课件12张PPT。2.3 三角形的内切圆 1．(4分)下列说法中正确的是 ( )
A．内心一定在三角形内部，外心一定在三角形外部
B. 任何三角形只有一个内切圆，任何圆只有一个外切三角形
C．到三角形三边所在的直线的距离相等的点只有1个
D．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，则PA＝PB2．(4分)如图所示，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，那么点O是△DEF的 ( )
A．三条中线的交点
B．三条高线的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点DC3．(4分)如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，连结OE，OF，则∠EOF为 ( )
A．80° B．100° C．120° D．140°4．(4分)三角形的内心是 ( )
A．三角形的三条中线的交点
B．三角形的三条角平分线的交点
C．三角形的三条高的交点
D．三角形的三条边的垂直平分线的交点BB5．(4分)如图所示，已知△ABC的内心为点O，∠BOC＝120°，则∠A等于 ( )
A．45° B．50° C．55° D．60°（第5题图） （第6题图） 6．(4分)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，△ABC的周长等于12，它的内切圆的半径为 ( )
A．3 B．2.5 C．2 D．1DDC 8．(4分)如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别是切点，若∠ACB＝90°，∠BOC＝115°，则∠A＝______，∠ABC＝______．50°40°9．(4分)如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的半径为______．(第8题图) (第9题图) 10．(4分)在△ABC中，∠A＝80°，若O为外心，M为内心，则∠BOC＝______度，∠BMC＝______度．16013011．(10分)如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4.
(1)求△ABC的面积；
(2)求⊙O的半径；
(3)求AF的长．解：(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， (2)连结OE，OD，∵⊙O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC，又∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四边形ECDO为正方形，∴设OE＝OD＝CE＝CD＝x，∴BE＝3－x，DA＝4－x；∴FB＝3－x，AF＝4－x， (3)∵CD＝1，
∴AF＝AD＝4－1＝312．(4分)如图所示，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则 ( )
A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF
C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BFC13．(4分)如图所示，⊙O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，∠DOB＝73°，∠DOE＝120°，∠DOF＝______，∠C＝_____，∠A＝______．146°60°86°14．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与Rt△ABC的三边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为______．3015．(10分)△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长．解：根据切线长定理，设AE＝AF＝x cm，BF＝BD＝y cm，CE＝CD＝z cm.根据题意，16．(12分)如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E.
(1)求证：IE＝BE；
(2)若IE＝4，AE＝8，求DE的长．解：(1)证明：连结IB，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBD.又∵∠BIE＝∠BAD＋∠ABI＝∠CAD＋∠IBD＝∠IBD＋∠DBE＝∠IBE，∴IE＝BE (2)在△BED和△AEB中，∠EBD＝∠CAD＝∠BAD，∠BED＝∠AEB.∴△BED∽△AEB， 17．(16分)如图，在△ABC中，AC＝AB＝10，BC＝12，圆O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.
(1)求△ADE的周长；
(2)求内切圆的面积．解：(1)连结AF，BO，CO，∵AC＝AB＝10，BC＝12，圆O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，∴AF⊥BC，AD＝AE，∴BF＝CF＝6，BD＝BF＝CF＝CE＝6，∴AD＝AE＝4，∵AD＝AE，AB＝AC，∠A＝∠A，∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC， 课件30张PPT。三角形的内切圆提出问题：
从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？ 作圆: 使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆O就是所求的圆。2、和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。 概念；
1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。想一想：根据作法,和三角形各边都 相切的圆能作出几个？ 1、什么是三角形的外接圆与内切圆？
2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？画圆的关键：
1、确定圆心 2、确定半径 三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；其半径是交点到顶点的距离。 三角形的内切圆的圆心是各内角平分线的交点；其半径是交点到一边的距离。三角形的外接圆与内切圆 ①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。
②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 例3 如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DE＝DB
练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．
2、如图，菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为（ ）
（A） （B） （C） （D） 3、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
（A）70° （B）110°
（C）120° （D）130°
例:已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。求证：EB=EI=EC
ABCIDE证明： 连结BI
∵I是△ABC的内心
∴∠3=∠4
∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5
∴ ∠ 1= ∠ 5
∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5
∴ ∠ BIE= ∠ IBE
∴ EB=EI
又 ∵EB=EC
∴EB=EI=EC
12345达标检测
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。 （ ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点。 （ ）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径————，内切圆半径————。
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比————。
三、选择题：
下列命题正确的是（ ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆×√6.5cm2cm2:1C4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（ ）
（A）1∶ ∶ （B）1∶2∶
（C）1∶ ∶2 （D）1∶2∶3 5、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ）
（A）矩形（B）菱形 （C）正方形 （D）平行四边形
巩固练习：ABCI1、如图，△ABC中，∠A=55度，I是内心
则，∠BIC＝————度。ABCDEF2、如图，△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝————度。
112.567.5ABCOI三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：R= —c2r = ————a+b-c2abc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法例：
已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。
求证：EB=EI=EC
ABCIDE证明： 连结BI
∵I是△ABC的内心
∴∠3=∠4
∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5
∴ ∠ 1= ∠ 5
∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5
∴ ∠ BIE= ∠ IBE
∴ EB=EI
又 ∵EB=EC
∴EB=EI=EC
12345课堂练习：
1、判断
（1）三角形的外心是三边中垂线的交点。（ ）
（2）三角形三边中线的交点是三角形内心。（ ）
（3）若O为△ABC的内心，
则OA＝OB＝OC。（ ）√××三个内角的角平分线的交点三边的距离相等提示：关键是利用
内心的性质如果∠ A＝120 ° ，∠ BOC=？如果∠ A=n ° ， ∠ BOC=?因此：在△ABC中，∠A＝n ° ，点O是△ABC的内心，∠BOC＝90 ° ＋ n °例1、如图，在△ABC中， ∠A=55 ° ，点O是内心，求∠ BOC的度数。例1、如图，在△ABC中， ∠A=55 ° ，点O是外心，求∠ BOC的度数。如果∠ A＝120 °呢？例2、如图：点I是△ABC的内心，AI交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E.
