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专题2.1 直线与圆的位置关系
模块1：学习目标
1.了解直线与圆的三种位置关系；
2.了解圆的切线的概念；
3.熟练掌握切线性质及判定定理；
模块2：知识梳理
考点1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无公共点；
2、直线与圆相切 有一个公共点；
3、直线与圆相交 有两个公共点；
考点2 切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如右图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
模块3：核心考点与典例
考点1、判断直线与圆的位置关系
例1．（2023上·江苏南京·九年级统考阶段练习）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 ．
【答案】相切或相交/相交或相切
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件可知点在上，则可知直线与相切或相交，即可得到答案，由条件判断出点在圆上是解题的关键．
【详解】解：，，，
点在直线上，，直线与相切或相交，故答案为：相切或相交．
变式1. （2023上·广东肇庆·九年级校考阶段练习）已知的半径是，点到同一平面内直线的距离为一元二次方程的根，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】C
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解一元二次方程，先求解方程，再比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
【详解】∴，解得，
∴点到同一平面内直线的距离，
∴直线与的位置关系是相离，故选：C．
变式2. （2023上·江苏盐城·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆（ ）
A．与x轴相切，与y轴相交 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相切，与y轴相离
【答案】A
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离．由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．
【详解】解：点到x轴为4，等于半径4，
点到y轴的距离为2，小于半径4，
故该圆与x轴相切，与y轴相交，故选：A．
考点2、已知直线与圆的位置关系求参数
例1．（2022下·福建南平·九年级福建省南平第一中学校考自主招生）如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等面积法算出坐标原点到直线的距离，根据圆与直线有交点可判断圆半径范围；
【详解】 解：过原点作交于点C，
直线与坐标轴的交点为A、B两点，
令解得，故A点坐标为：令解得，故B点坐标为：
故直线到坐标原点的距离为：，
直线与圆有公共点，故；故选：C．
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
变式1.（2023·江苏镇江·统考中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ．
【答案】2
【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2．
【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限，∴，随的增大而减小，
∵过定点，∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，
∴r的临界点是2，∴r的最小值是2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了一次函数图像，直线与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
变式2.（2022上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知的斜边，直角边．以点C为圆心，当半径r取 值时，与边只有一个公共点．
【答案】或
【分析】分当圆和斜边相切和当圆和斜边相交两种情况求解即可．
【详解】如图，
∵斜边，直角边，∴．
当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高；
当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则．故答案为或．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，在解答此题时要注意分两种情况讨论，不要漏解．
考点3、直线与圆的相关平移问题
例1．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线相切于点M、N，且圆心分别为点、；根据一次函数的性质，求得，；根据特殊角度三角函数的性质，得，结合平移的性质，推导得；同理，推导得；根据直线与圆位置关系的性质，得符合题意要求的点P坐标，即可得到答案．
【详解】根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线相切于点M、N，且圆心分别为点、，如下图：
∴，且将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P，再点和之间
直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点
∴， ∴， ∴
∴ ∴∴，即
∵ ∴∴，即
∴符合题意要求的点P坐标为：，，，，，，
∴当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是：7故选：C．
【点睛】本题考查了平移、一次函数、圆、三角函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握平移、直线与圆位置关系、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解．
变式1.（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：的圆心P的坐标为，，
的半径为2，，，，
当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，
