3.2 实数教学设计
一、教材分析
1、教材的地位与作用
《实数》是浙教版义务教育课程标准实验教科 ( http: / / www.21cnjy.com )书数学七年级上册第三章的一节概念课。本节课在学生学方根以后，通过学生合作探究，揭示出中像 、π等无限不循环小数的存在，从而引入了无理数的概念，使学生把数的概念从有理数扩展到实数，对今后的数学学习有着非常重要的意义，并且是同学们进一步学习方程、函数等知识的基础。
另外，无理数的引入，数集的扩充的教学中充满 ( http: / / www.21cnjy.com )着对立与统一的辨证关系，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过这节课的学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯。
2、教学目标
依据本节教材的特点，并结合学生的年龄特点和认知水平，确定本节课的教学目标：
知识目标——让学生了解无理数，实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应，初步学会实数的大小比较，能对实数的分类进行初步的辩认。
能力目标 ——了解实数的分类，培养学生初步分类意识；用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的数学思想方法。
情感目标——通过合作探究，让学生经历无理数 ( http: / / www.21cnjy.com )的产生过程；并向学生渗透“数形结合”及分类的数学思想，感受人类（特别是我国古代）在数的发展研究中的伟大成就，从中得到启发和教育。
3、教学重点和难点
本节教学的重点是无理数、实数的概念以及实数与数轴上的点一一对应。
无理数的概念比较抽象,如 等无理数在数轴上的表示，需要比较复杂的几何作图，是本节教学中的难点。
二、教学方法和手段
本节课通过创设问题情境，引 ( http: / / www.21cnjy.com )导学生回顾认识数的过程，通过合作探索，经历无理数的产生过程，精心设问，适时、适度采用激励性语言，提高学生学习积极性，从而较好地完成实数概念的建构，达到教学目标。
并结合计算器、多媒体、实物投影仪等现代教学手段实施教学，体现直观性。
三、学法指导
学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探 ( http: / / www.21cnjy.com )索、发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力。恰如其分的问题设计，真正的让学生进行探究，突出学生教学主体的地位。
四、教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
创 设情 境提 出问 题 今天，这堂课老师要跟大家一起再次探究一下数这个王国。首先请同学们回顾一下我们认识数的过程？生活中是否只有有理数呢？ 思考，回顾、讨论并回答，归纳出 通过回顾认识数的过程，让学生体会到 ( http: / / www.21cnjy.com )数的概念产生于实际需要并在实践中得到发展，也尊重了学生已有的知识与经验，为新知识引入作好辅垫，这就体现了新课标所倡导的学生学习过程是一种自我建构，自我生成的过程。
尝 试探 索 讲述古希腊数学家希伯索斯，因提出无理数的发现而被抛进大海的曲折离奇的经历。合作学习：1、利用这个面积为4的正方形,你能否折出面积为1的正方形呢 2、在第1小题的基础上，你能否折出一个面积为2的正方形呢 此时这个正方形的边长为多少？ 问： 到底是多少？介绍估算的方法。利用EXCEL来估计 的值。 感慨、质疑 21学生思考、 动手、讨论。学生代表展示成果， 发言。 1 1思考、讨论、探索解决问题的方法。小组合作、讨论、猜想 激发学生学习的欲望，并感受数学家的 ( http: / / www.21cnjy.com )献身精神。通过学生动手，发现 ，让学生体验 是切切实实存在的，并为后面在数轴上表示 作好铺垫，分解难点。在教学中用亲切的语言鼓励学生猜想 的值，有利于提高学生的学习兴趣。通过计算机计算辅助功能，让学生亲身体验到无理数是怎样的一个数，还让学生学会了求无理数的近似值的方法。
解 析问 题 用上述方法得出一系列越来越接近 的近似值，=1.414213562373095…问：同学们，在这个探究活动中，你体验到了什么？问： 是有理数吗？引导学生用小数的观点来看每一个有理数。引导学生发现 是有理数以外的数，从而引出无理数的概念。 思考、讨论体验到 既不是有限小数，也不是无限循环小数像 这种无限不循环小数叫做无理数。 此环节旨在让学生经历无理数的概念的产生过程，感受无理数的无限不循环的特征，体验有理数与无理数的本质区别。
