5.1一元一次方程-2023-2024学年浙教版七年级上 同步分层作业（含解析）

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5.1一元一次方程 同步分层作业
基础过关
1. 下列各式中，不是方程的是（　　）
A．a＝0 B．2x+3 C．2x+1＝5 D．2（x+1）＝2x+2
2. 若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
3. 已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+6＝0是关于x的一元一次方程，则a＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2
4. 一个两位数，十位上的数是1，个位上的数是x．把1与x对调，新两位数比原两位数大18．根据题意列出的方程为（　　）
A．10x+1﹣10+x＝18 B．10x+1﹣（10+x）＝18 C．10+x﹣10x+1＝18 D．10+x﹣（10x+1）＝18
5. 关于x的方程（a2﹣4）x2+ax﹣2x+5＝0是一元一次方程，则a＝　　．
6. 若关于x的方程2x+a﹣b＝0的解是x＝1，则2b﹣2a+5的值等于 　　．
7.某班有男生25人，比女生的2倍少17人，这个班有女生多少人？设女生人数为x．则可得方程 　　．
8.判断括号内未知数的值是不是方程的根：
（1）x2﹣3x﹣4＝0（x1＝﹣1，x2＝1）； （2）（2a+1）2＝a2+1（a1＝﹣2，a2＝﹣）．
9.小张去水果市场购买苹果和桔子，他看中了A、B两家的苹果和桔子，这两家的苹果和桔子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克桔子多12元，买2千克苹果与买5千克桔子的费用相等，设桔子的单价为x元．
（1）根据题意列出方程；
（2）在x＝6，x＝7，x＝8中，哪一个是（1）中所列方程的解．
能力提升
10. 下列方程中，一元一次方程共有（　　）个
①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x+1＝；④+＝0； ⑤x2+3x+1＝0；⑥x﹣1＝12．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11. 要使关于x的方程3（x﹣2）+b＝a（x﹣1）是一元一次方程，必须满足（　　）
A．a≠0 B．b≠0 C．a≠3 D．a、b为任意有理数
12. 由表可知方程2x﹣1＝x+2的解是　　
x的值 … 1 2 3 4 …
2x﹣1的值 … 1 3 5 7 …
x+2的值 … 3 4 5 6 …
13. 已知关于x的一元一次方程+3＝2019x+m的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程+2019（y﹣1）＝m﹣3的解y＝　　．
14. 为响应国家号召，某单位组织所有员工分x组去接种新冠疫苗加强针．若每组50人，则只有一组缺15人；若每组45人，则余下10人，根据题意，可列方程为 　 　．
15. 若（a﹣1）x|a|﹣3＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a＝　　；
（2）求﹣4a2﹣2[a﹣（2a2﹣a+2）]的值．
培优拔尖
16. 如果方程（a﹣b）x＝|a﹣b|的解是x＝﹣1，那么（　　）
A．a＝b B．a＞b C．a≠b D．a＜b
17. 已知x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，则3a3﹣2a2+a﹣4的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．16 D．14
18. 当m＝　　时，关于x的方程（m﹣1）（m+2）﹣（m﹣1）x+5＝0为一元一次方程．
19. 已知关于x的方程的两个解是；
又已知关于x的方程的两个解是；
又已知关于x的方程的两个解是；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
（1）关于x的方程的两个解是x1＝　　和x2＝　　；
（2）已知关于x的方程，则x的两个解是多少？
20. 一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少钱？设衬衫的成本为x元．
（1）填写下表：（用含有x的代数式表示）
成本 标价 售价
x 　 　 　 　
（2）根据相等关系列出方程：　 　．
21．根据题意，列出关于x的方程（不必解方程）：
（1）要锻造一个直径为10cm，高为8cm的圆柱体毛坯，应截取直径为8cm的圆钢多长？设应截取直径为8cm的圆钢xcm，则可列出方程　　；
（2）某人存了一笔三年定期存款，年利率为4.25%，今年到期后，连本带息取出11275元，他三年前存了多少元？设他三年前存了x元，则可列出方程　　．
（3）把2005个正整数1，2，3，4，…，2005按如图方式排列成一个表，用一正方形框在表中任意框住4个数，被框住的4个数之和能否等于416？设正方形框中左上角的一个数为x，则可列出方程　　．
答案与解析
基础过关
1. 下列各式中，不是方程的是（　　）
