3.3 立方根 学案
学习目标：
1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根
2、能用立方运算求出某些数的立方根
3、在学方根的基础上，学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，学会类比思想
4、区分立方根与平方根的不同
旧知识回顾（组长批改）：
平方根的定义
探究活动一（组长批改）：立方根的概念
若正方形的棱长为a，体积为8，由正方形的体积公式得，那么a叫做8的什么？
问题1：请大家根据平方根的概念和写法来推导一下立方根的概念与写法？
探究活动二：立方根的性质
问题2：2的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是8？
-3的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是-8？
0的立方等于多少？0有几个立方根？
问：1）从刚才的讨论中总结一下，正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？
问：2）立方根等于它本身的数有哪些？
探究活动三：知识综合应用探究
立方根的表示和计算
求下列各数的立方根：
（1）27 （2）-27 （3） （4）-0.064 （5）0
例2、 计算：（1） ； （2）
巩固练习
（1）-0.027 （2） （3）343
探究活动四：
平方根与立方根的区别与联系（小组讨论）
基础自测：
1、判断题
（1）4的平方根是2 （ ）
（2）-8没有立方根 （ ）
（3）8的立方根是（ ）
（4）-8的立方根是-2 （ ）
2、下列说法正确的是（ ）
A、一个正数的平方根和立方根都只有一个
B、零的平方根和立方根都是零
C、1的平方根和立方根都等于它本身
D、一个数的立方根与其自身相等的数只有-1
3、若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（ ）
A、4 B、 C、2 D、
4、若=0.2，则=
5、-8的立方根与9的算术平方根的积是
能力提升
6、、、中的a的取值范围分别是多少？它们分别表示什么？
参考答案：
1、×，×，×，√
2、B
3、A
4、0.008
5、-6
6、中a是任意实数，表示-a的立方根；
中a≤0，表示-a的算术平方根；
中a≥0，表示a的算术平方根的相反数.[教学设计]
3.3 立方根
教材与学生的认知起点分析
“立方根”是浙教版七年级上册第三章“实数 ( http: / / www.21cnjy.com )”中的第三小节，它是在学生知道了无理数、算术平方根、平方根、开平方运算的概念基础上学习的.教材从实际问题引入立方根的概念，说明学习数的立方根的意义.通过具体数的计算，让学生体会，一个数的立方根的唯一性.虽然这一节在实数一节之后，但仍起着加深对实数的认识的作用.在实数范围内进行开立方的运算，无论从认知的角度，还是从表述的角度，都较为方便.
教学目标
知识与技能：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，并能用立方根运算求某些数的立方根
教学思考：创设问题情境，学生进一步发展对数学知识的抽象概括力.
解决问题：通过学生的积极参与培养学生独立思考的能力，提高数学表达和运算能力.
情感态度与价值观：在参与数学学习活动中，不断培养合作交流的良好习惯.
教学重点
本节重点是立方根的意义、性质.
教学难点
本节难点是立方根的求法，立方根与平方根的联系及区别.
教学过程
一、创设情境
电脑显示一个魔方
师：你们喜欢玩魔方吗？这是由8个同样大小的 ( http: / / www.21cnjy.com )单位立方体组成的魔方，这8个小立方体可以重新排列，组成魔方表面的各种不同的美丽图案.现在要做一个体积为8cm3的立方体魔方，它的棱要取多少长？你是怎么知道的？
生：思考后回答.
设计意图：从熟悉的事物引入立方根概念，说明学习立方根的意义.
师：体积为27 cm3和体积为1000 cm3的立方体的棱又是要取多少长呢？
生：思考、讨论后回答.
电脑演示：
设计意图：为概念引入作准备并渗透从个别到一般的规律.
二、讲授新课
师：让学生在平方根基础上试述立方根概念.
设计意图：渗透学生的类比思想和语言表达能力.
师（总结）：一般地，一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做a的三次方根），记做.如：，则2叫做8的立方根，即；，则是的立方根，即.其中a是被开方数，3是根指数，符号读做“三次根号”.
师：针对前面几个例子，由学生说出27和1000的立方根，并分别指明它们的被开方数和根指数.
生：举例再说明.
设计意图：巩固学生对概念的理解，并让学生了解开立方与立方互为逆运算.
三、例题精讲
例1 求下列各数的立方根：
（1）27； （2）； （3）； （4）； （5）0
解：（1）因为，所以27的立方根是3，即.
（2）因为，所以的立方根是，即.
（3）因为，所以的立方根是，即.
（4）因为，所以的立方根是，即.
（5）因为，所以0的立方根是0，即.
生：总结解题方法和在过程中需要注意的问题.
师：强调（1）求立方根用到立方运算.（2）负数的立方根注意符号.
设计意图：此练习着眼于弄清立方根的概念,因 ( http: / / www.21cnjy.com )此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法,学生在熟悉以后可以简化写法.
四、议一议
电脑出示：
（1）一个正数有几个立方根？是正是负？为什么？
（2）是否任何负数都有立方根？如有，有几个？是正是负？
（3）0的立方根是什么？
生：小组讨论交流.
师：引导各小组进行举例、猜想.可提示学生联系上面的“练一练”思考这些问题.
