3.1 平方根
教学目标
1. 了解平方根、算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系．
2. 学会平方根和算术平方根的表示法和求非负数的平方根．
教学重难点
重点：平方根的概念和求法．
难点：平方根的概念和表示．
教学过程
一、创设情景，引人新课
引例 已知正方形边长为2cm，求正方形面积．
解：S＝22=4（cm）
已知一个数求这个数 ( http: / / www.21cnjy.com )的平方，用乘方运算．但已知一个数的平方，要求这个数，又该如何求得？符合这样条件的数有几个？该如何表示？这些问题都是这节课要学习的内容，提出课题——第三章 实数3．l平方根．
二、交流对话，探究新知
实际生活中也有与上述引例相反的问题．
变型 已知一个正方形的面积等于4 cm2，求它的边长．
解：设正方形边长为X，依题意有x2＝4．
∵22＝4，（－2）2＝4，∴满足 x2＝4的 x值可以是 2，也可以是-2，但正方形的边长不能是负数∴x＝2．
答：它的边长为2cm．
已知某数的平方要求这个数，用式 ( http: / / www.21cnjy.com )子来表示就应是：如果x2＝a，求x的值．这和我们一开始提出的问题，求一个已知数的平方正好是相反．要解决这样一个问题，就须在数学上引进一个新的概念——平方根．
如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根（也叫做二次方根）
如：22＝4，2是4的平方根；（-2）2=4，（-2）也是4的平方根．即 4的平方根是±2．
练习：1.请分别说出49， ，0的平方根．
2.-4有没有平方根，为什么？
通过以上练习，得出下列法则：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根
一个正数a的正平方根，用“”表示，读作“根号a”，“”是“2”的简写．根指数“2”省略不写；它的负平方根，用“一”表示，读作“负根号a”.合起来，一个正数a的平方根就用“±”表示，读作正、负根号a，其中a叫做被开方数.如4的平方根记做±
求一个数的平方根的运算叫做开平方．
问题：开平方和乘方运算是什么关系？
由此引出例1中平方根的求法，恰恰是利用了乘方运算是开平方的逆运算得出的.
例1 求下列各数的平方根：
（l）9 （2） （3）0.36 （4）
分析：如何求9的平方根？就是要求一 ( http: / / www.21cnjy.com )个数x，使x的平方等于9，即求满足x2＝9的x的数值．因为（±3）2＝9，故满足x2＝9的x的数值是3或-3，所以9的平方根是±3．
（2）（3）（4）仿照上面的方法，解题的格式与步骤教师板演.
强调：（l）9的平方根表示方法是±，而不是即不要写成=±3.
（2）带分数开平方时，要先把带分数化成假分数.
（3）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数，而不是一个．
做一做：P70 T1 、T2
T3判断正误，并且改错：
（1）100的平方根是10；
（2）非负数（正数和零统称非负数）一定有2个平方根；
（3）2的平方根是±.
学方根以后，我们知道一个正数的平方根有两个，0的平方根是0.那么我们把其中正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根．如3的算术平方根是 ，0的算术平方根是0，在数学上规定非负数a的算术平方根用符号表示，读作根号a．
提问：是否只有正数才有算术平方根.
由算术平方根的定义，可知（a≥0），即非负数的算术平方根一定是非负数；负数没有平方根，当然负数没有算术平方根.
例2 先说出下列各式的意义，再计算
（1） 2. 3.
分析：（1）225的平方根是±15，则225的算术平方根是15，即=15
解题过程可让学生口述，从而进一步巩固平方根和算术平方根的概念和表示法.
练习 求下列各式的值：
（l） （2）- （3） （4）-
（5）土 （6）土
分析：练习时要注意符号的正确使用，特别强调最后计算结果的符号与题目的符号要相对应．
三、梳理概括，形成结构（师生一起讨论得出）
（1）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；
（2）正数a的平方根的表示方法为±；它的算术平方根的表示方法为；
（3）求平方根时，应把被开方数中的带分数化为假分数．
四、变式练习，扩展新知
（1）什么数的平方根是它本身？
（2）课本练习题或ppt展示题
五、反馈评价，提示作业
教师引导学生小结本节所学的知识．（投影片显示）
（1）如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根；
（2）正数a的平方根有两个，它们的绝对值相等，符号相反，即它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；
（3）正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根；
（4）求一个数的平方根的运算叫做开平方，平方和开平方互为逆运算．
作业：课后作业题3.1 平方根
教学目标
知识目标：理解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系。
能力目标：学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题。
情感目标：学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主义观点。
教学重点和难点
重点：平方根的概念。
难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，是本节课的难点。
教学过程
创设情境，设疑引新
做一做：同学们，你能将手中两个相同的小正方形，剪一剪，拼一拼，拼成一个大正方形吗？
如果小正方形的边长是1，那大正方形的边长是多少呢？
（设疑之后，引导学生解决这个问题的本质，即求平方等于2的数是什么？）
随后，设计以下练习
一张正方形桌面的边长为1.2m，面积是多少？
一张正方形桌面的面积为1.44m2，边长是多少m？
第二小题即求一个数的平方等于1.44，这个数是多少？有了以上的铺垫，解决这一问题对于学生来说已是轻而易举，即轻松地引入课题。
（数学是人们对客观世界的定性把握和刻画， ( http: / / www.21cnjy.com )逐渐抽象、概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。）
师生互动，探究新知
（1）概念引入
由具体问题开始讲解：∵（±1.2）2=1.44
∴平方得1.44的数有两个是+1.2，
又边长不为负，因此为1.2m
于是说：∵（±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根
∵ （±2）2=4 ∴±2叫做4的平方根
∵ x = a ∴x叫做a的平方根
由学生在总结讨论中下定义，教师板书定义 （略）
（这样由具体到抽象，学生易于接受）
（2）概念巩固
比一比，看谁最聪明
如图，在左图和右图中的“？”表示的数
x x
在求问题的过程中，引导学生明确，左边的数是右边对应的数的平方根，并及时提问“有没有平方得负数的数？为什么？”
（3）平方根的性质和表示
学生通过讨论、交流得出平方根的性质：（展示）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）练习巩固，理解性质
下列各数是否有平方根，请说明理由
① （—3）2 ② 0 2 ③ —0.01
下列说法对不对？为什么？
①4有一个平方根
②只有正数有平方根
③任何数都有平方根
④若 a≥0，a有两个平方根，它们互为相反数
（5）平方根的表示法和求一个非负数的平方根
通过引导、交流、提出平方根的表示法、读法以及开平方的概念，然后设计以下练习巩固
例1 求下列各数的平方根
（1）9 （2） （3）0.36 （4）
（注明：（1）带分数作被开方数应化成假分数 （2）不能出现
运用新知，体验成功
（1）课本练习 1 2
（2）算术平方根的概念与表示、读法
例2 先说出下列各式的意义，再计算
1. 2. 3.
探究模型，领会思想
再次探究开头提出的模型，估计的值在哪两个整数之间
（充分应用直观模型，感觉数形结合思想）
反馈小结，布置作业
（1）引导小结如下：
本节课你学习了哪些知识？在探索知识的过程中，你用了哪些方法？对你今后的学习有什么帮助？
①知识方面：这节课我们学方根、算术平方根的概念、表示方法、求法及平方根性质。
②思维方法：平方运算和开平方运算互为逆运算，可以互相检验。
③探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊，是发现问题和解决问题的基本方法和途径。
④用定义解决问题也是常用方法和有力工具。
（2）布置作业
（ A组必做，B组分层要求）
-8
8
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0．36
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