第五章一次函数章节复习 讲义 2023-2024学年浙教版八年级数学上册期末复习

浙教版第五章一次函数章末复习讲义
要点一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
要点二、一次函数的相关概念
　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的图象
　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：
2、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）
要点诠释：
理解、对一次函数的图象和性质的影响：
（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
与相交；
，且与平行；
，且与重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图象.
要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　
方程（组）、不等式问题 函 数 问 题
从“数”的角度看 从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标
求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围
例题1(函数定义)、下列说法正确的是：（ ）
Ａ.变量满足，则是的函数；
Ｂ.变量满足，则是的函数；
Ｃ.变量满足，则是的函数；
Ｄ.变量满足，则是的函数.
【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）
例题2、（求自变量取值范围）求出下列函数中自变量的取值范围
例题3、（一次函数定义）下列函数中，一次函数是（　　）
A． B．y＝﹣2x C．y＝x2+2 D．y＝mx+n（m，n是常数）
变式1、若y＝（a﹣2）5是y关于x的一次函数，则a的值为　　．
例题4、（1）（一次函数图象）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（　　）
A．B．C． D．
（2）（一次函数性质）（2023上·浙江宁波·八年级校考期末）已知，是直线（b为常数）上的两个点，则 （填入“<”、“=”或“>”）．
变式1、若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．或
变式2、在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（ ）
A．B．C． D．
变式3．（浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）若一次函数（都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
变式4．（2023上·浙江宁波·八年级校联考期末）下列是对一次函数的描述：①y随x的增大而增大，②图像可由直线向上平移1个单位得到，③图像经过第二、三、四象限，④图像与坐标轴围成的三角形的面积为，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
变式4．在一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围为 ．
例题5、（特殊位置）已知直线y=ax+b与y=-2x+3平行，且与y轴的交点坐标是（0，5），则ab= ．
例题6、（待定系数法求解析式）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，求函数y的值；
（3）当-3＜y＜2时，求自变量x的取值范围．
例题7、（待定系数法求解析式）已知与x成正比例，且当时，．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）判断点是否在函数的图象上，并说明理由．
（3）当时m＜x＜m+1，y的最小值为4，求m的值．
变式1．（2021上·浙江宁波·八年级统考期末）已知与x成正比例，且当时，．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）判断点是否在函数的图象上，并说明理由．
（3）当时，y的最小值为4，求m的值．
例题8、（如图，直线l是一次函数的图象．
(1)求出这个一次函数的解析式．
(2)根据函数图象，直接写出时x的取值范围．
变式1、（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P(m，3)．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 ．
变式2．如图，直线与的交点的坐标为5，则关于x的不等式组的解集是 ．
变式3．如图，一次函数与的图像相交于点，若点的纵坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
例题9．（最值）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于y轴对称的，并写出顶点的坐标；
(2)求的周长；
(3)在x轴上求出点P坐标，使最小．
变式1．（最值问题2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点．
(1)填空：k＝　 ；b＝　 　；m＝　 　；
(2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
例题8．（一次函数的综合与面积有关的计算）如图，直线 y=3x+5与 x轴相交于点 A，与y 轴相交于点B，
（1）求A，B 两点的坐标；
（2）过点B 作直线BP 与x 轴相交于点P ，且使 OP=3OA，求的面积．
变式1．（2022上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，为直线上的动点，连接，，．
(1)求，两点的坐标．
(2)求证：为直角三角形．
(3)当与面积相等时，求点的坐标．
变式2．已知一次函数的图象经过点和.
(1)求该函数的表达式；
(2)若点是轴上一点，且的面积为10，求点的坐标.
