课件17张PPT。3.3 垂径定理第1课时 垂径定理B A D 4．(4分)一条水管的截面如图所示，已知水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．8C5．(4分)绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为 ( )
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 mDA 7．(4分)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连结OA，OB，点P是半径OB上任意一点，连结AP.若OA＝5 cm，OC＝3 cm，则AP的长度可能是 cm(写出一个符合条件的数值即可)．6(5≤AP≤8)9．(4分)如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则弦CD的长为____．249．(4分)如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则弦CD的长为____．2410．(4分)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm.812．(4分)如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是 ( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．非菱形的平行四边形CC (3，2) 15．(12分)如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E点．
(1)若AB＝8，OE＝3，求⊙O的半径；
(2)若CD＝10，DE＝2，求AB的长；
(3)若⊙O的半径为6，AB＝8，求DE的长．16．(12分)如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC＝AC＝4，CB＝8.求⊙O的半径．17．(14分)如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE.
(1)求证：AP＝AO；
(2)若弦AB＝12，求OP的长．课件14张PPT。3.3 垂径定理第2课时 垂径定理的逆定理1．(4分)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB与CD相交于点M，若要得到CD⊥AB，则还需添加的条件是 ( )
A．OC＝AB B．OC＝AM C．OM＝CM D．AM＝BM
2．(4分)如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于 ( )
A．8 B．2 C．10 D．5第1题图 第2题图 DDB7．(4分)如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．(－1，0)第11题图第10题图C 14．(15分)如图甲所示，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点……最后一个△AnBnCn的顶点Bn，Cn在⊙O上．
(1)如图乙，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
(2)如图丙，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
(3)如图甲，求正三角形的边长an(用含n的代数式表示)．课件21张PPT。3.3 垂径定理（1）创设情境,引入新课复习提问:
（２）正三角形是轴对称性图形吗？
（１）什么是轴对称图形 （３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能
完全重合，这个图形就是轴对称图形。有几条对称轴？
是３ 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。强调：判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）X（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴.（2）圆的对称轴有无数条.合作交流,探究新知一自主探究结论：１.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦 AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？二 合作学习２.请你用命题的形式表述你的结论.
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧．
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，
弧AD和弧BD重合．
３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明．解已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一
条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ．
求证：证明：连结ＯＡ，ＯＢ.如果把⊙O沿着直径ＣＤ对折，
那么被ＣＤ分成的两个半圆互
相重合.∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，∴线段EA与线段EB重合.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
思考：你能利用等腰
三角形的性质，说明
OC平分AB吗？４.圆的性质（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言叙述:结论2：E分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.三 概括性质（垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．）１.直径垂直于弦直径平分弦所对的弧直径平分弦2.分一条弧成相等的两条弧的点,
叫做这条弧的中点.
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）
垂径定理的几何语言叙述:（条件）（结论）垂径定理的几个基本图形作法：⒈ 连结AB.⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点．CDABE做一做： １.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦
的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点．BC就是所要求的弦
点D,E就是所要求的弦
所对的两条弧的中点.例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。DC1088解:作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8.
由勾股定理得:圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.想一想:排水管中水最深多少?答:截面圆心O到水面的距离为6.题后小结：1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 想一想：
在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的
弦心距之间有什么关系？ 答:在同一个圆中，
弦心距越长,所对应的弦就越短;
弦心距越短,所对应的弦就越长.CABOD.２.在直径为２０厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如
图所示，如果油面宽是１６厘米，求油槽中油的最大深度．CDＦ解：因为ＯＥ⊥ＣＤ，OＥ所以油槽中油的最大深度ＥＦ＝１０－６＝４（厘米）连结ＯＤ．做一做 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.331做一做４.同心圆Ｏ中，大圆的弦ＡＢ与小圆交于Ｃ，Ｄ
两点，判断线段ＡＣ与ＢＤ的大小关系，并说明
理由．ＡＣ与ＢＤ相等。理由如下：解：过点Ｏ作ＯＥ⊥AB于点Ｅ，则ＡＥ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＤＥ，所以ＡＥ－ＣＥ＝ＢＥ－ＤＥ，即ＡＣ＝ＢＤ．OCDＡＢＥ同心圆是指两个
圆的圆心相同做一做做一做适度拓展１、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ ）(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cmD10862．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3 弦所对的两条弧.CD⊥AB,如图∵ CD是直径,∴AM=BM,温故知新垂径定理的逆命题是什么？想一想垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的
两 条弧.条件结论1结论2逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。②CD⊥AB,探索规律AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?由 ① CD是直径③ AM=BM┗ 平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.（不是直径）只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.① CD是直径,③ AM=BM,② CD⊥AB, 如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:规律（3）
（1）（2）
（4）
（5）（2）
（3）（1）
（4）
（5）（1）
（4）（3）
（2）
（5）（1）
（5）（3）
（4）
（2）命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧① CD是直径,③ AM=BM,② CD⊥AB, 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧逆定理定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦垂径定理已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.证明：连结OA，OB，则OA=OB∴△AOB是等腰三角形∵AE=BE,∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）（垂径定理）请同学们独立证明定理2（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.×√××√辨一辨（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（7）平分弦的直线，必定过圆心。（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。???（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。???例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).ABOCDR解：∴OC⊥AB.∴OC就是拱高.∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,OD=OC-DC=（R-7.23）.在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2,解得R≈27.31.答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.练一练1、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H, EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.M3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦的长度。 （弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）4、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF.G提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等课堂小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。拓展提高1、 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
