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浙教版2023-2024学年九下数学第1章解直角三角形 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinA=.
故答案为：C.
2．如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在直角△ABC中，AC=，
则sinA=，故A错误；
tanA=，故B错误；
cosB=，故C错误；
tanB=，故D正确．
故答案为：D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，若tanA＝，则a＝4，b＝3
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝
C．tan30°＋tan60°＝1
D．tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°＝1＋
【答案】B
【解析】A．在Rt△ABC中，若tanA=，由于没有指明直角，也没有给出具体某条边的长度，所以无法确定边长，故A不符合题意．
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝，故B符合题意．
C．tan30°＋tan60°=，故C不符合题意，
D．tan75°=tan（45°+30°）==，故D不符合题意．
故答案为：B．
4．图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支樟杆的端点离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵OB=OD，∠BOD=70°，
∴∠OBD=∠ODB=55°，
∵OB=50cm，OA=80cm，
∴AB=OA+OB=130cm，
∵，
∴AE=AB·sin55°=130sin55°cm.
故答案为：B.
5．如图，甲乙两楼相距米，乙楼高度为米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为，则甲楼高度为（ ）
A． 米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】如图，过点A作AM⊥BD于点M，
由题意得：AM=30m，BD=36m，
∵在Rt△ABM中，∠BAM=30°，
∴BM=AM×tan30°=30×=m，
∴AC=MD=BD-BM=（36-）m．
∴甲楼高为（36-）米．
故答案为：D．
6．如图是的高，，，，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°，
∴，
∴，
∴.
∵，即，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：C.
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，，若反比例函数经过点，则的值是（ ）
A．10 B．12 C．48 D．50
【答案】B
【解析】如图，过点C作CE⊥OA于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点 ，
∴ ，
∵ .
∴ ，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数 经过点C，
∴ ，
故答案为：B.
8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC2的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵AB=BC=1 ，
在Rt △OAB中， sinα =
∴OB=
∵在Rt△BCO中，OB2+BC2=OC2
∴OC2 =( )2+12=
故答案为：B.
9．如图所示，的直径弦，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设CD交AB于H.
∵OB=OC，
∴∠2=∠3，
∵AB⊥CD，
∴∠1+∠2+∠3=90°，CH=HD，
∵∠1=2∠2，
∴4∠3=90°，
∴∠3=22.5°，
∴∠1=45°，
∴CH=OH，
设DH=CH=a，则OC=OB=a，BH=a+a，
∴tan∠CDB=，
故答案为：D.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足关系式（ ）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12
【答案】C
【解析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=8，tan∠ACB=y，
∴=y，BQ=CQ=4，
∴AQ=4y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQEM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=CQ=2，
∴EM=2y，
∴DM=8-2-x=6-x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（2y）2+（6-x）2，
即3x-y2=9.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知在矩形ABCD中，点E在直线AD上，CE平分∠BCD，若CD=4，AE=1，连接AC，则tan∠DAC的值为 ．
【答案】或
【解析】分两种情况讨论：
如图，当点E在线段AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴AD=AE+DE=5，
∴tan∠DAC=；
如图，当点E在DA的延长线上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴AD=DE-AE=3，
∴tan∠DAC=，
∴tan∠DAC=或.
故答案为：或.
12．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方米处的点C出发，沿斜面坡度的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．旗杆AB的高度为 米．（参考数据：．计算结果保留根号）
【答案】
【解析】如图，延长、交于点，作，
，，
，，
，
的斜面坡度为，
，
，
米，
米，米，
米，米，
米，米，
，
，
四边形是矩形，
米，米，
，
米，
米，
故答案为：.
13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的解析式是，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 .
【答案】
【解析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，∴，，
∴，∴，同理可证：，
∵，∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图象上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：.
14．如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点F，则的值为 .
【答案】
【解析】∵四边形是矩形，
，，，，
，
由折叠的性质可得，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，即，
，
，
故答案为：.
15．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形如果图中与的面积比为，那么的值为 ．
【答案】
【解析】∵四边形EAIH是正方形，∴∠EHM=∠DIM=90°，而∠EMH=∠DMI，
∴ EMH∽ DMI，∴，
∵ EMH与 DMI的面积的比为，∴，
设EH=AE =AI =4k，DI=3k，则AD=AI+DI=7k，
在Rt AED中，
tan∠EDA=，
由"青朱出入图”得：∠GDC=90°-∠ADG=∠EDA，
∴tan∠GDC=tan∠EDA=.
