(共28张PPT)
2.1.2直线与圆的位置关系
浙教版九年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1.理解切线的判定定理，并能初步运用它解决简单的问题.
2.知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择.
3.掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法.
新知导入
下雨天，你快速转动雨伞时，雨水飞出的情景你看见过吗？工人师傅用砂轮打磨工件飞出火星的情景见过吗？
思考下雨点和火星运动的轨迹与转动的“圆” 有怎样的关系？
新知讲解
按照下述步骤作图：
如图，在⊙O上任取一点A．连结OA．过点A作直线l⊥OA．
思考以下问题（可与你的同伴交流）：
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系？
（2）直线l与⊙O的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现什么？
新知讲解
解：（1）圆心O到直线l的距离等于圆的半径长．
（2）直线l与⊙O相切，根据d＝r 直线与⊙O相切．
（3）经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
归纳总结
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
圆的切线的判定定理
∵AT⊥OA，且OA为⊙O的半径，
∴AT是⊙O的切线.
几何语言表示：
·
O
A
T
必须同时满足
归纳总结
判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：
定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
l
A
l
O
l
r
d
典例精析
例1 已知：如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC，∠A=30°.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连结OB.
∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°，
∴∠OBC=∠C=∠A=30°，
∴∠AOB=∠C+ ∠OBC =60°，
∵∠ABO=180°-(∠AOB+∠A)=180°-(60°+30°)=90°，
∴AB⊥OB，
∵OB是半径
∴AB是⊙O的切线
·
O
C
A
B
新知讲解
1.有交点，连半径，证垂直
变式1 直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.
求证:直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC，如图，
∵ OA=OB，CA=CB，
∴OC丄AB，
∴直线AB是⊙O的切线
新知讲解
变式2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC 的角平分线.以O为圆心，OC为半径作⊙O.
求证：AB是⊙O的切线.
证明：如图，过点O作OF丄AB于点F，
∵ AO 平分 ∠CAB,OC 丄 AC，OF 丄 AB，
∴OC=OF,
∴AB是⊙O的切线；
2.无交点，作垂线，证半径
F
新知讲解
(1)如果已知直线经过圆上一点，则连结这点和圆心，得到辅助半径，再证所作半径与这直线垂直. 简记为：连半径，证垂直.
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线，再证垂线长等于半径长.简记为：作垂直，证半径.
典例精析
例2、如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°的方向移动，受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540 ）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
典例精析
解：如图，在直角坐标系中画出
以点P（100,200）为圆心，以200为半径的⊙P，再在点P处画出北偏东30°方向的方向线，
作垂直于方向线的⊙P的直径HK，
分别过点H，K作⊙O的切线l1，l2，则l1∥l2.
又因为台风圈在两条平行线l1，l2之间移动，
点A，D落在切线l1，l2之间，所以受到这次台风的影响；
而点B，C不在切线l1，l2之间，所以不受到这次台风的影响.
O
100
200
300
400
500
600
700
P
A
D
C
B
100
200
300
400
500
600
y(km)
x(km)
30°
H
K
l1
l2
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A.(5,2) B.(2,4) C.(1,4) D.(6,2)
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90°
C．EF⊥AC D．以上答案均可以
D
A
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，PA切⊙O于点A，该圆的半径为3，PO=5，则PA的长等于______.
4
O
P
A
4.如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC＝________.
20°
O
C
A
B
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，OP是⊙O的半径，∠POT＝60°，OT交⊙O于点S．
（1）过点P作⊙O的切线．
（2）过点P的切线交OT于点Q，判断点S是不是线段OQ的中点，并说明理由．
解：（1）如图．
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
（2）点S是OQ的中点．
∵PQ为⊙O的切线，
∴∠OPQ＝90°．
∵∠POQ＝60°，
∴∠OQP＝30°，
∴OQ＝2PO．
∵PO＝SO，
∴OQ＝2SO，
即点S是OQ的中点．
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
课堂总结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
板书设计
切线的判定方法
1.定义法
2.数量关系法
3.判定定理
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为( )
A．3 B．4 C．2 D．2
2. 如图，点Q在⊙O上，点P在⊙O外，下列条件不能判定直线PQ是⊙O的切线的是 ( )
A．∠O＝67.3°，∠OPQ＝22°42′ B．sin ∠POQ＝
C．PQ＝8，OQ＝6，OP＝10 D．OQ＝OP，∠OPQ＝30°
B
B
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为_________________________.