当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离d的取值范围是，故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
变式2.（2023上·江西南昌·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点（点A在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切．
【答案】2或6或10
【分析】设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，推出是等腰直角三角形，，①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【详解】解：设与坐标轴的切点为，
直线与轴、轴分别交于点、，点，
时，，时，，时，，，，，
，，，是等腰直角三角形，，
①当与轴相切时，
点是切点，的半径是2，轴，，是等腰直角三角形，
，，，
点的速度为每秒个单位长度，；
②如图，与轴和轴都相切时，，，
点的速度为每秒个单位长度，；
③当点只与轴相切时，，，
点的速度为每秒个单位长度，．
综上所述，则当或6或10秒时，与坐标轴相切，故答案为：2或6或10．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
考点4、切线的相关概念辨析
例1．（2023上·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线
【答案】D
【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；
B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；
C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；
D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
变式1.（2023上·广东九年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线
【答案】B
【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确．注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误；
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误．故选：B．
【点睛】此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键．
变式2.（2023·浙江昌·九年级校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
【答案】D
【分析】逐一进行判断即可．
【详解】A，与圆有公共点的直线不一定是圆的切线，还可能与圆相交，故该选项错误；
B，三角形的外心到三角形三个顶点距离相等，故该选项错误；
C，和半径垂直的直线不一定是圆的切线，有可能是圆内的一条弦，故该选项错误；
D，到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故该选项正确，故选：D．
【点睛】本题主要考查与圆有关的结论，掌握圆的有关性质是解题的关键．
考点5、切线的性质定理（求角度）
例1．（2023上·河南许昌·九年级统考期中）如图，为直径，P是外的一点，，分别与相切于点A，B，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，连接，由切线的性质求出，的度数，最后利用四边形的内角和计算即可；解题的关键是掌握切线的性质．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，分别与相切于点A，B，，
，．故选：B．
变式1．（2023上·北京西城·九年级校考阶段练习）如图，交于点切于点，点在上． 若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，由切线的性质可得，再由直角三角形的性质可得，最后由圆周角定理即可得出答案，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：切于点，，，
，，，故选：B．
变式2．（2023上·湖北·九年级校联考期中）图，在平面直角坐标系中，已知点，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，B 为切点，是的直径，则 °．
【答案】
【分析】先据点A，的坐标得，进而得的半径为1，然后在中用锐角三角函数求出，进而得，再证为等边三角形即可求出的度数．
【详解】解：点，，，
过原点，为的半径，为的切线，，，
在中，，，，，，，
又，三角形为等边三角形，，
即的度数为．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了数轴上两点间距离，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质等，熟练掌握切线的性质，锐角三角函数的定义和等边三角形的判定和性质是解答此题的关键．
考点6、切线的性质定理（求长度）
例1．（2023上·重庆潼南·九年级校联考期中）如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，连接，通过证明，得出，则，求出，则，根据切线的定义，求出，最后根据，即可解答．
【详解】解：连接，如图，∵是的直径，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∵是的切线，∴，∴，
∴，故选：C．
变式1. （2023上·江苏扬州·九年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，线段的中点P的坐标为，与x轴相切于点C，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，根据点P的坐标得出，进而得出，即可根据勾股定理得出，再证明四边形为矩形，得出，即可求解．
【详解】解：连接，过点P作于点D，
∵点P的坐标为，∴，∵点P为中点，∴，
根据勾股定理可得：，
∵与x轴相切于点C，∴轴，∵，，∴四边形为矩形，
∴，∴，故答案为：．
变式2.（2023上·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，与相切于点平分． (1)求证：．(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质等问题．
（1）连接，根据等边对等角、角平分线的性质及切线的性质即可证明结论成立．