剖 析概 念扩 展数 集 这样的无理数大有存在。（1）提出大家接触过圆周率π。简介有关π的数学材料。（2）提出像 这样开方开不尽的数。 （3）指出有规律但不循环的数。请同学每人例举四个无理数，同桌交换判断正误。指出这些数的共同特点是无限的不循环小数。从学生的例举，引导学生发现无理数也有正负之分。无理数的产生，又一次扩大数的范围。有理数和无理数统称实数。师生共同完成实数分类表 观察、了解思考、讨论并例举如－=－1.7320508…，1.010010001…（两个1之间依次多一个0）,-等等。同桌合作，交流 明确：分类可以有不同的方法，但每一种方法都要有根据同一标准，做到既不重复也不遗漏。 让学生感受人类（特别是我国古代）在数的发展研究中的伟大成就，从中得到启发与教育。这里利用已有的知识与经验同化和引出当前要学习的知识，使学生始终处于积极的思维，这是符合建构主义理念，也有利于本节课重点的突出，难点的突破。
课 堂练 习反 馈调 控 出示练习：,π,0,3.14,-,0.3,-,8.131,,中,属于有理数的有： 属于无理数的有： 属于实数的有： 学生口答，讨论纠正错误 遵循教材安排，根据实际情况设计练习题以随时反馈教学效果。
探 究归 纳 出示练习：（1）-的相反数是 ；的相反数是 。（2）= ；= 。（3）一个数的绝对值是π，则这个数是 。学生回答给予积极性评价 自主学习并口答：与- ，π与-π的关系则= =归纳出：在实数范围内，相反数和绝对值的概念，同样适用。 通过学生的自主学习完善知识系统。
发 展能力 出示例题例：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号连接）巡视、个别辅导引导学生要注意，1、数轴的单位长度要取适当的长度2、引导学生在数轴上的几何作图3、π在数轴上表示取它的近似值最后通过上例，借助计算机的辅助功能，问：同学们在实数与数轴上的点之间存在怎样的一种关系？ 合作学习与自主学习相结合解（略）思考、讨论师生共同归纳在实数范围内、每一个数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，我们就说实数和数轴上的点一一对应。在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 通过例题及计算机的辅助功能，比较容易的让学习了解了实数与数轴上的点一一对应，这样的设计是突破难点的较佳途径。
想一想：判断下列说法是否正确，并说明理由。①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的积一定是无理数；③两个无理数的商可能是有理数。试一试：你能在数轴上表示出-吗？ 巡视，个别辅导、展示练习并给予积极评价。 阅读题目、思考。合作学习与自主学习相结合，探索解决问题的方法。 这里设计是为了拓展一些有特殊数学需求的学生的数学思维，增强他们的自主探究、实践能力。
回顾小结布置作 业 谈一谈本节课你有何收获？出示作业：1、必做题：课本第74页A组、B组题2、选做题，课本第74页C组题。 讨论、整理、口答相互补充。思考、自我评价、记录 以问题的形式出现引导学习思考、交流、梳理所学 ( http: / / www.21cnjy.com )知识，建立起符合自身认识特点的知识结构。为学生设计了两类作业，其中“必做题”属于基本要求，面向全体学生，巩固新知识，新方法，加深理解，“选做题”面向有特殊数学学习需求的学生，给他们一定的时间和空间，相互合作，自主探究、拓展学生数学思维，增强实践能力。
正整数
整数 零
有理数 负整数
正分数
分数
负分数
正有理数
有理数 零
实数 负有理数
正无理数
无理数
(无限不循 负无理数
环小数)3.2 实数
教学目标
1、从感性上认可无理数的存在，并通过 ( http: / / www.21cnjy.com )探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系.
2、让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法.
3、培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点.
重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数.
难点：理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系.
教具准备： 多媒体，投影仪
教学过程
1、复习旧知，揭示矛盾，引入概念
回顾书本知识，复习前面所学的有理数的分类，既然在1与2之间就不是整数，也不是分数，因为如果是分数的话它的平方也应是分数，也就是说 不是有理数，但由此题可知确实是存在的，同时π也是如此.
