浙教版数学作业本九年级上册①1.3二次函数的性质
一、基础练习
1．关于二次函数y= (x-2)2+3的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ）
A．当x=2时，y有最大值3 B．当x=-2时，y有最大值3
C．当x=2时，y有最小值3 D．当x=-2时，y有最小值3
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数y= (x-2)2+3，
∴a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x=2时，y有最小值为3.
故答案为：C
【分析】利用a＞0，可知抛物线的开口向上，此时函数有最小值，利用函数解析式可得答案.
2．已知点(-1，y1)，(3，y2)，(，y3)都在函数y=x2+2x+4的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y2>y3>y1 D．y3>y1>y2
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+2x+4=（x+1）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x＞-1时随x的增大而增大，
∵3＞＞-1，
∴ y2>y3>y1，
故答案为：C.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴为直线x=-1，同时可得到抛物线的开口向上，利用二次函数的增减性可知当x＞-1时随x的增大而增大，然后比较三个点的横坐标大小，可得到y1、y2、y3的大小关系.
3．求二次函数y=x2-3x的图象与x轴的交点坐标，
【答案】解：当y=0时，
x2-3x=0，
解得：x=0或3，
故二次函数y=x2-3x的图象与x轴的交点坐标为（0，0）和（3，0）.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到抛物线与x轴的交点坐标.
4．已知二次函数y=x2-x-4．
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出该函数的大致图象．
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？求出函数的最大值或最小值.
【答案】（1）解：将化为，
∴顶点坐标为(1，)，对称轴为直线x= 1，
令y=0，得-x2-x-4= 0，
解得x1 =-2，x2=4，
所以二次函数与x轴的交点坐标是(-2， 0)，(4， 0)，
令x=0，则y= -4，
所以二次函数与y轴的交点坐标是(0， -4)，
二次函数y=x2-x-4的大致图象，如图所示：
（2）解：由图象可知，x≥1时，y随x的增大而增大，
x < 1时，y随x的增大而减小，
当x = 1时，y最小值是.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标及对称轴；再由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到抛物线与x轴的交点坐标；然后由顶点坐标及与x轴的交点坐标画出函数图象.
（2）利用抛物线的对称轴及开口方向，可得到函数的增减性及最值.
二、综合运用
5．根据下列条件，分别求二次函数的表达式．
（1）已知二次函数的图象经过点(-2，-1)，且当x=-1时，函数有最大值2；
（2）已知二次函数图象的对称轴是直线x=1，与坐标轴交于点(0，-1)，(-1，0)．
【答案】（1）解：依题意得，二次函数的顶点是(-1，2)，
因此设这个二次函数为y=a(x+1)2+2 (a≠0)，
把x=-2，y=-1代入表达式得
-1 =a(-2+1)2+2
解得：a =-3，
所以这个二次函数表达式是y= -3(x + 1)2+ 2.
（2）解：设二次函数的表达式为y= ax2 +bx +c(a≠0)
由于经过点(0，-1)，所以c= -1
再将x = -1，y= 0代入得：
0=a-b- 1
化简得a-b= 1①
又∵对称轴是直线x = 1
∴，即b= -2a②
由①②组成方程组解得，，
故二次函数表达式是.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用已知当x=-1时，函数有最大值2，可得到抛物线的顶点坐标为（-1，2），因此设函数解析式为顶点式，再将点（-2，-1）代入可得到函数解析式.
（2）设二次函数的表达式为y= ax2 +bx +c(a≠0)，利用点（0，1），可求出c的值，再根据（-1，0），可得到a-b=1，利用抛物线的对称轴，可得到b=-2a，由此求出a，b的值，即可得到函数解析式.
6．已知抛物线的对称轴是直线x=2，顶点在直线y=x-1上，并且经过点(3，-8)．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）若点(1，y1)和(4，y2)都在这条抛物线上，试判断y1、y2的大小关系．
【答案】（1）解：由题意得，将x=2代入直线y=x-1上得，
y=2-1=1，
则抛物线的顶点坐标为（2，1），
设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2+1，
将点(3，-8) 代入抛物线得，
-8= a(3-2)2+1，
解得：a=-9，
则抛物线的解析式为：y=-9(x-2)2+1
（2）解：分别将点(1，y1)和(4，y2)代入y=-9(x-2)2+1中得：
y1=-9(1-2)2+1=-8，
y2=-9(4-2)2+1=-35，
所以y1＞y2.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）利用已知抛物线的对称轴是直线x=2，顶点在直线y=x-1上，可得到抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再将点（3，-8）代入函数解析式，可求出抛物线的解析式.
（2）分别将x=1和4代入函数解析式，可得到对应的y1、y2的值，然后比较大小即可.
7．如图，小明的爸爸在相距4m的两树等高位置处拴了一根绳子，绳子自然下垂呈抛物线.已知身高1.5m的小明站在距离树1m的地方，头部刚好触到绳子.按图示建立直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式和自变量的取值范围.
（2）求绳子最低点离地面的距离.
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y= ax2 +bx +c，
由题意可知：抛物线经过点（0，2.5），（1，1.5），（4，2.5），
则有，
解得：，
则抛物线的解析式为：y= x2x +2.5
（2）解：将x=2代入得：y= +2.5=，
答：绳子最低点离地面的距离是.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为：y= ax2 +bx +c，分别将已知的三点坐标代入，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，即可得到函数解析式.
（2）利用已知可知，只需求出当x=2时的y的值，可得到绳子最低点离地面的距离.
