，
∴ 米．
∴电子眼区间测速路段AB的长为 米．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4 ，DC=2 ．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
（1）求BE的长；
（2）求四边形DEBC的面积．
【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BDE=15°，
∴∠ADE=30°，
在Rt△ADE中，AE=DE×sin30=2 ，AD=DE cos30°=6，
∴AB=AD=6，
∴BE=6﹣2
（2）解：作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，∴BF=AD=6，DF=AB=6，在Rt△DFC中，FC= =4 ，∴BC=6+4 ，
∴S四边形DEBC=S△DEB+S△BCD= ×（6﹣2 ）×6+ （6+4 ）×6=36+6 ．
22．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB＝，tanA＝，AC＝．
（1）求∠B的度数和AB的长．
（2）求tan∠CDB的值．
【答案】（1）解：作CE⊥AB于E，设CE＝x，
在Rt△ACE中，∵tanA＝ ，
∴AE＝2x，
∴AC＝ x，
∴ x＝ ，
解得x＝1，
∴CE＝1，AE＝2．
在Rt△BCE中，∵sinB＝ ，
∴∠B＝45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE＝CE＝1，
∴AB＝AE＋BE＝3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3
（2）解：∵CD为中线，
∴BD＝ AB＝1.5， ∴DE＝BD－ BE＝0.5，
∴tan∠CDE＝2.
23．图（1）为某大型商场的自动扶梯．图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（ ）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m，（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）．
（1）求图中B到一楼地面的高度．
（2）求日光灯C到一楼地面的高度．（结果精确到十分位）．
【答案】（1）解：过点B作BE⊥MN于E，
设AE＝x m，
∵AB的坡度为1：2.4，
∴，
∴BE＝
在Rt△ABE中，
x2＋（）2＝132，
解得：x＝12，
∴AE＝12，BE＝5，
答：B到一楼地面的高度为5m.
（2）解：过点C作CF⊥MN于F交BL于G，过点D作DJ⊥CF于J交BE于H，
∵ 之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（ ）向正前方走了2m，
∴BG＝2，
易证四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，
∴EF＝BG＝2m，AD＝FJ＝1.8m，AF＝DJ，
∵AF＝AE＋EF＝12＋2＝14，
∴DJ＝14，
在Rt△CDJ中，
∴CJ≈0.75DJ＝0.75×14＝10.5，
∴CF＝CJ＋FJ＝10.5＋1.8＝12.3
日光灯C 到一楼地面的高度为12.3m.
24．如图，矩形中，，E是上一点，沿折叠，点A恰好落在线段的点F处，连接.
（1）求证：；
（2）若，则 ；
（3）设，，求m与k满足的关系式.
【答案】（1）证明：由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
在中，，即，
得.
【解析】（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由勾股定理可得： ，
∴；
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