（2）连接，证明，由相似三角形的性质即可求得的长．
【详解】（1）连接，如图所示：
∵直线与相切于C点，∴．∵，∴．
又∵平分．∴，∴，∴．∵．∴．
（2）连接，如图所示：
∵是的直径，∴，∵由（1）知：，∴，
又∵，∴，∴，即：，∴
考点7、切线的判定定理（添加条件）
例1．（2023·浙江·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【答案】60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
变式1.（2023·浙江九年级课时练习）如图，为的直径，，当 时，直线与相切．
【答案】1
【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：当时，直线与相切，
∴（cm），故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．
变式2.（2023上·江苏淮安·九年级淮安市洪泽实验中学校考阶段练习）如图，直线、相交于点O，，半径为2的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离6处．如果以1的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后与直线相切．
【答案】2或10
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系和含角的直角三角形的性质，由圆的相切解得路程，根据题意与⊙P相切时，，当⊙P在直线左侧时如图，由，求得，则有即可求得时间；当⊙P在直线右侧时，同理求得即可求得时间．
【详解】解：当⊙P在直线左侧时，过点作交于点E，如图，∴，
∵，∴，，
则⊙P向右移动了2，所用时间秒；
当⊙P在直线右侧时，如图，过点作交于点F，则，
∵∴，，
则⊙P向右移动了10，所用时间秒．故答案为：2或10．
考点8、切线的判定定理（证明）
例1．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在中，，平分交于点E，点D在边上且．
(1)判断直线与外接圆的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)直线与外接圆相切(2)
【分析】本题考查了切线的判定以及勾股定理的有关知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
（1）连接OE，结合两半径构成的等腰三角形性质和角平分线定义，易证为垂直关系；
（2）由（1）的结论，根据勾股定理构造方程，可求出半径长，再求出的值．
【详解】（1）解：直线AC与外接圆相切．
理由如下：设外接圆的圆心为O，连接OE，如图，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∴AC为的切线．
（2）解：设的半径为r，则，，
在中，，解得：，∴，
∵，∴，∴．
变式1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）在四边形中，，，以点为圆心，长为半径作，连接，交于，(1)试判断与的位置关系，并说明理由．(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)与相切，理由见解析(2)
【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理：（1）过点作于点，先证，推出，可知点在上，是的半径，根据切线的判定可知与相切；
（2）先证是等边三角形，求出的度数，再根据即可求解．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
如图：过点作于点，，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，，
，点在上，是的半径，又，与相切．
（2）解：，是等边三角形，，
，，
，，，
在中，，
，解得，
．
变式2．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，，点在上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质．（1）根据平行线的性质及，推出，根据直角三角形的性质得出，等量代换推出，则，根据切线的判定定理即可得解；（2）利用勾股定理求出，连接，由等腰三角形三线合一可得，即可求解．
熟记切线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：，，，
，，，是圆的切线；
（2），，
连接，则，由（1）知，则，∴．
考点9、切线的作法
例1．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法：
(1)在图①中，已知，点P在上，过点P作的切线；
(2)在图②中，已知，点Q在外，过点Q作的切线．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【分析】本题考查了作图 复杂作图、也考查了切线的判定．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作
（1）以为圆心，大于为半径画弧，再以为圆心，适当长度为半径画弧，分别相交于点M、N， 连接，点P在直线（直线）上，即可得直线过P点作的切线得到直线；
（2）连接，作的垂直平分线得到中点O，然后以O点为圆心，为半径作圆交于A、B，则直线、满足条件．
【详解】（1）解：如图①，切线为所作：
（2）解：如图②，切线为所作：
变式1.（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)见详解(2)
【分析】本题考查作圆的切线和全等三角形判定与性质：（1）以点B为圆心，适当长为半径，画弧分别交于点M、的延长线于点N，再分别以点M和点N为圆心，大于，的长为半径，画弧，分别相交于点G和点H，连接并延长交于一点，即为点F，此时是的垂直平分线，结合，即可作答；（2）由，，可得，而点D在以为直径的圆上，为的切线，可得，证明，即可作答．
【详解】（1）解：如图：过B作，交于F，直线即为所求直线；
（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，
∵点D在以为直径的圆上，∴，∴，∵为的切线，∴，
∵，∴，∴，∴，
在和中，，∴，∴．
变式2.（2023·江苏徐州·校考三模）如图，已知P是外一点．按要求完成下列问题：
(1)作图：(保留作图的痕迹)。①连接，与交与点A，延长，与交于点B；
②以点P为圆心，长为半径画弧，以点O为圆心，长为半径画弧；
③两弧相交于点C，连接，与交于点D，连接，．
(2)证明：为的切线；(3)计算：利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据，可计算出弧与弦所围“弓形”的面积为______．(结果保留根号或精确到)
