浙教版数学九年级(上)单元学习指导与练习学案册3.1 圆(2)
一、重点识记
1. 的三点确定一个圆.
【答案】不在同一条直线上
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解:不在同一直线上的三点确定一个圆.
故答案为:不在同一条直线上.
【分析】根据确定圆的条件:不在同一直线上的三点确定一个圆,即可得出答案.
2.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的 ,这个圆的圆心叫做三角形的 ,三角形叫做 .
【答案】外接圆;外心;圆的内接三角形
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解: 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,这个圆的圆心叫做三角形的外心,三角形叫做圆的内接三角形.
故答案为:外接圆,外心,圆的内接三角形.
【分析】根据三角形外接圆的定义及相关概念可得答案.
3.三角形的外心是三角形的 的交点.
【答案】三边垂直平分线
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解: 三角形的外心是三角形的三条边的垂直平分线的交点.
故答案为:三边垂直平分线.
【分析】根据三角形外心定义即可得出答案.
二、基础训练
4.(2021九上·西林期末)经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数
【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】经过不在同一直线的三个点可以确定一个三角形,一个三角形只能有一个外接圆,所以经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆.
故答案为:A.
【分析】根据圆的形成条件和圆的性质可知经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆.
5.(2020九下·西安月考)若三角形的外心在这个三角形的一边上,则这个三角形是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解:∵根据圆周角定理:直径所对的圆周角是直角,
∴该三角形是直角三角形.
故答案为:B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角,则该三角形是直角三角形.
6.小张不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中4块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( ).
A.① B.② C.③ D.④
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用;确定圆的条件
【解析】【解答】解:只要在弧上任意取三点,就可以转化为“用不在同一条直线上的三点确定圆”,所以小明带第②块去,可以配到与原来大小一样的圆形玻璃.
故答案为:B.
【分析】确定一个圆的大小,需要确定圆的半径;由不在同一条直线上的三点确定一个圆;垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,可确定圆心与半径,通过观察可知题目中只有第②块有圆的一段,从而即可得出答案.
7.如图所示,已知在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,则这条圆弧所在圆的圆心是( ).
A.点P B.点Q C.点R D.点M
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解:∵弦的垂直平分线必过圆心,
∴圆心一定在弦AB及弦BC的垂直平分线上,
∴观察可得经过A、B、C三点的圆的圆心在点Q处.
故答案为:B.
【分析】 由垂径定理的推论知弦的垂直平分线必过圆心,故任意两条弦的垂直平分线的交点就是该圆的圆心,从而利用方格纸的特点就会得出答案.
8.如图所示,正方形网格中的每个小正方形的边长都相等,的三个顶点A,B,C都在格点上,若不与顶点重合的格点D在的外接圆上,则图中符合条件的点D有 个.
【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解:如图,作出△ABC的外接圆,
由图可得符合条件的格点D有5个(D、E、F、G、H).
故答案为:5.
【分析】作出△ABC的外接圆,该圆经过的格点就一目了然了.
9.某地出土了一个明代残破圆形瓷盘,为了复制该瓷盘,需确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论,但要保留作图痕迹).
【答案】解:如图,点O就是瓷盘的圆心,
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】在圆弧上任取三点A、B、C,根据垂径定理的推论,圆心一定在弦AB与AC的垂直平分线上,故利用尺规作出弦AB、AC的垂直平分线,两线的交点就是该瓷盘的圆心.
三、能力提高
10.三角形的外心在( ).
A.三角形内 B.三角形外
C.三角形一边上 D.三角形三边中垂线的交点
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解:三角形的外心在三边垂直平分线的交点处.
故答案为:D.
【分析】根据三角形外接圆的定义及同圆的半径相等可知三角形三个顶点到其外接圆的圆心的距离相等,从而根据线段垂直平分线的性质可得三角形的外心在三边垂直平分线的交点处.
11.平面内有5个点A,B,C,D,E,直线AB与直线CD正好相交于点E,在这5个点中,过其中3个点能确定一个圆的概率是 .
