5.2等式的基本性质-2023-2024学年浙教版七年级上 同步分层作业（含解析）

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5.2等式的基本性质 同步分层作业
基础过关
1. 已知等式m＝n，则下列式子不成立的是（　　）
A．m﹣1＝n﹣1 B．﹣3m＝﹣3n C． D．m+1＝n+2
2. 下列变形错误的是（　　）
A．由x+7＝5得x+7﹣7＝5﹣7 B．由3x﹣2＝2x+1得x＝3
C．由﹣2x＝3得x＝﹣ D．由4﹣3x＝4x﹣3得4+3＝4x+3x
3. 假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（　　）个■．
A．5 B．6 C．7 D．8
4. 下列等式变形：①如果ax＝ay，那么x＝y；②如果x＝y，那么；③如果x＝y，那么ax＝ay；④如果，那么x＝y．其中正确的是（　　）
A．①④ B．③④ C．①② D．②③
5. 由a＝b，得，那么c应该满足的条件是 　 　．
6. 已知2a+b＝2b+3，利用等式性质可求得2a﹣b的值是 　 　．
7. 下列条件：①a+2＝b+2；②﹣3a＝﹣3b；③﹣a﹣c＝b+c；④ac﹣1＝bc﹣1；⑤，其中根据等式的性质可以推导出a＝b的条件有 　 　（填序号即可）．
8. 小邱认为，若ac＝bc，则a＝b．你认为小邱的观点正确吗？　 　（填“是”或“否”），并写出你的理由：　 　．
9. 由等式6x＝x+2可得6x﹣　 　＝2，这是根据等式性质 　 　，在等式两边同时 　 ．　．
10. 用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明根据的是哪一条性质以及怎样变形的
若2x+7＝10，则2x＝10﹣7．　 　．
若5x＝4x+3，则5x﹣4x＝3．　 　．
若a≠0，ax＝b，则x＝　　．　 　．
若﹣3x＝﹣18，则x＝　6　．　 　．
如果，那么2x+1＝　 　．
11.由等式（a﹣2）x＝a﹣2能得到x﹣1＝0，则a必须满足的条件是　 　．
12.利用等式的基本性质解方程：
（1）x+3＝10； （2）﹣4x＝16；
（3）y＝﹣9； （4）+x＝﹣3；
（5）3x＝2x+7； （6）x﹣7＝x+1．
能力提升
13. 下列运用等式性质进行变形，正确的是（　　）
A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝3a，则a＝3 D．若a（m2+1）＝b（m2+1），则a＝b
14. 下列变形正确的是（　　）
A．4x﹣5＝3x+2变形得4x﹣3x＝﹣2+5 B．变形得4x﹣1＝3x+18
C．3（x﹣1）＝2（x+3）变形得3x﹣1＝2x+6 D．3x＝2变形得
15. 下列等式变形正确的是（　　）
A．如果s＝ab，那么b＝ B．如果x＝6，那么x＝3
C．如果x﹣3＝y﹣3，那么x﹣y＝0 D．如果mx＝my，那么x＝y
16. 请帮帮小马虎：
在将等式3a﹣b＝2a﹣b变形时，小马虎得出一个奇怪的结论，其过程如下：
因为3a﹣b＝2a﹣b，
所以3a＝2a（第一步），
所以3＝2（第二步），
请回答：
（1）小马虎的第一步的依据是　 　．
（2）第二步得出错误的结论，其原因是　 　．
17.阅读理解题：
下面是小明将等式x﹣4＝3x﹣4进行变形的过程：
x﹣4+4＝3x﹣4+4，①
x＝3x，②
1＝3．③
（1）小明①的依据是　 　．
（2）小明出错的步骤是　 　，错误的原因是　 　．
（3）给出正确的解法．
18.老师在黑板上写了一个等式：（a+3）x＝4（a+3）．王聪说x＝4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由．
19.从2a+3＝2b+3能否得到a＝b，为什么？（要求写出详细的步骤、过程和依据）
培优拔尖
20. 若有公式M＝，用含有D、L、M的代数式表示d＝　　．
21. 在公式S＝（a+b）h中，用含s，a，h的代数式表示b＝　　．
22. 在公式＝b中，b≠﹣1，如果b是已知数，那么a＝　　．
23.已知t＝（a，b是常数，x≠﹣a）．①
（1）若a＝﹣2，b＝，求t；
（2）试将等式①变形成“Ax＝B”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式；
（3）若t的取值与x无关，请说明ab＝﹣1．
24.若有公式M﹣d＝其中（L≠），利用等式的基本性质，用含有D，L，M的代数式表示d．
答案与解析
基础过关
1. 已知等式m＝n，则下列式子不成立的是（　　）