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据题意完成作图即可；（2）先连接，得到是等腰三角形，点D是的中点，再利用等腰三角形“三线合一”证明即可；（3）测量出圆的半径和扇形的圆心角，再根据面积公式计算即可；数据仅供参考，以实际测量为准．
【详解】（1）解：依题意画图如下：
（2）如下图：连接，依题意得：，；
∵，∴是等腰三角形，∵，，∴
∴点D是的中点，是中底边上的中线，
∴是中底边上的高，即， ∴，∴为的切线；
（3）经测量得到，半径，(数据仅供参考，以实际测量为准)
过点O作于E，则由垂径定理可知，
∵，，∴°，∴，
∴∴
弧与弦所围“弓形”的面积为：．
【点睛】本题考查用尺规作圆的切线的方法，圆切线的证明，弓形面积的求法等知识，根据题意正确作出图形是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·山东聊城·九年级统考期中）在中，，，，以点C为圆心，2为半径作，直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【答案】C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形．熟记相关结论即可．
若⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，当时，直线与⊙O相切；当时，直线与⊙O相交；当时，直线与⊙O相离．
【详解】解：作，如图所示：
∵，，∴
∴故直线与的位置关系是相交故选：C
2．（2023·浙江九年级期中）已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的直径可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，然后根据和直线相交，确定r和d的关系，然后再确定r的取值范围，进而确定直径的取值范围即可解答．
【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为，和直线相交， ，
又 圆心到直线 的距离为 ， ， 直径大于 ．故选A．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系、圆的基本概念等知识点，根据和直线相交得到是解答本题的关键．
3．（2021·广东揭阳·统考一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则
【答案】A
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；若，没有理由可证明DE是⊙O的切线．
【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，
∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
4．（2023·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是( )
A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)
【答案】D
【分析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论．
【详解】解：如图，
过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，
能够与该圆弧相切的格点坐标是(6，2)．故选：D．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键.
5．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，切于点，连结交于点交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，连接，证明，，可得，从而可得．
【详解】解：如图，连接，
∵切于点，∴，
∵， ，∴，
∴，∴；故选：D．
6．（2023上·四川绵阳·九年级校考期中）如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于，即可证得为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得．
【详解】解：连接，
，，，，
，，即，
，，即，则为圆的切线；
解：设，则，而，在中， ，
即，解得，线段的长是．故选：B．
7．（2023上·山东德州·九年级校联考期中）如图，点A在半径为2的上，过线段上的一点作直线，与过点的切线交于点，且，设，则的面积关于的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知得出与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当时，取到最小值为，即可得出图象．此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出与x之间的函数解析式是解题关键．
【详解】解：∵A点在半径为2的上，过线段上的一点P作直线，与过A点的切线交于点B，且，∴，，
∴，解得：，
∴，函数为二次函数，
∵，∴当时，取到最小值为，
根据四个选项的图象只有D符合要求．故选：D．
8．（2023上·河北张家口·九年级统考期中）如图，在中，，，．O是边上一点，以点O为圆心，长为半径在边的右侧作半圆O，交边于点P，交边于点Q．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当的长度最短时，半圆O的半径为
结论Ⅱ：当时，与半圆O相切，且
A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ、Ⅱ都对 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
【答案】C
【分析】当时，的长度最短，由是的直径，得，则，可知此时点P与点B重合，由，，求得，则半圆O的半径为，可判断结论Ⅰ正确；当时，连接，因为，所以是等边三角形，则，所以，而，则，所以，可证明与半圆O相切，且，可判断结论Ⅱ正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，当时，的长度最短，
∵是的直径，∴，∴，∴点P与点B重合，
∵，，，∴，
∴，∴，
∴半圆O的半径为，故结论Ⅰ正确；
当时，如图2，连接，∵，，
∴，∴是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵是的半径，且，∴与半圆O相切，
∵，∴，∴，故结论Ⅱ正确，故选：C．
