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专题1.7 胡不归模型（最值模型）
模块1：模型简介及知识储备
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”。看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题。
知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11），记，即求BC+kAC的最小值.
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
模块2：核心模型点与典例
例1．（2023·四川乐山·统考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图：过点E作，过点B作，连接,由菱形的性质结合题意可得结合可得，则,即；再根据三角形的三边关系可得,则当时，即F与重合时，有最小值，最后解直角三角形求出即可．
【详解】解：如图：过点E作，过点B作，连接．
∵在菱形中，，∴，
∵，∴，，即．
∴．∴．∵
∴当时，即F与重合时，有最小值
∴的最小值．故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形等知识点，找到有最小值的位置是解答本题的关键．
例2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
【详解】解：连接AC，作
∵是正方形且边长为4，∴，，，
∵，∴，∴，
∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，
∵，，∴，∵，∴，
设，则，∴，解得：，
设，则，∵，∴，解得：
∴，故选：D
【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG．
例3．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图， 中，，，为边上一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，，∴
∵PH丄AD∴∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，∴ ，
则最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
例4．（2022·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________．
【答案】0
【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作于，
∵四边形是正方形，，，的最小值为0，
∵，∴的最小值为0，故答案为：0．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．
例5．（2022春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则的最小值是____________．
【答案】
【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论．
【详解】解：如图，作DE⊥AB于E点，连接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°
∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE
∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小
∵菱形的边长为4∴AB=4，AE=2∴DE=
∴2DE= ∴PA+PB+PD最小值为故答案为：
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形性质，将多条线段转化是解题关键．
例6．（2022·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．
①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ．
【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可；
②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间．
【详解】（1） 四边形 是矩形， ，
与 交于点O,且 关于 对称，
，， 四边形 是菱形；
（2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ，
关于 的对称图形为 ， ，
在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点，
为 的中位线 ， ，同理可得： 为 的中点， ，
， ；
②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s，
由①可得，，
点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A，
即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.
如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.，
在 中，设， ，
，解得： ， ，和 走完全程所需时间为．
模块3：同步培优题库
全卷共23题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】C
【分析】过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，由可求最小值为．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，，，
，，
当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，
，．故答案为3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短和锐角三角函数的性质，熟练应用相关性质是解题的关键．
2．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案．
【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P，
∵在矩形中，，， ∴，
∴， 则，∴，
∴， ．
即的最小值为6．故选B．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题关键．
3．（2022·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为
A．4 B．5 C． D．
解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点．
四边形是菱形，，
，，，
，，，
，，，
，，的最小值为4，故选：．
4．（2022·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在中利用三角函数即可解得MH．
【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，
∵菱形中，，∴，为等边三角形，
∴，，∴在中，，∴，
∴此时得到最小值，，
∵，，∴，又∵，∴,故选：B.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键．
5．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC补成等边△ABP，过F作BP的垂线FH，故GF+FB＝GF+FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+FB最短．又由于点G为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度．
【详解】延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G∴∠AGC＝90° ∵O为AC中点∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
∴OQ＝∴GH最小值为 故选C．
【点睛】本题考查了含30°直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短路径．解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，进而联想到找出点G运动路径再计算．
二、填空题（本大题共15小题，每小题4分，共60分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6. （2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为 。
解析：PA+PB+PC=2PA+PB=2（PA+PB）
连接AC交 BD于O，作BE使∠PBE=30°，过点P作PF⊥BE，PF=PB.
显然A、P、F共线时PA+PB最小。此时 PA+PB=AF
∵AB=2,∴AO=BO=,∵∠PBE=30°,∴OE=,BE=
利用等面积法:×AF×BE=×AE×BO 解得：AF=
注意：本题也可以利用费马点（旋转作图）来解决。
7．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
【答案】
【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.