1 / 1浙教版数学作业本九年级上册①1.3二次函数的性质
一、基础练习
1．关于二次函数y= (x-2)2+3的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ）
A．当x=2时，y有最大值3 B．当x=-2时，y有最大值3
C．当x=2时，y有最小值3 D．当x=-2时，y有最小值3
2．已知点(-1，y1)，(3，y2)，(，y3)都在函数y=x2+2x+4的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y2>y3>y1 D．y3>y1>y2
3．求二次函数y=x2-3x的图象与x轴的交点坐标，
4．已知二次函数y=x2-x-4．
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出该函数的大致图象．
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？求出函数的最大值或最小值.
二、综合运用
5．根据下列条件，分别求二次函数的表达式．
（1）已知二次函数的图象经过点(-2，-1)，且当x=-1时，函数有最大值2；
（2）已知二次函数图象的对称轴是直线x=1，与坐标轴交于点(0，-1)，(-1，0)．
6．已知抛物线的对称轴是直线x=2，顶点在直线y=x-1上，并且经过点(3，-8)．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）若点(1，y1)和(4，y2)都在这条抛物线上，试判断y1、y2的大小关系．
7．如图，小明的爸爸在相距4m的两树等高位置处拴了一根绳子，绳子自然下垂呈抛物线.已知身高1.5m的小明站在距离树1m的地方，头部刚好触到绳子.按图示建立直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式和自变量的取值范围.
（2）求绳子最低点离地面的距离.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数y= (x-2)2+3，
∴a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x=2时，y有最小值为3.
故答案为：C
【分析】利用a＞0，可知抛物线的开口向上，此时函数有最小值，利用函数解析式可得答案.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+2x+4=（x+1）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x＞-1时随x的增大而增大，
∵3＞＞-1，
∴ y2>y3>y1，
故答案为：C.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴为直线x=-1，同时可得到抛物线的开口向上，利用二次函数的增减性可知当x＞-1时随x的增大而增大，然后比较三个点的横坐标大小，可得到y1、y2、y3的大小关系.
3．【答案】解：当y=0时，
x2-3x=0，
解得：x=0或3，
故二次函数y=x2-3x的图象与x轴的交点坐标为（0，0）和（3，0）.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到抛物线与x轴的交点坐标.
4．【答案】（1）解：将化为，
∴顶点坐标为(1，)，对称轴为直线x= 1，
令y=0，得-x2-x-4= 0，
解得x1 =-2，x2=4，
所以二次函数与x轴的交点坐标是(-2， 0)，(4， 0)，
令x=0，则y= -4，
所以二次函数与y轴的交点坐标是(0， -4)，
二次函数y=x2-x-4的大致图象，如图所示：
（2）解：由图象可知，x≥1时，y随x的增大而增大，
x < 1时，y随x的增大而减小，
当x = 1时，y最小值是.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标及对称轴；再由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到抛物线与x轴的交点坐标；然后由顶点坐标及与x轴的交点坐标画出函数图象.
（2）利用抛物线的对称轴及开口方向，可得到函数的增减性及最值.
5．【答案】（1）解：依题意得，二次函数的顶点是(-1，2)，
因此设这个二次函数为y=a(x+1)2+2 (a≠0)，
把x=-2，y=-1代入表达式得
-1 =a(-2+1)2+2
解得：a =-3，
所以这个二次函数表达式是y= -3(x + 1)2+ 2.
（2）解：设二次函数的表达式为y= ax2 +bx +c(a≠0)
由于经过点(0，-1)，所以c= -1
再将x = -1，y= 0代入得：
0=a-b- 1
化简得a-b= 1①
又∵对称轴是直线x = 1
∴，即b= -2a②
由①②组成方程组解得，，
故二次函数表达式是.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用已知当x=-1时，函数有最大值2，可得到抛物线的顶点坐标为（-1，2），因此设函数解析式为顶点式，再将点（-2，-1）代入可得到函数解析式.
（2）设二次函数的表达式为y= ax2 +bx +c(a≠0)，利用点（0，1），可求出c的值，再根据（-1，0），可得到a-b=1，利用抛物线的对称轴，可得到b=-2a，由此求出a，b的值，即可得到函数解析式.
6．【答案】（1）解：由题意得，将x=2代入直线y=x-1上得，
y=2-1=1，
则抛物线的顶点坐标为（2，1），
设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2+1，
将点(3，-8) 代入抛物线得，
-8= a(3-2)2+1，
解得：a=-9，
则抛物线的解析式为：y=-9(x-2)2+1
（2）解：分别将点(1，y1)和(4，y2)代入y=-9(x-2)2+1中得：
y1=-9(1-2)2+1=-8，
y2=-9(4-2)2+1=-35，
所以y1＞y2.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）利用已知抛物线的对称轴是直线x=2，顶点在直线y=x-1上，可得到抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再将点（3，-8）代入函数解析式，可求出抛物线的解析式.
（2）分别将x=1和4代入函数解析式，可得到对应的y1、y2的值，然后比较大小即可.
7．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y= ax2 +bx +c，
由题意可知：抛物线经过点（0，2.5），（1，1.5），（4，2.5），
则有，
解得：，
则抛物线的解析式为：y= x2x +2.5
（2）解：将x=2代入得：y= +2.5=，
答：绳子最低点离地面的距离是.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为：y= ax2 +bx +c，分别将已知的三点坐标代入，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，即可得到函数解析式.
（2）利用已知可知，只需求出当x=2时的y的值，可得到绳子最低点离地面的距离.
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