A．m﹣1＝n﹣1 B．﹣3m＝﹣3n C． D．m+1＝n+2
【点拨】根据等式的性质解答即可．
【解析】解：A、在等式m＝n的两边同时减去1得：m﹣1＝n﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、在等式m＝n的两边同时乘以﹣3得：﹣3m＝﹣3n，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在等式m＝n的两边同时3次方得：m3＝n3原变形正确，故此选项不符合题意；
D、在等式m＝n的两边同时加1得：m+1＝n+1，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，解决本题的关键是熟记等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
2. 下列变形错误的是（　　）
A．由x+7＝5得x+7﹣7＝5﹣7 B．由3x﹣2＝2x+1得x＝3
C．由﹣2x＝3得x＝﹣ D．由4﹣3x＝4x﹣3得4+3＝4x+3x
【点拨】根据等式的性质逐个判断即可．
【解析】解：A．∵x+7＝5，
∴x+7﹣7＝5﹣7，故本选项不符合题意；
B．∵3x﹣2＝2x+1，
∴3x﹣2x＝1+2，
∴x＝3，故本选项不符合题意；
C．∵﹣2x＝3，
∴x＝﹣，故本选项符合题意；
D．∵4﹣3x＝4x﹣3，
∴4+3＝4x+3x，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，注意：等式的性质是：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．
3. 假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（　　）个■．
A．5 B．6 C．7 D．8
【点拨】根据前两架天平保持平衡，可得：1个三角形等于1个圆加1个正方形，2个圆等于1个三角形和1个正方形，所以2个圆等于1个圆加2个正方形，据此推得1个圆＝2个正方形，所以要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放6个■．
【解析】解：∵1个▲＝1个●+1个■，2个●＝1个▲+1个■，
∴2个●＝（1个●+1个■）+1个■＝1个●+2个■，
∴1个●＝2个■，
∴3个●＝6个■，
∴如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放6个■．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了等式的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出圆、正方形的关系．
4. 下列等式变形：①如果ax＝ay，那么x＝y；②如果x＝y，那么；③如果x＝y，那么ax＝ay；④如果，那么x＝y．其中正确的是（　　）
A．①④ B．③④ C．①② D．②③
【点拨】根据等式的性质逐一判断即可．
【解析】解：①如果ax＝ay，当a＝0时，x＝y不一定成立，变形错误；
②如果x＝y，当a＝0时，不成立，变形错误；
③如果x＝y，那么ax＝ay，变形正确；
④如果，那么x＝y，变形正确．
∴正确的是③④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立．
5. 由a＝b，得，那么c应该满足的条件是 　c≠0　．
【点拨】运用等式的性质2进行求解．
【解析】解：根据等式的性质2可得，
若a＝b，当c≠0时，，
故答案为：c≠0．
【点睛】此题考查了等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6. 已知2a+b＝2b+3，利用等式性质可求得2a﹣b的值是 　3　．
【点拨】3根据等式的性质，等式的两边同时减去2b，可得2a﹣b＝3．
【解析】3解：2a+b＝2b+3，2a+b﹣2b＝2b+3﹣2b，
∴2a﹣b＝3．
故答案为：3．
【点睛】3本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
7. 下列条件：①a+2＝b+2；②﹣3a＝﹣3b；③﹣a﹣c＝b+c；④ac﹣1＝bc﹣1；⑤，其中根据等式的性质可以推导出a＝b的条件有 　①②⑤　（填序号即可）．
【点拨】根据等式的性质：等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，由此即可求解．