A．a＝0 B．2x+3
C．2x+1＝5 D．2（x+1）＝2x+2
【点拨】根据方程的定义（含有未知数的等式称为方程）依次进行判断即可．
【解析】解：根据方程的定义可知，A、C、D都是方程，B不是方程，
故选：B．
【点睛】本题主要考查方程的定义，深刻理解方程的定义是解题关键．
2. 若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
【点拨】根据方程解的定义，把x＝﹣1代入方程2x+m﹣6＝0，可解得m．
【解析】解：
把x＝﹣1代入方程2x+m﹣6＝0
可得：2×（﹣1）+m﹣6＝0，
解得：m＝8，
故选：D．
【点睛】本题主要考查方程解的定义，解题的关键是把方程的解代入方程得到所求参数的方程．
3. 已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+6＝0是关于x的一元一次方程，则a＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2
【点拨】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．
【解析】解：由题意，得
|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
4. 一个两位数，十位上的数是1，个位上的数是x．把1与x对调，新两位数比原两位数大18．根据题意列出的方程为（　　）
A．10x+1﹣10+x＝18 B．10x+1﹣（10+x）＝18
C．10+x﹣10x+1＝18 D．10+x﹣（10x+1）＝18
【点拨】首先表示出这个两位数，然后表示出新的两位数，再根据新两位数比原两位数大18列出方程即可．
【解析】解：由题意，可得原数为10+x，新数为10x+1，
根据题意，得10x+1﹣（10+x）＝18．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，对于这类问题，一般采取设未知数的方法，通过解方程，解决问题．
5. 关于x的方程（a2﹣4）x2+ax﹣2x+5＝0是一元一次方程，则a＝　﹣2　．
【点拨】利用一元一次方程的定义判断即可确定出a的值．
【解析】解：∵关于x的方程（a2﹣4）x2+ax﹣2x+5＝0是一元一次方程，
∴a2﹣4＝0，且a﹣2≠0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
6. 若关于x的方程2x+a﹣b＝0的解是x＝1，则2b﹣2a+5的值等于 　9　．
【点拨】把x＝1代入方程计算即可求出b﹣a的值，要整体代入计算即可．
【解析】解：把x＝1代入方程得：2+a﹣b＝0，
解得：b﹣a＝2，
∴2b﹣2a+5
＝2（b﹣a）+5
＝2×2+5
＝9，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
7.某班有男生25人，比女生的2倍少17人，这个班有女生多少人？设女生人数为x．则可得方程 　2x﹣17＝25　．
【点拨】根据等量关系：男生人数＝女生人数×2﹣17，列方程即可．
【解析】解：由题意得：2x﹣17＝25，
故答案为：2x﹣17＝25．
【点睛】本题考查了从实际问题中抽出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
8.判断括号内未知数的值是不是方程的根：
（1）x2﹣3x﹣4＝0（x1＝﹣1，x2＝1）；
（2）（2a+1）2＝a2+1（a1＝﹣2，a2＝﹣）．
【点拨】利用方程解的定义找到相等关系．即将未知数分别代入方程式看是否成立．
【解析】解：（1）当x1＝﹣1时，左边＝1+3﹣4＝0＝右边，则它是该方程的根；
当x2＝1时，左边＝1﹣3﹣4＝﹣6≠右边，则它不是该方程的根；
（2）当a1＝﹣2时，左边＝（﹣4+1）2＝9，右边＝4+1＝5，左边≠右边，则它不是该方程的根；
当a2＝﹣时，左边＝（﹣×2+1）2＝，右边＝（﹣）2+1＝，左边＝右边，则它是该方程的根．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
9.小张去水果市场购买苹果和桔子，他看中了A、B两家的苹果和桔子，这两家的苹果和桔子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克桔子多12元，买2千克苹果与买5千克桔子的费用相等，设桔子的单价为x元．
（1）根据题意列出方程；
（2）在x＝6，x＝7，x＝8中，哪一个是（1）中所列方程的解．
【点拨】（1）根据题意列方程即可；
（2）把x＝6，x＝7，x＝8分别代入2（x+12）＝5x，即可得到结论．
【解析】解：（1）根据题意得，2（x+12）＝5x；
（2）把x＝6，x＝7，x＝8分别代入2（x+12）＝5x，
当x＝6时，2（x+12）＝36，5x＝30，
∴等号的左右两边不相等，
∴x＝6不是方程的解；
当x＝7时，2（x+12）＝38，5x＝35，
∴等号的左右两边不相等，
∴x＝7不是方程的解；
当x＝8时，2（x+12）＝40，5x＝40，
∴等号的左右两边相等，
∴x＝8是方程的解．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，方程的解，列代数式，正确的理解题意是解题的关键．