【答案】
【知识点】确定圆的条件;概率公式
【解析】【解答】解:从平面上的5个点中,任意选取3个点共有以下10种情况:A、B、C;A、B、D;A、B、E;A、C、D;A、C、E;B、C、D;B、C、E;C、D、E;D、E、A;D、E、B;
∵ 直线AB与直线CD正好相交于点E,
∴在这5个点中,过其中3个点能确定一个圆的情况有8种,
∴ 在这5个点中,过其中3个点能确定一个圆的概率是 .
故答案为:.
【分析】首先用列举法列举出从5个点中任意选取3个点所有等可能的情况数,根据不在同一直线上的三点确定一个圆,可得在这5个点中,过其中3个点能确定一个圆的情况有8种,最后根据概率公式计算可得答案.
12.(2020九上·东台月考)直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是 .
【答案】8或10
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】由勾股定理可知:
①当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形的外接圆半径为8;
②当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长==20,
因此这个三角形的外接圆半径为10.
综上所述:这个三角形的外接圆半径等于8或10.
故答案是于8或10.
【分析】运用三角形的外接圆与外心的相关知识作答.
13.如图所示,在一个长度为8的梯子AB的顶点向点滑动的过程中,梯子的两端A,B与墙的底端构成的三角形的外心与点的距离是否发生变化 若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请求出其长度.
【答案】解:不发生变化,理由如下:
∵梯子的两端A,B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形,
∴外心和与点C的距离始终为AB,
∴不发生变化,其长度为×8=4.
【知识点】三角形的外接圆与外心;直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】不发生变化,理由如下:梯子的两端A,B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形,而直角三角形的外心在斜边的中点处,进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
14.如图所示,在中,是的平分线上一点,于点,过点作交AB于点.求证:点是A,B,D三点的外接圆的圆心.
【答案】证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵DE∥AC,
∴∠DAC=∠ADE,
∴∠BAD=∠ADE,
∴AE=DE,
∵BD⊥AD,
∴∠BAD+∠ABD=90°,∠ADE+∠EDB=90°,
∴∠EDB=∠EBD,
∴BE=DE=AE,
∴A、B、D三点在以点E为圆心,AE的长为半径的圆上,即点E是A、B、D三点外接圆的圆心.
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】由角平分线的定义及平行线的性质可推出∠BAD=∠ADE,由等角对等边得AE=DE,由垂直的定义、直角三角形的两锐角互余及等角的余角相等可得∠EDB=∠EBD,由等角对等边得BE=DE=AE,从而即可得出A、B、D三点在以点E为圆心,AE的长为半径的圆上,即点E是A、B、D三点外接圆的圆心.
四、拓展学习
15.已知A,B,C三点.根据下列条件,说明A,B,C三点能否确定一个圆.如果能,求出圆的半径;如果不能,请说明理由.
(1)
(2)
【答案】(1)解:,
∴A、B、C三点共线,
∴A、B、C三点不能确定一个圆;
(2)解:,
∴A、B、C三点共线,
∴A、B、C三点能确定一个圆;
如图,过点A作AD⊥BC,设AD上的点O为圆心,连结BO.
∵AB=AC,BC=12,
∴DB=6,
∵AB=10,
在Rt△BOD中,设OB=x,
则OD=8-x,
由勾股定理,得,
解得,
∴A、B、C三点不能确定一个圆,该圆的半径为.
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;垂径定理;确定圆的条件
【解析】【分析】(1)首先通过计算可得两个较短的线段长等于较长的线段长,从而判断出三点在同一条直线上,进而可得A、B、C三点不能确定一个圆;
(2)首先经过计算可得A、B、C三点不在一条直线上,从而得到能确定一个圆,然后由等腰三角形的三线合一可得DB的长,再利用勾股定理计算出AD,在Rt△BOD中,设OB=x,则OD=8-x,由勾股定理建立方程可求出x的值,从而得出答案.
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一、重点识记
1. 的三点确定一个圆.
