八年级数学上册试题 2.3 等腰三角形的性质定理 浙教版（含答案）

2.3 等腰三角形的性质定理
一．选择题
1．在△ABC中，已知AB＝AC，且∠A＝80°，则∠B＝（　　）
A．30° B．50° C．60° D．80°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线．若∠CAD＝25°，则∠B的度数是（　　）
A．25° B．55° C．65° D．75°
3．若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
4．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠D＝70°，则∠B等于（　　）
A．70° B．30° C．40° D．20°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线m∥n，顶点C在直线n上，直线m交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝150°，则∠2的度数是（　　）
A．45° B．40° C．35° D．30°
7．如图，在等腰△ABC中，顶角∠A＝44°，BD平分底角∠ABC交AC于点D，E是BC延长线上一点，且CD＝CE，则∠E的度数为（　　）
A．22° B．44° C．34° D．68°
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD是AC边上的高线，点E在AB上，且BE＝BD，则∠ADE的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（　　）
A．40° B．70° C．40°或140° D．70°或20°
10．如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
11．如图，△ABC中，AB＝AC，D，E在BC上，BE＝BA，CD＝CA，设∠DAE＝x度，则x的取值范围是（　　）
A．0＜x≤45 B．0＜x≤60 C．0＜x＜90 D．0＜x≤120
12．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二．填空题
13．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，则∠2﹣∠1＝　 　．
14．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，请你添加一个条件，写出一个正确结论（不在图中添加辅助线），条件是　 　，结论是　 　．
15．如图，AB＝AC＝AD，AD∥BC，若∠D＝24°，则∠BAC＝　 　度．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD，若∠BAD＝55°，∠B＝50°，则∠DEC的度数为　 　．
17．如图，已知AB＝A1B1，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠A4＝　 　．
18．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：
①∠CDE＝∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．
其中正确的结论是　 　（把你认为正确结论的序号都填上）．
三．解答题
19．如图，△ABC中，CA＝CB，D是AB的中点，∠B＝50°，求∠ACD的度数．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连结AD，点E是BC延长线上一点，CF平分∠ACE，连结AF，且AF＝AC．
（1）若∠CAD＝36°，求∠B的度数；
（2）求证：AF∥BE．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD与∠ABC的平分线BG相交于点E，过点E向AB边作垂线EF，DE与EF相等吗？说明你的理由．
22．如图，在△ABC中，点D、点E分别为AC，BC上的两点，连接BD，DE，使得DE∥AB，BD＝BC，DE平分∠BDC，
（1）求证：AD＝BC；
（2）若∠BED＝117°，求∠A的度数．
23．已知△ABC是等腰三角形．
（1）若∠A＝100°，求∠B的度数；
（2）若∠A＝70°，求∠B的度数；
（3）若∠A＝α（45°＜α＜90°），过顶点B的角平分线BD与过顶点C的高CE交于点F，求∠BFC的度数（用含α的式子表示）．
24．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
答案
一．选择题
B．C．D．C．D．A．C．B．D．B．B．C．
二．填空题
13．90°．
14．AB＝AC，BD＝CD．
15．84．
16．115°．
17．10°．
18．①②③．
三．解答题
19．解：∵CA＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠B＝50°，
∴∠A＝∠B＝50°，
∴∠ACB＝80°，
又∵D是AB的中点，即CD是底边AB上的中线，
∴CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝40°．
20．解：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣36°＝54°，
∴∠B＝∠ACB＝54°；
（2）∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ECF，
∵AF＝AC，
∴∠ACF＝∠F，
∴∠ECF＝∠F，
∴AF∥BE．
21．解：DE＝EF；
理由如下：
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴DE＝EF．
22．（1）证明：∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
又∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD，
∴∠BDE＝∠ABD＝∠CDE，
∵∠BDC＝∠ABD+∠A＝∠BDE+∠CDE，
∴∠CDE＝∠A，
∴AD＝BD＝BC；
（2）∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2∠A，
∴∠BED＝∠C+∠EDC＝3∠A＝117°，
∴∠A＝39°．
23．解：（1）∵∠A＝100°是钝角，
∴∠B＝（180°﹣100°）＝40°．
故∠B的度数为40°；
（2）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝55°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×70°＝40°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝70°；
故∠B＝55°或40°或70°；
（3）∵∠A＝α（45°＜α＜90°），
①当∠A为顶角时，如图：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣α），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ABC＝（180°﹣α），
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+（180°﹣α）＝135°﹣α；
②当∠A为底角，∠B为底角时，如图：
∴∠BFC＝∠FEB+∠FBE＝90°+；
③当∠A为底角，∠B为顶角时，如图：
∵∠BFC+∠FBE＝90°，
∠A+∠ABD＝90°，
∵∠FBE＝∠ABD，
∴∠BFC＝∠A＝α．
当A为底角，三角形是锐角三角形时，
如图，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴∠BFC＝180﹣α．
故∠BFC的度数为：135°﹣α；90°+；α；180°﹣α．
24．解：（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，
∴∠AED＝2∠C，①
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；
（2）设∠ABC＝m°，
则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE＝AEB＝90°﹣n°﹣m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．