【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，
∴PQ=PD sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，
∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，
∴的最小值为，故答案为：3.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
8．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形中，，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为______．
【答案】
【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案．
【详解】过点A作，过点D作于点H，交于点，
∵在矩形中，，∴，∴，则，
∵，
此时最小，∴的最小值是．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．
9．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于______．
【答案】4
【分析】由四边形是菱形，根据已知线段长度，将转化，再根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点M，过点M作于点H，过点A作于点G，交于点P，
四边形是菱形，边长为5，，
，，，，
，，
，，，
，，
，即，，
当A，P，G三点共线且时，取最小值，最小值为，
菱形的面积，，
的最小值是4．故答案为：4．
【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，将转化为是解题的关键．
10．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
11．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．
【详解】解：如图所示：
过点作交于点，过点作交于点，
四边形是菱形，，
∴∠ABP=30°，，，
由垂线段最短可知，的最小值为的长，
，
即的最小值是：，故答案是：．
【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．
【答案】3
【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC sin6°＝23，
∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值为3，故答案为3．
13．（2022·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________．
【答案】3
【分析】过点作的垂线，垂足为，过点作，根据已知条件求得的长，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，当时，最小，股定理求得的长即可求解．
【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，过点作，
中，
，
如图，当时，最小，最小值为
的最小值为．故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，转化线段是解题的关键．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
【答案】4
【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB sin60°＝4，
∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥4，∴AM+BM≥4，
∴AM+BM的最小值为4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．
15．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，
作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴，∴，∴，∴是等边三角形，
∵，∴，∵CH⊥AB，∴，
∴，
∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时，，是等边三角形，∴，，
∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
16．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接
∵是等边三角形，∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4∴，，
∴∴
∵∴∴
∵，∴∴
∴的最小值为的长度 ∵是等边三角形，，
∴∴的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
17．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取，
∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，
∵，而一定，
∴当的面积最大时，最大，∵，∴点D在以为直径的圆上，
∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时，则为等腰直角三角形，∴，故答案为：．
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图， ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
【答案】
【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，
∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
19．（2022·四川眉山·统考一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】先证明四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，可得，，然后根据勾股定理可得，则，进而求出，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小，
当B、P、M在同一直线上时，为最小，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，进而求解即可．
【详解】两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，
即，四边形ABCD是平行四边形，
，，四边形ABCD是菱形，
过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图，
，，
，，，
，，
，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图，
，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小，
当B、P、M在同一直线上时，为最小，如图，
，，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．
20．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
【答案】6
【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再将原式变形，进而得出PA+PD最小值，进而得出答案．
【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，
∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），
，
此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．
三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2022·江苏·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、、均在小正方形的顶点上，则点E是关于点B的勾股点.
（2）如图3，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点,
①求证：；②若，，求的度数．
（3）如图3，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点．①当时，求的长；②直接写出的最小值．
【答案】（2）①证明见解析；②30°；（3）①AE的长为或；②．
【分析】（2）①由矩形性质得∠ADC=90°，可得AD2+DC2=AC2；根据勾股数得BC2+EC2=AC2，又因为AD=BC，即得CE=CD．②设∠CED=α，根据∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°，可用α表示△ADE的三个内角，利用三角形内角和180°为等量关系列方程，即求出α进而求出∠ADE．
（3）由条件“点C是△ABE关于点A的勾股点”仍可得CE=CD=5，作为条件使用．①△ADE是等腰三角形需分3种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长．②在CB上截取CH= ，利用两边对应成比例及夹角相等构造△ECH∽△BCE，把BE转化为EH，所以当点A、E、H在同一直线上时，AE+BE=AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．
【详解】解：（2）①证明：∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CA2=CB2+CE2
∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD，AD=BC，∠ADC=90°
∴CA2=AD2+CD2=CB2+CD2∴CB2+CE2=CB2+CD2∴CE=CD
②设∠CED=α，则∠CDE=∠CED=α∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-α
∵∠AEC=135°∴∠AED=∠AEC-∠CED=135°-α
∵DA=DE∴∠DAE=∠DEA=135°-α∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°
∴2（135°-α）+（90°-α）=180°解得：α=60°∴∠ADE=90°-60°=30°