【点睛】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、勾股定理、切线的判定定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．（2023上·江苏常州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（ ）．
A．6 B．12 C．24 D．36
【答案】C
【分析】根据平行线间高相等可得，进而得到，然后根据k值的几何意义即可解答．掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，，设的高为h
∵与x轴相切于点B，为的直径，∴，,
∴、的高为，∴,
∵，∴，∴,
∵，且反比例函数图像在一象限，∴．故选：C．
10．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，正方形中和中，，连接．若绕点A旋转，当最大时，（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】D
【分析】作，交的延长线于点，当为此圆的切线时，即时，最大，在中，，证明则根据三角形面积公式即可得到答案．
【详解】如图，作，交的延长线于点，
，当绕点A旋转时，点在以A为圆心，8为半径的圆上
当为此圆的切线时，即时，最大，
此时，在中，，，，
，，
在和中，，
．故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、正方形的性质、切线性质、圆周角定理、勾股定理等知识，找到最大时的位置是解题的关键。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022上·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
12．（2022上·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，分别切于点，点是上一点，且，则的度数为 ．
【答案】
【分析】连接，由切线性质、及四边形内角和为得到，再根据圆周角定理即可得到．
【详解】解：连接，如图所示：
分别切于点，，，
，由四边形内角和为得到，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及切线性质、四边形内角和、圆周角定理等知识，熟记相关性质是解决问题的关键．
13．（2023上·河南漯河·九年级统考期中）如图，分别与相切于点A，B，为的直径，若，则的形状是 ．
【答案】等边三角形
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，然后利用四边形内角和定理即可得是等边三角形．
【详解】解：如图，连接，
∵为的直径，∴，由圆周角定理得：，
∵分别与相切于点A，B，∴，
∴，
∴为等边三角形．故答案为：等边三角形．
14．（2023上·湖南湘西·九年级统考阶段练习）如图1，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任意一点的位置可由的长度与的度数确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果与相切于点，，射线与交于，两点，连接，，则点的极坐标应记为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质、极坐标的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，证明为等边三角形，得到，根据勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】解：连接，如图，
∵与相切，∴，∵，∴，
∵，∴为等边三角形，∴，
∴，，∴，
由勾股定理得：，即，解得，
∴，∴点的极坐标应记为，故答案为：．
15．（2023上·湖北随州·九年级校联考期中）中，，以C为圆心所作的圆与边仅一个交点，则半径r为 ．
【答案】或
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解决本题需要掌握直线与圆的位置关系等有关知识．分两种情况，①相切，画出符合条件的图形，然后根据切线性质和三角形的面积即可求出答案； ②相交，画出图形如图所示，进而确定的取值范围，从而使问题得解．
【详解】∵∴，
分为两种情况：①如图1，当与相切时，只有一个公共点，则．
由三角形的面积公式得：，
∴，∴，即．
②如图2，当时，与只有一个公共点，
故答案为：或．
16．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与相切于点E，F．已知，则的长度为 ．
【答案】
【分析】如图，作，，与交于点，则，由折叠的性质可知，扇形与扇形半径相同，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作，，与交于点，
∴，
由折叠的性质可知，扇形与扇形半径相同，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠的性质，四边形内角和，弧长等知识．熟练掌握折叠的性质，弧长公式是解题的关键．
17．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、切线的判定及性质、菱形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，利用得，可得，再根据切线的判定及性质可判断①，利用三角形的判定及性质得，再根据菱形的判定即可判断②，利用含角的直角三角形的特征可判断③，利用菱形的性质可判断④，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：连接，，，，，
，，
与相切于点C，，，
是的直径，与相切；故①正确；
，，，
，，，
，∴四边形是菱形，故②正确；
，，
，，，，
，，故③正确；
∵四边形是菱形，，
，故④正确；故答案为：①②③④．
18．（2023上·浙江台州·九年级台州初级中学校考阶段练习）如图，，半径为的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理；设半径为的与角的两边相切于，，连接，，延长交于，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，如图，延长交于，推出与是直角三角形，根据直角三角形的性质得到，，求得，当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，则四边形是正方形，根据正方形的性质得到，求得；如图，当与相切且点在圆心的，左侧时，有最小值，同理可得于是得到结论．
【详解】解：设半径为的与角的两边相切于，，如图，连接，，延长交于，，