故答案为：
16．随着“科学运动、健康生活”的理念深入人心，跑步机已成为家居新宠，某品牌跑步机如图1)的跑道可以旋转如图2)，图为跑道绕点旋转到位置时的侧面图，其中为显示屏，为扶手，点，，在同一直线上，为可伸缩液压支撑杆，、的位置不变，的长度可变化.
（1）已知，，，则 ；
（2）在（1）的条件下，若，，，且、、恰好在同一直线上，则 .
【答案】（1）120
（2）
【解析】（1）点在直线上，
，
，
，
，
如图，作，垂足为，
，
，，
，
，
，
在直角三角形中，，
，
.
故答案为：120.
（2）作于，于，
是等腰三角形，
，
且、、三点共线，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据 ， ， ）
【答案】（1）解：如下图，过点C作 交AB于点H，
设
在 中， ，
在 中， ，
∴
∴ ，∴
∵ ，海港C受台风影响
（2）解：如下图，以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点，此时台风在PQ之间时，海港受到影响，
在 中， ，
∴
∴
则时间： （小时）
答：台风影响该海港持续的时间有45小时.
18．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）.（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到1m）.
【答案】（1）解：∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
∴，，.
在中，，，
∵，，.
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米.
（2）解：过点作于点，设，
在中，，，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，，
解得.
∴（米）
答：房屋的高约是14米.
19．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.
（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：）
【答案】（1）解：过点P作于D点，
∴，
在中，，海里，
∴（海里）， （海里），
在中，，
∴（海里），
∴海里，
∴观测站A，B之间的距离为海里；
（2）解：补给船能在82分钟之内到达C处，
理由：过点B作，垂足为F，
∴，
由题意得：，，
∴，
在中，，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴补给船从B到C处的航行时间（分钟）分钟，
∴补给船能在83分钟之内到达C处.
20．如图，CD是△ABC的外角∠ECA的平分线，CD交过A，B，C三点的⊙O于点D.
（1）求证：；
（2）若，，求sin∠ACB的值.
【答案】（1）证明：连接AD、BD，如图1所示：
∵CD是△ABC的外角∠ECA的平分线，∴∠DCE＝∠DCA，
∵∠DCE＝∠BAD，∠DCA＝∠ABD，∴∠BAD＝∠ABD，
∴ ，
（2）解：∵ ， ∴ ，
∵ ，∴ ，∴AC＝AD＝BD，
∵ ，∴
设AB＝ a，则AD＝BD＝5a，
作BF⊥AD于F，如图2所示：
由勾股定理得：BF2＝AB2﹣AF2＝BD2﹣DF2，
∴（ a）2﹣（5a﹣DF）2＝（5a）2﹣DF2，
解得：DF＝4a，
∴BF＝ ＝3a，
∴sin∠BDF＝ ，
∵∠ACB＝∠BDF，
∴sin∠ACB＝sin∠BDF＝ .
【解析】【分析】（1）连接AD、BD，根据角平分线的概念可得∠DCE＝∠DCA，由圆周角定理可得21．如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角，、为法线入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为米．
（1）求的长；结果保留根号
（2）如果米，求水池的深参考数据：取，取，取，取，取，取，取，取
【答案】（1）解：作，交的延长线于点，
则，
，，
，，
，，
米，
米，米，
米，
即的长为米；
（2）解：设水池的深为米，则米，
由题意可知：，米，
米，米，
，
，
解得，
即水池的深约为米．
22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．
【答案】（1）证明：∵点D是弧BC的中点，
∴
∴∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BOD＝2∠BAD，
∴∠CAB＝∠BOD，
∴DO∥AC；
（2）证明：∵，
∴∠CAD＝∠DCB，
又∠CDE=∠ADC，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD2＝DE DA；
（3）解：∵tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，
∴∠DBC＝∠CAD，
在Rt△BDE中，tan∠DBE＝
设DE＝a，则CD＝2a，
而CD2＝DE DA，则AD＝4a，∴AE＝3a，
∴＝3，
而△AEC∽△DEF，
即△AEC和△DEF的相似比为3，
设EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，
tan∠CAD＝，
∴AC＝6k，AB＝10k，
∴sin∠CDA＝．
23．如图1，四边形ABCD内接于，对角线 AC 是的直径，AB，DC 的延长线交于点E，.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图2，若BD平分，求的值；
（3）如图1，若，，求y与x的函数关系式.