【解析】解：a+2＝b+2，等式两边同时减2，得到a＝b，故①符合题意；
﹣3a＝﹣3b，等式两边同时除以﹣3，得到a＝b，故②符合题意；
﹣a﹣c＝b+c，利用等式的性质不能得到a＝b，故③不符合题意；
ac﹣1＝bc﹣1，等式两边同时加1，得到ac＝bc，当c≠0时，可以得到a＝b；当c＝0时，不能得到a＝b，故④不符合题意；
，可以得出c≠0，等式两边同时乘以c，得到a＝b，故⑤符合题意；
故答案为：①②⑤．
【点睛】此题考查的是等式的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
8. 小邱认为，若ac＝bc，则a＝b．你认为小邱的观点正确吗？　否　（填“是”或“否”），并写出你的理由：　当c＝0时，a可以不等于b　．
【点拨】等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．依据等式的基本性质进行判断．
【解析】解：若ac＝bc，则a＝b不一定成立，即小邱的观点不正确．
理由：当c＝0时，a可以不等于b，
故答案为：否；当c＝0时，a可以不等于b．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
9. 由等式6x＝x+2可得6x﹣　x　＝2，这是根据等式性质 　1　，在等式两边同时 　减x．　．
【点拨】根据等式性质解答即可．
【解析】解：由等式6x＝x+2可得6x﹣x＝2，
这是根据等式性质1，在等式两边同时减x．
故答案为：x；1；减x．
【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍是等式是解题的关键．
10. 用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明根据的是哪一条性质以及怎样变形的
若2x+7＝10，则2x＝10﹣7．　根据等式的性质1，等式的两边同时减去7，等式仍成立　．
若5x＝4x+3，则5x﹣4x＝3．　根据等式的性质1，等式的两边同时减去4x，等式仍成立　．
若a≠0，ax＝b，则x＝　　．　根据等式的性质2，等式的两边同时除以同一个不为0数a，等式仍成立　．
若﹣3x＝﹣18，则x＝　6　．　根据等式的性质，2，等式的两边同时除以同一个数﹣3，等式仍成立　．
如果，那么2x+1＝　4　．
【点拨】根据等式的基本性质进行填空．
【解析】解：根据等式的性质1，若2x+7＝10，则2x＝10﹣7（等式的两边同时减去7，等式仍成立）．
根据等式的性质1，若5x＝4x+3，则5x﹣4x＝3（等式的两边同时减去4x，等式仍成立），
根据等式的性质2，若a≠0，ax＝b，则x＝（等式的两边同时除以同一个不为0数a，等式仍成立），
根据等式的性质2，若﹣3x＝﹣18，则x＝6（等式的两边同时除以同一个数﹣3，等式仍成立）．
根据等式的性质2，如果，那么2x+1＝4（等式的两边同时乘以10，等式仍成立）．
故答案为：根据等式的性质1，等式的两边同时减去7，等式仍成立；
根据等式的性质1，等式的两边同时减去4x，等式仍成立；
，根据等式的性质2等式的两边同时除以同一个不为0数a，等式仍成立；
6，根据等式的性质2，等式的两边同时除以同一个数﹣3，等式仍成立；
4．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．
等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
11.由等式（a﹣2）x＝a﹣2能得到x﹣1＝0，则a必须满足的条件是　a≠2　．
【点拨】利用等式的基本性质得出a﹣2≠0时，由等式（a﹣2）x＝a﹣2能得到x﹣1＝0，即可得出答案．
【解析】解：∵由等式（a﹣2）x＝a﹣2能得到x﹣1＝0，
∴a﹣2≠0，
则a≠2．
故答案为：a≠2．
【点睛】此题主要考查了等式的性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．
12.利用等式的基本性质解方程：
（1）x+3＝10；
（2）﹣4x＝16；
（3）y＝﹣9；
（4）+x＝﹣3；
（5）3x＝2x+7；
（6）x﹣7＝x+1．
【点拨】利用等式的基本性质解各方程即可．
【解析】解：（1）原方程两边同时减去3得：x＝7；
（2）原方程两边同时除以﹣4得：x＝﹣4；
（3）原方程两边同时乘3得：y＝﹣27；
（4）原方程两边同时减去得：x＝﹣；
（5）原方程两边同时减去2x得：x＝7；
（6）原方程两边同时减去x得：x﹣7＝1，
两边同时加上7得：x＝8．