师：（板书结论）每个数a都只有一个立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.任意数a的立方根可表示为“”，读做“三次根号a”
设计意图：通过具体的举例计算，让学生感受到一个数的立方根的唯一性，在小组合作交流中发展自主探索知识的能力.
五、做一做
例2 计算：（1） ； （2）
解：（1） （2）
设计意图：为了进一步提高学 ( http: / / www.21cnjy.com )生的计算能力，此题目相对复杂点，题（2）中同时出现立方根和平方根，突出了立方根和平方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系.）
六、挑战自我
问题：表示a的立方根，那么等于什么？呢？
分析：应抓住立方根的定义去分析，如果，那么x就是a的立方根，即，所以.同样，根据定义，是a的三次方，所以的立方根就是a，即.
设计意图：深化所学内容，发展学生抽象思维能力和归纳总结能力.
七、体验一刻
分别求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）
评析：鼓励学生利用“想一想”中公式：，直接进行计算.
设计意图：通过练习，使学生熟悉并掌握这两条公式，提高解决问题的能力.
八、开心乐园——抢答竞赛
规则：全班分成四大组，每组有个记分人，那组人先举手先发言，并要说明问题的原因，答对加1分，答错减一分，最终获胜一组给予鼓励.
电脑陆续放题：
1、 判断正误：（1）的立方根是
（2）负数不能开立方
（3）4的平方根是2
（4）的立方根是
（5）负数有一个平方根
（6）0的立方根是0
2、 口算： （1）1的立方根是＿＿＿
（2）的立方根是＿＿＿
（3）的立方根是＿＿＿
（4）＿＿＿
（5）＿＿＿
（6）＿＿＿
设计意图：培养学生团结协作精神及竞争意识，同时巩固了本节的教学内容.
九、归纳小结
先由学生小结，再有教师归纳：
1、 符号中的根指数“3”不能省略.
2、对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根.
3、平方根和立方根的区别：（1）正数有两个平方根，但只有一个立方根；（2）负数没有平方根，但却有一个立方根.
4、灵活运用公式：（1）；（2）；（3）
5、 立方与开立方也互为逆运算.我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根.
十、布置作业
教材79页A组和B组.3.3 立方根
教学目标：
（1）了解立方根和开立方的概念，掌握立方根的性质.通过实例经历立方根概念的产生过程.
（2）会用根号表示一个数的立方根.
（3）能用开立方运算求数的立方根，体会立方与开立方运算的互逆性.
教学难点重点：
难点：立方根的求法，立方根与平方根的联系及区别.
重点：是立方根的概念和开立方运算.
教学过程
创设情境，讲授新课
现在要做一个体积为8cm3的立方体模型，它的棱要取多少长？你是怎么知道的？
让学生在平方根基础上试述立方根概念，然后由教师总结.
总结：一般地，一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做a的三次方根），记做.如：，则2叫做8的立方根，即；，则是的立方根，即.其中a是被开方数，3是根指数，符号读做“三次根号”.（符号中的根指数“3”不能省略）
例题讲解
例1 求下列各数的立方根：
（1）27； （2）； （3）； （4）； （5）0 ;
解：（1）因为，所以27的立方根是3，即.
（2）因为，所以的立方根是，即.
（3）因为，所以的立方根是，即.
（4）因为，所以的立方根是，即.
（5）因为，所以0的立方根是0，即.
总结解题方法和在过程中需要注意的问题.
强调：（1）求立方根用到立方运算.（2）负数的立方根注意符号.
例2 计算：（1） ； （2） ；
解：（1） （2）
通过例题的学习，回答问题：
（1）一个正数有几个立方根？是正数还是负数？为什么？
（2）是否任何负数都有立方根？如有，有几个？是正数还是负数？
（3）0的立方根是什么？
引导学生讨论、交流，教师再总结：每一个数a都只有一个立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.任意数a的立方根可表示为“”，读做“三次根号a”
随堂演练
1、比较-4、-5、-的大小.
2、当 时，有意义；当 时，有意义.
3、判断正误：
（1）的立方根是 （2）负数不能开立方 （3）4的平方根是2
（4）的立方根是 （5）负数有一个平方根 （6）0的立方根是0
4、解方程：
（1） （2） （3）
5、已知，且，求的值.
归纳小结，布置作业
以提问的方式，先由学生小结，再有教师归纳：
1、通过本节课的学习你获得了那些知识？
2、你能总结出平方根和立方根的异同点吗？
教师归纳：
（1）立方根的定义.
（2）立方根的性质：（1）；（2）；（3）
（3）立方与开立方也互为逆运算.我们可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根.
（4）平方根和立方根的区别与联系：
相同点：（1）0的平方根、立方根都有一个是0；（2）平方根、立方根都是开的结果.
不同点：（1）定义不同：（2）平方根和立方根的个数；（3）表示方法不同；（4）被开方数的取值范围不同.
3、作业：课本作业题
创新提升
1、观察下列各式是否成立,你能从中找到什么结论,并证明你的结论.
（1）=2
（2）=3
（3） =4
（4）=5
探究拓展（选做）
2、设1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且
=++,求的值.
参考答案
1、7=8-1=23-1 26=27-1=33-1 63=64-1=43-1 124=125-1=53-1
∴ 猜测=n(n=1,2,3,……)
∵====n·
2、令1995x3=1996y3=1997z3=k,k≠0,则1995=,1996=,1997=,
故=++,
即 =.