能力提升
10. 下列方程中，一元一次方程共有（　　）个
①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x+1＝；④+＝0； ⑤x2+3x+1＝0；⑥x﹣1＝12．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据一元一次方程的定义得出即可．
【解析】解：①4x﹣3＝5x﹣2，是一元一次方程，符合题意；
②3x﹣4y，不符合一元一次方程的定义，不合题意；
③3x+1＝，是分式方程，不合题意；
④+＝0，是一元一次方程，符合题意；
⑤x2+3x+1＝0，是一元二次方程，不合题意；
⑥x﹣1＝12，是一元一次方程，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．
11. 要使关于x的方程3（x﹣2）+b＝a（x﹣1）是一元一次方程，必须满足（　　）
A．a≠0 B．b≠0 C．a≠3 D．a、b为任意有理数
【点拨】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．继而列出有关a的方程，求解即可．
【解析】解：将原方程整理为：（3﹣a）x+a+b﹣6＝0，
当a≠3时，方程是关于x的一元一次方程．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
12. 由表可知方程2x﹣1＝x+2的解是　x＝3　
x的值 … 1 2 3 4 …
2x﹣1的值 … 1 3 5 7 …
x+2的值 … 3 4 5 6 …
【点拨】观察表格，得出2x﹣1与x+2的值相等时x的值即为方程的解．
【解析】解：根据表格得：2x﹣1＝x+2的解是x＝3．
故答案为：x＝3．
【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13. 已知关于x的一元一次方程+3＝2019x+m的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程+2019（y﹣1）＝m﹣3的解y＝　﹣1　．
【点拨】方程+3＝2019x+m可整理得：﹣2019x＝m﹣3，则该方程的解为x＝2，方程+2019（y﹣1）＝m﹣3可整理得：﹣2019（1﹣y）＝m﹣3，令n＝1﹣y，则原方程可整理得：﹣2019n＝m﹣3，则n＝2，得到关于y的一元一次方程，解之即可．
【解析】解：根据题意得：
方程+3＝2019x+m可整理得：﹣2019x＝m﹣3，
则该方程的解为x＝2，
方程+2019（y﹣1）＝m﹣3可整理得：﹣2019（1﹣y）＝m﹣3，
令n＝1﹣y，
则原方程可整理得：﹣2019n＝m﹣3，
则n＝2，
即1﹣y＝2，
解得：y＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键．
14. 为响应国家号召，某单位组织所有员工分x组去接种新冠疫苗加强针．若每组50人，则只有一组缺15人；若每组45人，则余下10人，根据题意，可列方程为 　50x﹣15＝45x+10　．
【点拨】根据人数不变即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】解：根据题意，可列方程为50x﹣15＝45x+10．
故答案为：50x﹣15＝45x+10．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15. 若（a﹣1）x|a|﹣3＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a＝　﹣1　；
（2）求﹣4a2﹣2[a﹣（2a2﹣a+2）]的值．
【点拨】（1）根据一元一次方程的定义可知|a|＝1且a﹣1≠0；
（2）根据整式的加减法法则化简后，再把a的值代入计算即可．
【解析】解：（1）∵方程（a﹣1）x|a|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，
∴|a|＝1且a﹣1≠0．
解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
（2）原式＝﹣4a2﹣2（a﹣2a2+a﹣2）
＝﹣4a2﹣2（﹣2a2+2a﹣2）
＝﹣4a2+4a2﹣4a+4
＝﹣4a+4，
将a＝﹣1代入上式得﹣4a+4＝﹣4×（﹣1）+4＝4+4＝8．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
培优拔尖
16. 如果方程（a﹣b）x＝|a﹣b|的解是x＝﹣1，那么（　　）
A．a＝b B．a＞b C．a≠b D．a＜b
【点拨】把x＝﹣1代入方程（a﹣b）x＝|a﹣b|，然后来比较a与b的大小．
【解析】解：依题意，得
﹣（a﹣b）＝|a﹣b|，
则a﹣b＜0，
所以a＜b．
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的解．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