求证：BE＝IE提示：欲证BE＝IE
需证∠ BIE＝ ∠ IBE
把∠ BIE转化为两圆周角之和5若已知圆的三条切线呢？ABCDEF设△ABC的BC=a，CA=b，AB=c，内切圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F.Ixyzy+z=a
x+z=b
x+y=c分析：设 AF=x，BD=y，CE=z
D想一想圆的外切四边形具有什么性质？圆的外切四边形的两组对边的和相等。例：等腰梯形各边都与⊙O相切， ⊙O的直径为6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则梯形的面积为_____。若已知圆的四条切线呢？868如图：四边形ABCD的边
AB、BC、CD、DA和⊙O
分别相切于点L、M、N、P。想一想根据已知条件可以得出什么结论？圆的外切四边形的两组对边的和相等。aabbccdd例：已知在△ABC中，BC=14cm,AC=9cm,
AB=13cm,它的内切圆分别和BC、AC、
AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。xxyyzz已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。比一比
看谁做得快（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= AB= （3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）AP116cm9cmABD.ABCabcrr =a+b-c2例：直角三角形的两直角边分别是5cm，
12cm 则其内切圆的半径为______。圆的外切等腰梯形有什么特点？圆的外切平行四边形有什么特点？腰长和中位线长相等。圆的外切平行四边形是菱形开动脑筋：课堂练习：练习册69 2 （1）（2）学生归纳小结：1、三角形内切圆的作法
2、三角形的内切圆，内心，圆外切三角形的概念。
3、利用三角形的内心的性质证解有关问题。课后作业： 书102－102 10、11、12
B组题 3 练习2 已知：△ABC是⊙O外切三形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。
? x+y=13
y+z=14
x+z=9ABDLMNPO圆的外切四边形的两组对边和相等。已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O分别相切于L，M，N，P。
探索圆外切四边形边的关系。CBL=BM=wDN=DP=x
AP=AL=y
CN=CM=z
典型例题：求证：圆的外切四边形的两组对边的和相等．已知：四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
切点分别是点P、L、M、N。求证：AB+CD=AD+BC证明：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
切点分别是点P、L、M、N。∴AL=AP， BL=BM，
CN=CM，DN=DP∴AL+BL+CN+DN=AP+BM+CM+DP即 AB+CD=AD+BC2．某梯形中位线为18cm,且梯形有内切圆，求梯形周长。课件15张PPT。12.3三角形内切圆2 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？3·1.画一个圆O,在圆O上任取一点A,过点A画圆O的切线动手画一画PO2、如图，D、E、F在圆O上，分别过点D、E、F作圆O的切线。3条切线两两相交于点A、B、C·ODEF．．．4FDEO·1、右图，OD、OE、OF相等吗？OA、OB、OC是∠A、∠B、∠C的什么？为什么？ABC例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆DEFMIN作法：1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.2. 过点I作ID⊥BC，垂足为D.3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆.（学生回答）51. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角
形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，
这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形内切圆：画三角形的内切圆:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论三角形内心的性质：1. 三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2. 三角形的内心在三角形的角平分线上；6例5. 在△ABC中，内切圆O与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∠B=60°， ∠C=70°，求∠EDF的度数。
·（学生阅读课本后，由学生黑板解题）71、（1）如图，在△ABC中， ∠A=60 ° ，点O是内心，
求∠ BOC的度数。
（2）如果∠ A＝90 ° ，∠ BOC= °；
如果∠ A=120° ， ∠ BOC = °；
（3）在△ABC中，∠A＝n ° ，点O是△ABC的内心，
∠BOC＝ ° 随堂练习2、如图，⊙O是△ABC的外接圆，切点分别是D、E、F，若∠DOE=120°，∠EOF=150°，求△ABC的三个内角的度数。 8提问：1、三角形外接圆经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形外心的性质：1. 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；
2. 三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；oBCA9．o外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
外接圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形内切圆内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。AABBCC比一比10随堂练习填空：如图， △ABC的顶点在⊙O上， △ABC的各边与⊙I都相切，则△ABC是⊙I的 三角形；
△ABC是⊙O的 三角形； ⊙I叫△ABC的 圆；
⊙O叫△ABC的 圆，点I是△ABC的 心，
点O是△ABC的 心11已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。
求证：EB=EI=EC12例：求边长为６ｃｍ的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R.（提示：由等腰三角形底边上的中垂
线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形
的内切圆与外接圆是两个同心圆.）13记一记14直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm .则其内切圆的半径为______。ACBO看谁做得快15驶向胜利的彼岸