【点睛】本题考查利用等式性质解方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
能力提升
13. 下列运用等式性质进行变形，正确的是（　　）
A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝3a，则a＝3 D．若a（m2+1）＝b（m2+1），则a＝b
【点拨】根据等式的性质，可得答案．
【解析】解：A、在等式a＝b两边同时加上c，结果仍得等式，则等式a+c＝b+c，故此选项错误，不符合题意；
B、若c≠0，ac＝bc，则a＝b，故此选项错误，不符合题意；
C、当a≠0时，若a2＝3a，则a＝3，故此选项错误，不符合题意；
D、∵m2+1≠0，
∴若a（m2+1）＝b（m2+1），则a＝b，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
14. 下列变形正确的是（　　）
A．4x﹣5＝3x+2变形得4x﹣3x＝﹣2+5 B．变形得4x﹣1＝3x+18
C．3（x﹣1）＝2（x+3）变形得3x﹣1＝2x+6 D．3x＝2变形得
【点拨】等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．根据等式的性质解答即可．
【解析】解：A．4x﹣5＝3x+2变形得4x﹣3x＝2+5，故变形错误，不符合题意；
B． ，等式两边同时乘以6，变形可得4x﹣6＝3x+18，故变形错误，不符合题意；
C．3（x﹣1）＝2（x+3）去括号可得3x﹣3＝2x+6，故变形错误，不符合题意；
D．3x＝2变形得，变形正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
15. 下列等式变形正确的是（　　）
A．如果s＝ab，那么b＝ B．如果x＝6，那么x＝3
C．如果x﹣3＝y﹣3，那么x﹣y＝0 D．如果mx＝my，那么x＝y
【点拨】答题时首先记住等式的基本性质，然后对每个选项进行分析判断．
【解析】解：A、如果s＝ab，那么b＝，当a＝0时不成立，故A错误，
B、如果x＝6，那么x＝12，故B错误，
C、如果x﹣3＝y﹣3，那么x﹣y＝0，C正确，
D、如果mx＝my，那么x＝y，如果m＝0，式子不成立，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．
等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
16. 请帮帮小马虎：
在将等式3a﹣b＝2a﹣b变形时，小马虎得出一个奇怪的结论，其过程如下：
因为3a﹣b＝2a﹣b，
所以3a＝2a（第一步），
所以3＝2（第二步），
请回答：
（1）小马虎的第一步的依据是　等式的基本性质1　．
（2）第二步得出错误的结论，其原因是　忽略了a≠0的条件　．
【点拨】根据等式的基本性质进行解答即可．
【解析】解：（1）小马虎的第一步的依据是等式的基本性质1．
故答案为：等式的基本性质1；
（2）忽略了a≠0的条件．
故答案为：忽略了a≠0的条件．
【点睛】本题考查的是等式的基本性质，在应用等式的基本性质2时要注意“等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数”．
17.阅读理解题：
下面是小明将等式x﹣4＝3x﹣4进行变形的过程：
x﹣4+4＝3x﹣4+4，①
x＝3x，②
1＝3．③
（1）小明①的依据是　等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式　．
（2）小明出错的步骤是　③　，错误的原因是　等式两边都除以0　．
（3）给出正确的解法．
【点拨】根据等式的性质解答即可．
【解析】解：（1）小明①的依据是等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；
（2）小明出错的步骤是③，错误的原因是等式两边都除以0；
（3）x﹣4＝3x﹣4，
x﹣4+4＝3x﹣4+4，
x＝3x，
x﹣3x＝0，
﹣2x＝0，
x＝0．
故答案为：等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；③；等式两边都除以0．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1、等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；等式的性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
