2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.1.2 矩形的判定 同步练习
一、选择题
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选D．
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
2．如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2 D．AC⊥BD
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AO=BO，
∴OA=OC=OB=OD，
即AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠ACB，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ACB，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
故选B．
【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．
3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC，AC=BD
B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°
C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD
D．∠A=∠B=90°，AC=BD
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴A正确；
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴B正确；
∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥DC，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴C不正确；
∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，如图所示：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴D正确；
故选：C．
【分析】由AB=CD，AD=BC，得出四边形ABCD是平行四边形，再由对角线相等即可得出A正确；
由AO=CO，BO=DO，得出四边形ABCD是平行四边形，由∠A=90°即可得出B正确；
由∠B+∠C=180°，得出AB∥DC，再证出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，由对角线互相垂直得出四边形ABCD是菱形，C不正确；
由∠A+∠B=180°，得出AD∥BC，由HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得出BC=AD，证出四边形ABCD是平行四边形，由∠A=90°即可得出D正确．
4．下列判断正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相平分的四边形是矩形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形；故A不符合题意；
B、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故B不符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形；故C符合题意；
D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的定义可判断，在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形.
5．如果依次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形，那么原来的四边形的两条对角线（ ）
A．相等 B．互相垂直
C．互相平分 D．互相平分且相等
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形．
如图：
∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF∥GH∥DB，EF=GH= DB，
EH=FG= AC，EH∥FG∥AC，
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：B．
【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形.
6．如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等），把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图，①②③，
； ；
共有4种情况，两种平行四边形，矩形和一般的四边形；
故答案为：B.
【分析】根据题意将所有情况列出即可.
二、填空题
7．（2016九下·十堰期末）木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为53cm，这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”）．
【答案】合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵长都为45cm，宽都为28cm，
∴此四边形是平行四边形，
∵桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为53cm，且452+282=532，
∴此四边形的一个角为90°，
∴此四边形是矩形．
∴这个桌面合格．
故答案为：合格．
【分析】由桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为53cm，利用勾股定理的逆定理即可判定90°的角，继而求得答案．
8．（2017八下·启东期中）如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 ．
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。
故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【分析】根据已知可知平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。即可得出答案。
9．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=70°，将平行四边形ABCD变化为一个矩形（图中的虚线部分），在此过程中，分析每条边的运动．AB： ；AD： ；BC： ；CD： ．
【答案】不动；绕点A沿逆时针旋转20°；绕点B沿逆时针旋转20°；平移
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】ABCD是平行四边形，两组对边分别平行，只要保证一个角为90°，则四边形ABCD即为矩形.
【分析】熟练掌握矩形的判定.平行四边形只要保证一个角为直角，则四边形为矩形.
10．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是 ．
【答案】矩形
【知识点】平行线的性质；矩形的判定
【解析】【解答】证明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC= ∠MAC、∠DCA= ∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA= ∠ACP、∠DAC= ∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC= ∠MAC，∠ACB= ∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACP=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：矩形．
【分析】首先推出∠BAC=∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC=90°，可得平行四边形ABCD是矩形．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.
12．王华同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中， ，求证：平行四边形ABCD是 ．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按王晓的想法写出证明过程；
证明：
【答案】（1）AC=BD；矩形
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC，
在△ADC和△BCD中，
∵AC=BD，AD=BC，CD=DC
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD．
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=∠BCD=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】在△ABD和△CDB中， ∵AC=BD，AD=BC，CD=DC，∴△ADC≌△BCD．∴∠ADC=∠BCD，∴AB//CD，AD//CB， ∴四边形ABCD是平行四边形∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ADC=∠BCD=90°．一个角是直角的平行四边形是矩形.
13．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
【答案】（1）解：四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF平行四边形
（2）解：∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形
（3）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
理由如下：
若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．
此时，点A、D、E、F四点共线，
∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】可先证明△DBE≌△ABC，又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；若四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；根据∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，A，D，E，F为顶点的四边形就不存在.