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，直线EF是⊙O的切线，B是切点．若∠C＝80°，∠ADB＝54°，则∠CBF＝________.
∠ABC＝90°(或AB⊥BC)
46°
作业布置
【综合拓展类作业】
5．如图，AC是⊙O的直径，AC＝10 cm，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点．过点A作AD⊥BP于点D，连结AB，BC．
(1)求证：△ABC∽△ADB；
(2)若切线AP的长为12 cm，求弦AB的长．
作业布置
【综合拓展类作业】
(1)证明：连结OB．
∵PB是⊙O的切线，
∴OB⊥BP.
又∵AD⊥BP，
∴OB∥AD，
∴∠OBA＝∠BAD．
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠CAB＝∠BAD．
又∵∠CBA＝∠BDA＝90°，
∴△ABC∽△ADB．
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)解：连结OP.
易证△AOP≌△BOP（HL），
∴PA＝PB．
∵OA＝OB，OA⊥AP，OB⊥BP，
∴OP垂直平分AB．
又∵OA＝5 cm，PA＝12 cm，
∴OP＝13 cm，
∴AB＝2×＝2×＝(cm)．
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《2.1.2直线与圆的位置关系》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时是在学习直线和圆的位置关系的基础上进一步深入研究直线和圆相切的情况，为后面研究切线长定理、三角形内切圆打下基础。切线的判定定理、切线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直，熟练掌握切线的两种证明方法以及勾股定理的应用。
学习者分析 已经学习了切线的定义以及直线与圆相切的位置关系与圆心到直线的距离与半径比较的数量关系之间的互相对应关系。具备一定的观察能力、理解问题能力和小组合作能力，能够进行信息的观察、收集、分析与交流表达。
教学目标 1.理解切线的判定定理，并能初步运用它解决简单的问题. 2.知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择. 3.掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法.
教学重点 圆的切线的识别方法
教学难点 掌握圆的切线问题中辅助线的添加方法
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 下雨天，你快速转动雨伞时，雨水飞出的情景你看见过吗？工人师傅用砂轮打磨工件飞出火星的情景见过吗？ 思考下雨点和火星运动的轨迹与转动的“圆” 有怎样的关系？学生活动1： 通过问题的形式引导学生，为学习新知识打下基础.活动意图说明：通过问题情境，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。同时让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有。环节二：新知探究教师活动2： 按照下述步骤作图： 如图，在⊙O上任取一点A．连结OA．过点A作直线l⊥OA． 思考以下问题（可与你的同伴交流）： （1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系？ （2）直线l与⊙O的位置有什么关系？根据什么？ （3）由此你发现什么？ 解：（1）圆心O到直线l的距离等于圆的半径长． （2）直线l与⊙O相切，根据d＝r 直线与⊙O相切． （3）经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 归纳总结： 圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 几何语言表示： ∵AT⊥OA，且OA为⊙O的半径， ∴AT是⊙O的切线. 判断一条直线是一个圆的切线有三种方法： 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 学生活动2： 小组交流合作，教师适时指导，探索直线与圆的位置关系，并归纳切线的判定定理 活动意图说明：教学应激发学生的学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基础的数学知识技能、数学思想和方法，让学生自己总结，训练学生概括的能力，并进一步加深学生理解本课的学习内容和方法．环节三：典例精析教师活动3： 例1 已知：如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC，∠A=30°.求证：直线AB是⊙O的切线. 变式1 直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证:直线AB是⊙O的切线. 变式2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC 的角平分线.以O为圆心，OC为半径作⊙O. 求证：AB是⊙O的切线. (1)如果已知直线经过圆上一点，则连结这点和圆心，得到辅助半径，再证所作半径与这直线垂直. 简记为：连半径，证垂直. (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线，再证垂线长等于半径长.简记为：作垂直，证半径. 例2、如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°的方向移动，受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540 ）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？ 学生活动3： 学生自主解答，教师进行个别指导，最后让学生说明做题理由，教师做好总结. 活动意图说明：学以致用，从做题中加强对知识的理解和运用能力.