18.老师在黑板上写了一个等式：（a+3）x＝4（a+3）．王聪说x＝4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由．
【点拨】利用等式的基本性质分别得出答案．
【解析】解：王聪说x＝4，不正确，
理由：当a+3＝0时，x为任意实数；
刘敏说法正确，
理由：当a+3＝0时，x为任意实数，当x≠4时，这个等式也可能成立．
【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，利用分类讨论得出是解题关键．
19.从2a+3＝2b+3能否得到a＝b，为什么？（要求写出详细的步骤、过程和依据）
【点拨】利用等式的性质，从2a+3＝2b+3能得到a＝b，从而得到答案．
【解析】解：能．
理由：2a+3＝2b+3，
等式两边同时减去3得：
2a＝2b，
等式两边同时除以2得：
a＝b，
即从2a+3＝2b+3能得到a＝b．
【点睛】本题考查了等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．
培优拔尖
20. 若有公式M＝，用含有D、L、M的代数式表示d＝　D﹣2LM　．
【点拨】根据等式的性质，将等式进行变形后可得出答案．
【解析】解：根据等式的性质2，等式两边同时乘以﹣2L，得：﹣2LM＝d﹣D，
根据等式性质1，等式两边同时加D，得：d＝D﹣2LM，
故答案为：D﹣2LM．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质：
1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
21. 在公式S＝（a+b）h中，用含s，a，h的代数式表示b＝　﹣a　．
【点拨】由梯形面积公式表示出b即可．
【解析】解：由梯形面积公式S＝（a+b）h，得到b＝﹣a．
故答案为：﹣a．
【点睛】此题考查了等式的性质，表示出b是解本题的关键．
22. 在公式＝b中，b≠﹣1，如果b是已知数，那么a＝　　．
【点拨】先把等式两边同时乘以2+a，得1﹣a＝2b+ab，再在两边同时加﹣ab﹣1，得（﹣1﹣b）a＝2b﹣1，最后两边同时除以﹣1﹣b，得a＝．
【解析】解：根据等式性质2，等式两边同时乘以2+a，得1﹣a＝2b+ab，
根据等式性质1，等式两边同时加﹣ab﹣1，得（﹣1﹣b）a＝2b﹣1，
根据等式性质2，等式两边同时除以﹣1﹣b，得a＝．
【点睛】本题属简单题目，只要熟知等式的性质即可．等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．
23.已知t＝（a，b是常数，x≠﹣a）．①
（1）若a＝﹣2，b＝，求t；
（2）试将等式①变形成“Ax＝B”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式；
（3）若t的取值与x无关，请说明ab＝﹣1．
【点拨】（1）将a＝﹣2，b＝，代入t＝进行计算即可；
（2）根据等式的性质，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项即可；
（3）由t的取值与x无关可得b＝t，进而得到ta+1＝0，即ab+1＝0，得出结论．
【解析】解：（1）当a＝﹣2，b＝时，
t＝＝＝；
（2）将t＝两边都乘以（x+a）得，
t（x+a）＝bx﹣1，
去括号得，tx+ta＝bx﹣1，
移项得，tx﹣bx＝﹣1﹣ta，
两边都乘以﹣1得，bx﹣tx＝ta+1，
即（b﹣t）x＝ta+1，
∴A＝b﹣t，B＝ta+1；
（3）∵t的取值与x无关，
∴b﹣t＝0，即b＝t，
∴ta+1＝0，即ab+1＝0，
∴ab＝﹣1．
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是正确解答的前提．
24.若有公式M﹣d＝其中（L≠），利用等式的基本性质，用含有D，L，M的代数式表示d．
【点拨】根据等式的性质，将等式进行变形后可得出答案．
【解析】解：根据等式的性质2，等式M﹣d＝两边同时乘﹣2L，可得：2Ld﹣2LM＝d﹣D，
根据等式性质1，等式两边同时加2LM﹣d，可得：2Ld﹣d＝2LM﹣D，即（2L﹣1）d＝2LM﹣D，
根据等式的性质2，等式两边同时除以（2L﹣1），可得：d＝．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
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