1 / 12017-2018学年数学浙教版八年级下册5.1.2 矩形的判定 同步练习
一、选择题
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
2．如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2 D．AC⊥BD
3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC，AC=BD
B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°
C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD
D．∠A=∠B=90°，AC=BD
4．下列判断正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相平分的四边形是矩形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
5．如果依次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形，那么原来的四边形的两条对角线（ ）
A．相等 B．互相垂直
C．互相平分 D．互相平分且相等
6．如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等），把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
二、填空题
7．（2016九下·十堰期末）木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为53cm，这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”）．
8．（2017八下·启东期中）如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 ．
9．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=70°，将平行四边形ABCD变化为一个矩形（图中的虚线部分），在此过程中，分析每条边的运动．AB： ；AD： ；BC： ；CD： ．
10．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是 ．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
12．王华同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中， ，求证：平行四边形ABCD是 ．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按王晓的想法写出证明过程；
证明：
13．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选D．
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
2．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AO=BO，
∴OA=OC=OB=OD，
即AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠ACB，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ACB，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
故选B．
【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．
3．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴A正确；
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴B正确；
∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥DC，
∵∠A=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴C不正确；
∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC，如图所示：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴D正确；
故选：C．
【分析】由AB=CD，AD=BC，得出四边形ABCD是平行四边形，再由对角线相等即可得出A正确；
由AO=CO，BO=DO，得出四边形ABCD是平行四边形，由∠A=90°即可得出B正确；
由∠B+∠C=180°，得出AB∥DC，再证出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，由对角线互相垂直得出四边形ABCD是菱形，C不正确；
由∠A+∠B=180°，得出AD∥BC，由HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得出BC=AD，证出四边形ABCD是平行四边形，由∠A=90°即可得出D正确．
4．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形；故A不符合题意；
B、两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故B不符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形；故C符合题意；
D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的定义可判断，在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形.
5．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形．
如图：
∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF∥GH∥DB，EF=GH= DB，
EH=FG= AC，EH∥FG∥AC，
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：B．
【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形.
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图，①②③，
； ；
共有4种情况，两种平行四边形，矩形和一般的四边形；
故答案为：B.
【分析】根据题意将所有情况列出即可.
7．【答案】合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵长都为45cm，宽都为28cm，
∴此四边形是平行四边形，
∵桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为53cm，且452+282=532，
∴此四边形的一个角为90°，
∴此四边形是矩形．
∴这个桌面合格．
故答案为：合格．
【分析】由桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为53cm，利用勾股定理的逆定理即可判定90°的角，继而求得答案．
8．【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】因为平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。
故答案是：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
【分析】根据已知可知平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形，而矩形的四个角都是直角。即可得出答案。
9．【答案】不动；绕点A沿逆时针旋转20°；绕点B沿逆时针旋转20°；平移
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】ABCD是平行四边形，两组对边分别平行，只要保证一个角为90°，则四边形ABCD即为矩形.
【分析】熟练掌握矩形的判定.平行四边形只要保证一个角为直角，则四边形为矩形.
10．【答案】矩形
【知识点】平行线的性质；矩形的判定
【解析】【解答】证明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC= ∠MAC、∠DCA= ∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA= ∠ACP、∠DAC= ∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC= ∠MAC，∠ACB= ∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACP=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：矩形．
【分析】首先推出∠BAC=∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC=90°，可得平行四边形ABCD是矩形．
11．【答案】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.
12．【答案】（1）AC=BD；矩形
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC，
在△ADC和△BCD中，
∵AC=BD，AD=BC，CD=DC
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD．
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=∠BCD=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】在△ABD和△CDB中， ∵AC=BD，AD=BC，CD=DC，∴△ADC≌△BCD．∴∠ADC=∠BCD，∴AB//CD，AD//CB， ∴四边形ABCD是平行四边形∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ADC=∠BCD=90°．一个角是直角的平行四边形是矩形.
13．【答案】（1）解：四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF平行四边形
（2）解：∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形
（3）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
理由如下：
若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．
此时，点A、D、E、F四点共线，
∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】可先证明△DBE≌△ABC，又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；若四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；根据∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，A，D，E，F为顶点的四边形就不存在.
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