八年级数学上册试题 2.4 等腰三角形的判定定理 浙教版（含答案）

2.4 等腰三角形的判定定理
一．选择题
1．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　）
A．1cm、2cm、3cm B．3cm、3cm、4cm
C．1cm、3cm、1cm D．2cm、2cm、4cm
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）
A．120° B．130° C．145° D．150°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，DE经过点O，且DE∥BC，DE分别交AB、AC于D、E，则图中等腰三角形的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．若一条长为24cm的细线能围成一边长等于6cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．6cm B．9cm C．6cm或9cm D．12cm
7．如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，AE垂直于∠ABC的平分线交于点D，交BC于点E，CE＝BC，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题
11．在△ABC中，∠A＝50°，当∠B＝　 　°时，△ABC是等腰三角形．
12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E，若AB＝7cm，AE＝4cm．则DE的长为　 　cm．
13．如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，BC＝6，AC＝4，△ABC的面积是9，则△AEC的面积是　 　．
14．如图，已知P、Q是△ABC的边BC上的两点，且 BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，则∠BAC＝　 　．
15．如图所示，BE⊥AC于点D，且AB＝CB，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝　 　．
16．如图，线段OA的长为2，它的一个端点O是数轴的原点，OA与数轴正半轴的夹角为45度，以OA为一边作等腰三角形OAB，使顶点B在数轴上，则数轴上点B所表示的数是　 　．
三．解答题
17．用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．
（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？
（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BDE的度数．
19．如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3＝∠B，
（1）求证：EF∥BC；
（2）若AC＝BC，CE平分∠ACB，求证：AF＝CF．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．
（1）求证：CG平分∠BCD．
（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过G作EF⊥BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：AD∥EF；
（2）求证：△AFG是等腰三角形．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
23．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　 　°，∠DEC＝　 　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
答案
一．选择题
B．C．B．D．D．B．A．A．C．D．
二．填空题
11．50°或65°或80°．
12．3．
13．3．
14．120°
15．27°．
16．﹣2或或2或2．
三．解答题
17．解：（1）当等腰三角形的腰长为4，
∴底边长为18﹣4×2＝10，
∵4+4＜10，
∴4、4、10不能组成三角形，
当等腰三角形的底边长为4，
∴腰长为（18﹣4）÷2＝7，
∵4+7＞7，
∴4、7、7能组成三角形，
综上所述，其他两边分别为7和7．
（2）设等腰三角形的三边长为x、x、y，
由题意可知：2x+y＝18，
且2x＞y，
∴y＜9，
∵x＝＝9﹣，x与y都是整数，
∴y是2的倍数，
∴y＝2时，x＝8，
y＝4时，x＝7，
y＝6时，x＝6
y＝8时，x＝5．
18．证明：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴BD＝AD，
即△ABD是等腰三角形；
（2）∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．
19．（1）证明：∵∠1+∠FDE＝180°，∠1，∠2互为补角，
∴∠2＝∠FDE，
∴DF∥AB，
∴∠3＝∠AEF，
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠AEF，
∴FE∥BC．
（2）解：∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠ACE．
∴FC＝FE，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
又∵∠B＝∠AEF，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝FE，
∴AF＝CF．
20．（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴．
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
∴∠CBF＝∠E，
∴BC＝CE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵F为BE的中点，
∴CF平分∠BCD，
即CG平分∠BCD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°．
∵∠ABC＝52°，
∴∠BCD＝128°．
∵CG平分∠BCD，
∴．
∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，
∴∠CGD＝46°．
21．（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD是等腰三角形底边BC的中线，
∴AD⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AD∥EF；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥BC，
∴∠B+∠F＝∠C+∠EGC，
∴∠F＝∠EGC，
∵∠EGC＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠F，
∴AG＝AF，
∴△AFG是等腰三角形．
22．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
23．①证明：∵EF∥AD，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，
即△APF是等腰三角形；
②AB＝PC．理由如下：
证明：∵CH∥AB，
∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∴∠H＝∠3，
在△BEF和△CDH中，
∵，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF＝CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠H，
∴AC＝CH，
∴AC＝BF，
∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，
∴AB＝PC．
24．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．