出现矛盾以后，本课以为例，从开始，来探索无理数的特征，学习实数.
2、联系实际创设问题情境
如果你是布料销售店的售货员，假设我要买剪米布，你将会给我剪多少比较合适？学生能从图3-2中估计在1与2之间，引导学生借助计算器进行合作学习：根据1＜＜2，确定√2=1.…确定小数点后第一位数计算1.12 ，1.22 1.32，1.42，1.52 1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2 就不必再算下去了，很明显1.4＜＜1.5 .也有学生可根据以往经验马上由1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2得到1.4＜＜1.5.
根据以上得：=1.4…再求下一位，计算1.412 ，1.422 等 =1.41… 到此为止，能解决上面问题，大约剪1.4 米 或1.41米就可以了.继续探索特征，得到无理数概念.
以上得到的1.4，1.41仅是的近似值，究竟是多少？在解决此问题后， 又出现了新疑点.这样激发学生沿着以上思路继续合作学习，结合书本P72的表格，探索特征.再问：通过以上的探索同学们有什么感受？体验到了什么？学生能在对有理数的已有认知的基础上，知道确实不同于前面所学的有理数，总结的特征：无限、不循环，得到无理数的概念.
(以上学生合作探索特征的过程，让学生体验无理数是怎样一个数，同时掌握求无理数近似的方法.)
3、说出无理数，巩固对无理数的理解
掌握用有理数逐步逼近无理数，从而求出无理数近似值的方法.
讲述故事，介绍无理数的来历
师问：当你们看到“有理数”与“无理数”这两个词时，你们的第一感觉是怎么理解的？ 有生会答：“有道理的数”与“无道理的数”.
(教师简单说明无理数的来历，培养学生勇于发现真理的科学精神)
问：听故事后你们有什么看法，你认为他们根本的区别在哪里？
教师小结：“无理数”和“有理数”仅是名 ( http: / / www.21cnjy.com )称而已，据说是清朝末年从日本引进时，翻译的讹误，因此不能从词义上理解，它们根本的区别，就是凡是有理数，都可以化成两个整数之比(可看成一个分数)，而无理数，无论如何也不能化成两个整数之比(不能化为分数)，从而突破本课的难点.
4、例题精讲
例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接).
(数形结合，突破难点，深化理解，前面我们从数本身的特征上探讨了数除了有理数外还有无理数，例题我们再利用数轴来进行说明.)
5、练习讨论，反馈调整，巩固概念
练习：判断下面的语句对不对？并说明判断的理由.
①无限小数都是无理数；
②无理数都是无限小数；
③带根号的数都是无理数；
④有理数都是实数，实数不都是有理数；
⑤实数都是无理数，无理数都是实数；
⑥实数的绝对值都是非负实数；
⑦有理数都可以表示成分数的形式.
(通过练习巩固实数概念，分析实 ( http: / / www.21cnjy.com )数的分类，弄清带根号的数并不都是无理数，无理数指的是无限不循环小数，不能化为分数的数，这才是它的本质特征，明白数的范围扩大后相反数、绝对值的意义仍不变.)
6、课后作业
课本作业题
实数 (课堂或课下练习)
判断下列说法是否正确 并说明理由.
(1)无理数是开方开不尽的数.
(2)9=±3.
(3)实数都有平方根.
(4)0.415926可以用分数表示.
(5)有理数与数轴上的点一一对应.
选择题：
(1)对实数进行分类，不正确的是( )
A.实数 有理数 无理数 B.实数有限小数 无限循环小数 无限不循环不数
C.实数 小数 分数 D.实数正实数0负实数
(2)下列说法错误的是( )
A.3是无理数 B.3是3的算术平方根
C.3等于1.732 D.3是实数
(3)下列判断中，错误的是( )
A.两个实数之间有无数个实数
B.两个有理数之间有无数个有理数
C.两个无理数之间有无数个无理数
D.两个整数之间有无数个整数
填空：
把下列各数分别填在相应的括号内：0.32，－5，233，－π3，16，3 －9，0.121
5926……，－512，0，8，0.46.
整数( ) ，分数( )，有理数( )，
无理数( )，实数( ).