例题9．（2022上·浙江宁波·八年级统考期末）如图所示，已知直线经过点，．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线与直线相交于点C，求点C的坐标；
(3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
实际问题
题型1-其它问题
1．小明爸爸将容量为升的小车油箱加满后，从家里出发去某地自驾游．行驶过程中，小车离目的地的路程千米与行驶时间小时的关系如图所示中途休息、加油的时间不计)．当油箱中剩余油量为升时，小车会自动显示加油提醒．设小车平均耗油量为升千米，请根据图象解答下列问题：
(1)求关于的函数关系式；
(2)当为何值时，小车开始显示加油提醒？
2．（2022上·浙江宁波·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），动点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，△OPA的面积为S．
(1)求S关于x的函数表达式和x的取值范围．
(2)求当S＝2时点P的坐标．
(3)OP+PA的最小值为 　 　．
题型2-最值问题
1．（2023上·浙江宁波·八年级校考期末）某中学八年级去年12月份举行了“智学杯”数学竞赛，购买笔记本和圆规作为奖品，笔记本和圆规的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需购买两种奖品的总数量为30个，并且购买笔记本的数量少于圆规数量的，但又不少于圆规数量的．设购买笔记本x本，买两种奖品的总费用为W元．
(1)写出W（元）关于x（本）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
(2)购买这两种奖品各多少时，费用少？最少的费用是多少？
2．为迎接“创城活动”，某市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元．
(1)每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
(2)需购买A、B两种型号的垃圾箱共30个，其中A型垃圾箱不超过16个，求购买垃圾箱的总费用w（元）与A型垃圾箱a（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？
3．我省要按照城市功能特点，城区消费到2022年，建设20个省内特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造郑州“夜商都”等地方夜消费品牌升级版．允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示：
甲商品 乙商品
进价（元/件） 35 5
售价（元/件） 45 8
小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售．设小王购进甲商品件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为元．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲，乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大？
题型3-方案问题
1．（随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
(2)求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
(3)洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
2．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）宁波市组织20辆卡车装运物资，，三种救灾物资共100吨到灾区安置点，按计划20辆车都要装运，每辆卡车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表格提供的信息，解答以下问题：
物资种类 物资 物资 物资
每辆卡车运载量（单位：吨） 6 5 4
每吨所需运费（单位：元） 120 160 100
(1)设装运物资的车辆数为，装运物资的车辆数为，求关于的函数表达式；
(2)若装运物资的车辆数不少于5，装运物资的车辆数不少于6，则车辆安排有哪几种方案？
(3)在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采取哪种方案进行运输？并求出最少运费．
题型4-行程问题
1．（2022上·浙江宁波·八年级期末）为了更好地亲近大自然，感受大自然的美好风光，小聪和小慧去某风景区游览，景区入口与观景点之间的路程为3千米，他们约好在观景点见面．小聪步行先从景区入口处出发，中途休息片刻后继续以原速度前行，此时小慧乘观光车从景区入口处出发，他们沿相同路线先后到达观景点，如图，分别表示小聪与小慧离景区入口的路程y（千米）与小聪离开的时间x（分）之间的关系．根据图像解决下列问题：
(1)小聪步行的速度是______（千米/分），中途休息______分钟；
(2)求小慧离景区入口的路程y（千米）关于小聪离开的时间x（分）的函数表达式；
(3)小慧比小聪早几分钟到达观景点？请说明理由．
2、（2022上·浙江宁波·八年级统考期末）已知甲、乙两物体沿同一条直线同时、同向匀速运动，它们所经过的路程与所需时间之间的函数表达式分别为和，图像如图所示。
(1)哪个物体运动得快一些？从物体运动开始，2秒以前谁先谁后？
(2)根据图象确定何时两物体处于同一位置？
(3)求，的值，并写出两个函数表达式．
3．（2022上·浙江宁波·八年级校考期末）甲、乙两人分别从A，B两地去同一城市C，他们离A地的路程（千米）随时间（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)A，B两地的路程为_______________千米；
(2)乙离A地的路程（千米）关于时间（时）的函数表达式是__________________．
(3)求当甲、乙两人在途中相遇时离A地的路程？