【答案】（1）证明：如图1，∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于，
∴，
∵，
∴，；
（2）解：如图2，作于F，
设，
∵AC为直径，
∴，，，
由（1）得，
∵，∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图1，过B作于F，
设，，由（1）知
∵，
∴，
，，
∵，
∴，
，，，
∵，
∴，
即，即，
∵，
∴
24．如图：
图1 图2
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．
①若DE＝1，BD＝，求BC的长；
②试探究是否为定值．如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S1 S3＝S22，求cos∠CBD的值．
【答案】（1）解：①∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∴CD＝BD＝ ，
∵DE∥AC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，
∴CE＝DE＝1，
∴△CED∽△CDB，
∴，即
∴BC＝ ；
② 是定值，理由如下：
∵DE∥AC，
∴ ，
同①可得，CE＝DE，
∴ ，
∴ ＝1，
∴是定值1；
（2）解：∵DE∥AC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵S1 S3＝ S22，
∴ ，
设BC＝9x，则CE＝16x，
∵CD平分∠BCF，
∴∠ECD＝∠FCD＝ ∠BCF，
∵∠BCF＝2∠CBG，
∴∠ECD＝∠FCD＝∠CBD，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD，
∴CE＝DE，
∵∠DCB＝∠ECD，
∴△CDB∽△CED，
∴ ，
∴CD2＝CB CE＝144x2，
∴CD＝12x，
过点D作DH⊥BC于点H，
∵BD＝CD＝12x，
∴BH＝ BC＝ x，
∴ ．
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浙教版2023-2024学年九下数学第1章解直角三角形 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
（第2题） （第4题） （第5题） （第6题）
3．下列说法中正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，若tanA＝，则a＝4，b＝3
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝
C．tan30°＋tan60°＝1
D．tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°＝1＋
4．图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支樟杆的端点离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，甲乙两楼相距米，乙楼高度为米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为，则甲楼高度为（ ）
A． 米 B．米 C．米 D．米
6．如图是的高，，，，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，，若反比例函数经过点，则的值是（ ）
A．10 B．12 C．48 D．50
（第7题） （第8题） （第9题）
8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若 AB=BC=1，∠AOB=α，则 OC2的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，的直径弦，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足关系式（ ）
A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12
（第10题） （第12题） （第13题） （第14题） （第15题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知在矩形ABCD中，点E在直线AD上，CE平分∠BCD，若CD=4，AE=1，连接AC，则tan∠DAC的值为 ．
12．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方米处的点C出发，沿斜面坡度的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．旗杆AB的高度为 米．（参考数据：．计算结果保留根号）
13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD.若图象经过点C的反比例函数的解析式是，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 .
14．如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点F，则的值为 .
15．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形如果图中与的面积比为，那么的值为 ．
16．随着“科学运动、健康生活”的理念深入人心，跑步机已成为家居新宠，某品牌跑步机如图1)的跑道可以旋转如图2)，图为跑道绕点旋转到位置时的侧面图，其中为显示屏，为扶手，点，，在同一直线上，为可伸缩液压支撑杆，、的位置不变，的长度可变化.
（1）已知，，，则 ；
（2）在（1）的条件下，若，，，且、、恰好在同一直线上，则 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据 ， ， ）
18．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）.（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到1m）.
19．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.
（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：）
20．如图，CD是△ABC的外角∠ECA的平分线，CD交过A，B，C三点的⊙O于点D.
（1）求证：；
（2）若，，求sin∠ACB的值.
21．如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角，、为法线入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为米．
（1）求的长；结果保留根号
（2）如果米，求水池的深参考数据：取，取，取，取，取，取，取，取
22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．
（1）求证：DO∥AC；
（2）求证：DE DA＝DC2；
（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．
23．如图1，四边形ABCD内接于，对角线 AC 是的直径，AB，DC 的延长线交于点E，.
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图2，若BD平分，求的值；
（3）如图1，若，，求y与x的函数关系式.
24．如图：
图1 图2
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E．
①若DE＝1，BD＝，求BC的长；
②试探究是否为定值．如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S1 S3＝S22，求cos∠CBD的值．
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