2.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的 ,这个圆的圆心叫做三角形的 ,三角形叫做 .
3.三角形的外心是三角形的 的交点.
二、基础训练
4.(2021九上·西林期末)经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.无数
5.(2020九下·西安月考)若三角形的外心在这个三角形的一边上,则这个三角形是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
6.小张不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中4块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( ).
A.① B.② C.③ D.④
7.如图所示,已知在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,则这条圆弧所在圆的圆心是( ).
A.点P B.点Q C.点R D.点M
8.如图所示,正方形网格中的每个小正方形的边长都相等,的三个顶点A,B,C都在格点上,若不与顶点重合的格点D在的外接圆上,则图中符合条件的点D有 个.
9.某地出土了一个明代残破圆形瓷盘,为了复制该瓷盘,需确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论,但要保留作图痕迹).
三、能力提高
10.三角形的外心在( ).
A.三角形内 B.三角形外
C.三角形一边上 D.三角形三边中垂线的交点
11.平面内有5个点A,B,C,D,E,直线AB与直线CD正好相交于点E,在这5个点中,过其中3个点能确定一个圆的概率是 .
12.(2020九上·东台月考)直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是 .
13.如图所示,在一个长度为8的梯子AB的顶点向点滑动的过程中,梯子的两端A,B与墙的底端构成的三角形的外心与点的距离是否发生变化 若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请求出其长度.
14.如图所示,在中,是的平分线上一点,于点,过点作交AB于点.求证:点是A,B,D三点的外接圆的圆心.
四、拓展学习
15.已知A,B,C三点.根据下列条件,说明A,B,C三点能否确定一个圆.如果能,求出圆的半径;如果不能,请说明理由.
(1)
(2)
答案解析部分
1.【答案】不在同一条直线上
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解:不在同一直线上的三点确定一个圆.
故答案为:不在同一条直线上.
【分析】根据确定圆的条件:不在同一直线上的三点确定一个圆,即可得出答案.
2.【答案】外接圆;外心;圆的内接三角形
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解: 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,这个圆的圆心叫做三角形的外心,三角形叫做圆的内接三角形.
故答案为:外接圆,外心,圆的内接三角形.
【分析】根据三角形外接圆的定义及相关概念可得答案.
3.【答案】三边垂直平分线
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解: 三角形的外心是三角形的三条边的垂直平分线的交点.
故答案为:三边垂直平分线.
【分析】根据三角形外心定义即可得出答案.
4.【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】经过不在同一直线的三个点可以确定一个三角形,一个三角形只能有一个外接圆,所以经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆.
故答案为:A.
【分析】根据圆的形成条件和圆的性质可知经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆.
5.【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解:∵根据圆周角定理:直径所对的圆周角是直角,
∴该三角形是直角三角形.
故答案为:B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角,则该三角形是直角三角形.
6.【答案】B
【知识点】垂径定理的应用;确定圆的条件
【解析】【解答】解:只要在弧上任意取三点,就可以转化为“用不在同一条直线上的三点确定圆”,所以小明带第②块去,可以配到与原来大小一样的圆形玻璃.
故答案为:B.
【分析】确定一个圆的大小,需要确定圆的半径;由不在同一条直线上的三点确定一个圆;垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,可确定圆心与半径,通过观察可知题目中只有第②块有圆的一段,从而即可得出答案.
7.【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解:∵弦的垂直平分线必过圆心,
∴圆心一定在弦AB及弦BC的垂直平分线上,
∴观察可得经过A、B、C三点的圆的圆心在点Q处.
故答案为:B.
【分析】 由垂径定理的推论知弦的垂直平分线必过圆心,故任意两条弦的垂直平分线的交点就是该圆的圆心,从而利用方格纸的特点就会得出答案.
8.【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解:如图,作出△ABC的外接圆,
由图可得符合条件的格点D有5个(D、E、F、G、H).
故答案为:5.
【分析】作出△ABC的外接圆,该圆经过的格点就一目了然了.