板书设计 切线的判定方法 1.定义法 2.数量关系法 3.判定定理
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的是（ ） A.(5,2) B.(2,4) C.(1,4) D.(6,2) 2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( ) A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90° C．EF⊥AC D．以上答案均可以 3.如图，PA切⊙O于点A，该圆的半径为3，PO=5，则PA的长等于______. 4.如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝70°，则∠BAC＝________. 选做题： 5.如图，OP是⊙O的半径，∠POT＝60°，OT交⊙O于点S． （1）过点P作⊙O的切线． （2）过点P的切线交OT于点Q，判断点S是不是线段OQ的中点，并说明理由． 【综合拓展类作业】 6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为( ) A．3 B．4 C．2 D．2 2. 如图，点Q在⊙O上，点P在⊙O外，下列条件不能判定直线PQ是⊙O的切线的是 ( ) A．∠O＝67.3°，∠OPQ＝22°42′ B．sin ∠POQ＝ C．PQ＝8，OQ＝6，OP＝10 D．OQ＝OP，∠OPQ＝30° 选做题 3．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为_________________________. 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，直线EF是⊙O的切线，B是切点．若∠C＝80°，∠ADB＝54°，则∠CBF＝________. 【综合拓展类作业】 5．如图，AC是⊙O的直径，AC＝10 cm，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点．过点A作AD⊥BP于点D，连结AB，BC． (1)求证：△ABC∽△ADB； (2)若切线AP的长为12 cm，求弦AB的长．
教学反思 课堂上师生的互动还不够充分，只是小组讨论、个别提问和全班齐答的形式。针对各个环节不同的教学目标，让学生板演、小组展示、互改纠错等多种形式激发学生的积极性和参与性，体现学生主体地位。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1)了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念，切线的性质和判定。2)能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线；作三角形的内切圆。3)探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等4)了解三角形的内心与内切圆
内容分析 本章的主要内容有直线和圆的位置关系，需理解相交、相切、相离等概念，掌握切线的性质定理和判定定理，切线长定理等。本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性，在中考中所涉及的命题大多和圆有关的位置关系、圆中的计算有关。
学情分析 初三学生有了一定的分析力和归纳力，根据他们的特点，联系生活实际，结合本节课适合学生的学习材料，注重激发学生的求知欲，在此之前学生已学习了圆的相关知识。本章主要是在已有的知识基础上，通过自己动手平移实践得到直线与圆的三种位置关系，直线与圆相切学生会觉得难以理解，所以应进一步进行交流、探索，通过直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的位置关系，进而探究切线长定理以及内切圆，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点;通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和化归思想的认识。
单元目标 教学目标1）会判断直线与圆之间的位置关系 .2)了解圆的确定条件，了解三角形内切圆相关的概念.3) 了解切线长定理(二)教学重点、难点教学重点：正确理解直线与圆之间的位置关系以及三角形内切圆。教学难点:切线的性质和判定的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1直线与圆的位置关系32.2切线长定理12.3三角形的内切圆1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1直线与圆的位置关系1.认识直线与圆的三种位置关系 2.理解切线的判定和性质定理学生能够判断出直线与圆的位置关系，并运用切线的判定和性质定理解决问题任务1.认识直线与圆的三种位置关系任务2.探究切线的判定与性质定理 任务3.出示例题2.2切线长定理1．经历切线长定理的探索过程．2．掌握切线长定理．3．会运用切线长定理解决有关的几何证明和计算等问题．学生能够利用切线长定理解决有关的几何证明和计算问题任务1：认识切线长任务2.探究切线长定理任务3.出示例题2.3三角形的内切圆1、了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；会画三角形的内切圆并理解其相关概念会应用三角形内切圆有关性质解决问题任务1.出示问题 任务2.探究三角形的内切圆的相关概念任务3.出示例题
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：探究直线与圆的三种位置关系
活动3：例题
活动2：探究切线的判定定理
活动3：例题
2.3三角形的内切圆
2.2切线长定理
2.1直线与圆的位置关系(第3课时)
活动1：引入课题
活动2：探究切线的性质定理
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究切线长定理
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：通过问题探究三角形的内切圆相关概念
活动3：例题
直线与圆的位置关系
2.1直线与圆的位置关系(第2课时)
2.1.直线与圆的位置关系(第1课时)
活动1：引入课题
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