（3）①∵矩形ABCD中，AB=5，BC=8∴AD=BC=8，CD=AB=5
∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CE=CD=5
i）如图1，若DE=DA，则DE=8
过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N
∴∠AME=∠MND=90°∴四边形AMND是矩形
∴MN=AD=8，AM=DN设AM=DN=x，则CN=CD-DN=5-x
∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2
∴DE2-DN2=CE2-CN2∴82-x2=52-（5-x）2解得：x=
∴EN= ，AM=DN=∴ME=MN-EN=8-,
∴Rt△AME中，AE=
ii）如图2，若AE=DE，则E在AD的垂直平分线上
过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q∴AP=DP=AD=4，∠APQ=∠PQC=90°
∴四边形CDPQ是矩形∴PQ=CD=5，CQ=PD=4
∴Rt△CQE中，EQ=＝3∴PE=PQ-EQ=2
∴Rt△APE中，AE=
iii）如图3，若AE=AD=8，则AE2+CE2=AD2+CD2=AC2∴∠AEC=90°
取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上
∴点E也在⊙O上∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意
综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为或．
②在CB上截取CH= ，连接EH
∴ ,∵∠ECH=∠BCE∴△ECH∽△BCE
∴ ,∴EH=BE∴AE+BE=AE+EH
∴当点A、E、H在同一直线上时，AE+BE=AH取得最小值
∵BH=BC-CH=8-＝ ,∴AH= ∴AE+BE的最小值为．
【点睛】此题考查勾股定理、勾股定理逆定理的应用，矩形性质，等腰三角形性质，解一元一次方程和一元二次方程，圆的定义和圆周角定理．解题关键是对新定义概念的性质运用，第（3）①题等腰三角形的分类讨论需数形结合把图形画出后再解题，②可利用特殊位置试算得到最小值，计算过程较繁琐复杂．
22．（2023春·广东广州·八年级广州市第七中学校考期中）在菱形中，．
(1)如图1，过点B作于点E，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．点Q是对角线上的一个动点，若，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性质求出，从而得到，，利用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案；
（2）过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案．
【详解】（1）解：，，，
在菱形中，，，在中，，
点是线段的中点，；
（2）如图，过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，
连接，则，、关于直线对称，，
，当点与重合时，的值最小，
当点与重合时，．当点与不重合时，．
四边形是菱形，，，
又，，
，，，
即的最小值是．的最小值是．
【点睛】本题是菱形综合题，考查的是轴对称最短路径问题、点到直线的距离垂线段最短，菱形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，掌握轴对称最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
23．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．
(1)求证：四边形是菱形；(2)连接，若，．①求的值；
②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．
【答案】(1)见解析(2)①；②t的最小值为3
【分析】（1）根据矩形的性质可得，折叠的性质可得，即可求证；
（2）①连接交于点M，作交的延长线于H，根据菱形的性质得出，，，通过证明四边形是矩形，得出， ，则，根据勾股定理得出最后根据，即可求解；②根据题意得出点Q的运动时间 ，连接，过点P作于H，则，进而得出，根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，t有最小值，t的最小值为的值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，
∵关于的对称图形为，∴，∴四边形是菱形．
（2）解：①如答图1中，连接交于点M，作交的延长线于H．
∵四边形是菱形，∴，，
∵，∴为中位线，∴，
∵，∴四边形是矩形，
∴， ，∴，
在中，∴
②由题意得：点Q的运动时间
如答图2中，连接，过点P作于H，
由①，得 过点O作于M．如答图2
根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，
t有最小值，t的最小值为的值， 又所以t的最小值为3．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，是中考压轴题．
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专题1.7 胡不归模型（最值模型）
模块1：模型简介及知识储备
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”。看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题。
知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11），记，即求BC+kAC的最小值.
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
模块2：核心模型点与典例
例1．（2023·四川乐山·统考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
例2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
例3．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图， 中，，，为边上一点，则的最小值为______．
例4．（2022·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________．
例5．（2022春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则的最小值是____________．
例6．（2022·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．
①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
模块3：同步培优题库
全卷共23题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
2．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．4
3．（2022·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为
A．4 B．5 C． D．
4．（2022·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共15小题，每小题4分，共60分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6. （2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为 。
7．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
8．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形中，，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为______．
9．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于______．
10．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
11．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．
13．（2022·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
15．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
16．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
17．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图， ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
19．（2022·四川眉山·统考一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．
20．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2022·江苏·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、、均在小正方形的顶点上，则点E是关于点B的勾股点.
（2）如图3，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点,
①求证：；②若，，求的度数．
（3）如图3，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点．①当时，求的长；②直接写出的最小值．
22．（2023春·广东广州·八年级广州市第七中学校考期中）在菱形中，．
(1)如图1，过点B作于点E，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．点Q是对角线上的一个动点，若，求的最小值．
23．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．
(1)求证：四边形是菱形；(2)连接，若，．①求的值；
②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．
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