9.【答案】解:如图,点O就是瓷盘的圆心,
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】在圆弧上任取三点A、B、C,根据垂径定理的推论,圆心一定在弦AB与AC的垂直平分线上,故利用尺规作出弦AB、AC的垂直平分线,两线的交点就是该瓷盘的圆心.
10.【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解:三角形的外心在三边垂直平分线的交点处.
故答案为:D.
【分析】根据三角形外接圆的定义及同圆的半径相等可知三角形三个顶点到其外接圆的圆心的距离相等,从而根据线段垂直平分线的性质可得三角形的外心在三边垂直平分线的交点处.
11.【答案】
【知识点】确定圆的条件;概率公式
【解析】【解答】解:从平面上的5个点中,任意选取3个点共有以下10种情况:A、B、C;A、B、D;A、B、E;A、C、D;A、C、E;B、C、D;B、C、E;C、D、E;D、E、A;D、E、B;
∵ 直线AB与直线CD正好相交于点E,
∴在这5个点中,过其中3个点能确定一个圆的情况有8种,
∴ 在这5个点中,过其中3个点能确定一个圆的概率是 .
故答案为:.
【分析】首先用列举法列举出从5个点中任意选取3个点所有等可能的情况数,根据不在同一直线上的三点确定一个圆,可得在这5个点中,过其中3个点能确定一个圆的情况有8种,最后根据概率公式计算可得答案.
12.【答案】8或10
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】由勾股定理可知:
①当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形的外接圆半径为8;
②当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长==20,
因此这个三角形的外接圆半径为10.
综上所述:这个三角形的外接圆半径等于8或10.
故答案是于8或10.
【分析】运用三角形的外接圆与外心的相关知识作答.
13.【答案】解:不发生变化,理由如下:
∵梯子的两端A,B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形,
∴外心和与点C的距离始终为AB,
∴不发生变化,其长度为×8=4.
【知识点】三角形的外接圆与外心;直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】不发生变化,理由如下:梯子的两端A,B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形,而直角三角形的外心在斜边的中点处,进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
14.【答案】证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵DE∥AC,
∴∠DAC=∠ADE,
∴∠BAD=∠ADE,
∴AE=DE,
∵BD⊥AD,
∴∠BAD+∠ABD=90°,∠ADE+∠EDB=90°,
∴∠EDB=∠EBD,
∴BE=DE=AE,
∴A、B、D三点在以点E为圆心,AE的长为半径的圆上,即点E是A、B、D三点外接圆的圆心.
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】由角平分线的定义及平行线的性质可推出∠BAD=∠ADE,由等角对等边得AE=DE,由垂直的定义、直角三角形的两锐角互余及等角的余角相等可得∠EDB=∠EBD,由等角对等边得BE=DE=AE,从而即可得出A、B、D三点在以点E为圆心,AE的长为半径的圆上,即点E是A、B、D三点外接圆的圆心.
15.【答案】(1)解:,
∴A、B、C三点共线,
∴A、B、C三点不能确定一个圆;
(2)解:,
∴A、B、C三点共线,
∴A、B、C三点能确定一个圆;
如图,过点A作AD⊥BC,设AD上的点O为圆心,连结BO.
∵AB=AC,BC=12,
∴DB=6,
∵AB=10,
在Rt△BOD中,设OB=x,
则OD=8-x,
由勾股定理,得,
解得,
∴A、B、C三点不能确定一个圆,该圆的半径为.
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;垂径定理;确定圆的条件
【解析】【分析】(1)首先通过计算可得两个较短的线段长等于较长的线段长,从而判断出三点在同一条直线上,进而可得A、B、C三点不能确定一个圆;
(2)首先经过计算可得A、B、C三点不在一条直线上,从而得到能确定一个圆,然后由等腰三角形的三线合一可得DB的长,再利用勾股定理计算出AD,在Rt△BOD中,设OB=x,则OD=8-x,由勾股定理建立方程可求出x的值,从而得出答案.
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