17. 已知x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，则3a3﹣2a2+a﹣4的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．16 D．14
【点拨】把x＝1代入关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0可以求得a的值，然后把x＝2代入所求的代数式进行求值．
【解析】解：∵x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，
∴3﹣2+1﹣4+a＝0，
解得，a＝2，
∴3a3﹣2a2+a﹣4＝3×23﹣2×22+2﹣4＝14．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程解的定义，解决本题的关键在于根据方程的解的定义将x＝1代入，从而转化为关于a的一元一次方程．
18. 当m＝　或±或﹣2　时，关于x的方程（m﹣1）（m+2）﹣（m﹣1）x+5＝0为一元一次方程．
【点拨】根据一元一次方程的定义解答．
【解析】解：①当m2﹣2＝1时，即m＝，
则方程变为（m﹣1）（m+2）x﹣（m﹣1）x+5＝0为为一元一次方程；
②当m2﹣2≠1时，即m，
则（m﹣1）（m+2）＝0且﹣（m﹣1）≠0，
解得m＝﹣2，
③m2﹣2＝0，解得m＝±，
故m＝或﹣2，
故答案为或±或﹣2．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
19. 已知关于x的方程的两个解是；
又已知关于x的方程的两个解是；
又已知关于x的方程的两个解是；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
（1）关于x的方程的两个解是x1＝　11　和x2＝　　；
（2）已知关于x的方程，则x的两个解是多少？
【点拨】（1）根据上述的结论方程的两个解是，即可猜想得到答案；
（2）可以把x﹣1看作一个整体，即方程两边同时减去1，得x﹣1+＝11+，然后根据猜想得到x﹣1＝11，x﹣1＝，进一步求得方程的解．
【解析】解：（1）根据猜想的结论，则x1＝11，x2＝；
（2）原方程可以变形为x﹣1+＝11+，
则x﹣1＝11，x﹣1＝．
则x1＝12，x2＝．
【点睛】此题要能够根据探索得到的结论进行分析求解，能够运用换元法进行求解，有一定难度．
20. 一件衬衫先按成本加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的成本是多少钱？设衬衫的成本为x元．
（1）填写下表：（用含有x的代数式表示）
成本 标价 售价
x 　x+60　 　0.8x+48　
（2）根据相等关系列出方程：　（0.8x+48）﹣x＝24　．
【点拨】（1）设这件衬衫的成本是x元，根据题意：标价＝成本价+60，售价＝标价×0.8，由此即可解决问题．
（2）设这件衬衫的成本是x元，根据：利润＝销售价﹣成本，即可列出方程．
【解析】解：（1）可得：标价为：x+60；售价为：0.8x+48，
故答案为：x+60；0.8x+48；
（2）根据题意可得：（0.8x+48）﹣x＝24，
故答案为：（0.8x+48）﹣x＝24．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，搞清楚，成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键．
21．根据题意，列出关于x的方程（不必解方程）：
（1）要锻造一个直径为10cm，高为8cm的圆柱体毛坯，应截取直径为8cm的圆钢多长？设应截取直径为8cm的圆钢xcm，则可列出方程　π×52×8＝π×42 x　；
（2）某人存了一笔三年定期存款，年利率为4.25%，今年到期后，连本带息取出11275元，他三年前存了多少元？设他三年前存了x元，则可列出方程　（1+4.25%×3）x＝11275　．
（3）把2005个正整数1，2，3，4，…，2005按如图方式排列成一个表，用一正方形框在表中任意框住4个数，被框住的4个数之和能否等于416？设正方形框中左上角的一个数为x，则可列出方程　x+x+1+x+7+x+8＝416　．
【点拨】（1）根据题意可知，圆柱形毛坯与圆钢的体积相等，利用此相等关系列方程；
（2）利用年利率4.25%的三年期存款，表示出总利息，进而得出等式即可；
（3）左右相邻两个数差1，上下相邻的两个数相差为7，据此表示其他三个数，根据题意列出x+x+1+x+7+x+8＝416；
【解析】（12分）（1）解：设应截取直径8cm的圆钢xcm，
由题意得：π×52×8＝π×42 x，
故答案为：π×52×8＝π×42 x；
（2）设他三年前存了x元，根据题意得：（1+4.25%×3）x＝11275，
故答案为：（1+4.25%×3）x＝11275；
（3）由图表可知：左右相邻两个数差1，上下相邻的两个数相差为7，左上角的一个数为x，
则另外三个数用含x的式子从小到大依次表示x+1；x+7；x+8；
根据题意可得：x+x+1+x+7+x+8＝416，
故答案为：x+x+1+x+7+x+8＝416．
【点睛】本题考查了由实际问题列一元一次方程的知识，解题的关键是找到等量关系．
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