，是直角三角形，，
，，，，
如图，延长交于，，，，
，，与是直角三角形，
，，，
当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，
连接，则四边形是正方形，，，
(；
如图，当与相切且点在圆心的左侧时，有最小值，
同理可得(；
故的取值范围是，故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，与相切于点A，与相交于点B，点C在上，且与点A，B 不重合，若，求的度数．
【答案】31°
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，根据切线的性质可得，即可求得，再根据圆周角定理，可得的度数，熟知同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
与相切于点A，∴，
，∴．
20．（2023·浙江九年级课时练习）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作，(1)当半径为何值时，与直线相切；(2)当半径为何值时，与直线相切；
(3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离．
【答案】(1)当半径为3时，与直线相切；(2)当半径为2.4时，与直线相切
(3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离
【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可；
（2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求；
（3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，∴，∴，，
∵圆心到边的距离为，与直线相切，
∴，则当半径为3时，与直线相切；
（2）连接，过作，交于点，
∵在中，，，∴，
又∵，∴圆心到边的距离，
又与直线相切，∴，则当半径为2.4时，与直线相切；
（3）∵与直线相交，圆心到边的距离为，∴，
又与直线相离，圆心到的距离为，∴，
则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离．
【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．
21．（2023上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题∶
(1)在单位长度为1的正方形网格中标出该圆弧所在圆的圆心；(2)请在(1)的基础上，完成下面问题∶①的半径为 ； ②判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)①；②是的切线，理由见解析
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线与的垂直平分线，交于点O，则O点即为的圆心；（2）①在中，利用勾股定理即可求解；②连接，利用勾股定理的逆定理得，进而可求解．
【详解】（1）解：连接，，，作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，交线段的垂直平分线于点，O点即为的圆心，如图所示，点O即为所求：
（2）①在中，，，
的半径为：，故答案为：；
②是的切线，理由如下：连接，如图：
由①得：,在中，，，
，，即：，
是直角三角形，且，，是的切线．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、确定圆心及切线的判定，熟练掌握勾股定理及其逆定理及切线的判定是解题的关键．
22．（2023上·山东日照·九年级统考期中）（1）如图，是的直径，与交于点F，点E在上，连接、， ，求证： ；从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若，，求的长．
【答案】（1）②作为条件，①作为结论；见解析；（答案不唯一）（2）
【分析】（1）连接，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质得到，利用垂直的定义，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）连接，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【详解】解：若②作为条件，①作为结论．
证明：连接，如图， ∵弦平分，∴，
∵，∴，∴，∴．
∵，∴．∵为的半径，∴与相切；
若①作为条件，②作为结论．
证明：连接，如图， ∵弦平分，∴，
∵，∴，∴，
∴．∴与相切，为的半径，∴，∴．
（2）解：连接，∵弦平分，∴，∴，∴．
∵， ∴，又，，∴，
∵四边形为圆的内接四边形，∴，
∵为的直径，∴．∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查圆的有关性质，圆周角定理，弧、弦、圆周角的关系，角平分线的定义，平行线的判定与性质，垂直定义，圆的切线的判定与性质定理，勾股定理，圆的内接四边形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
23．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）【观察思考】：
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动．在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得分米，分米，分米．
(1)点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；
(2)如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小．”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是______分米；
【答案】(1)12(2)不对，详见解析(3)6
【分析】（1）当O、P、Q三点共线时，在中，由勾股定理可求得的长度即可解答；
（2）显然不对，当Q、H重合时，，显然构不成直角三角形，故与不相切；（3）当P到直线l的距离最长时，这个最大距离为，此时直线l；
【详解】（1）解：当O、P、Q三点共线时，分米
在中，由勾股定理可求得，
∴点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米．故答案为：12；
（2）解：不对．理由如下：∵，
∵当Q、H重合时，，∵，即，
∴与不垂直．∴与不相切．
（3）因为的值永远是6，只有时，点P到直线l的距离最大，此时最大的距离是6分米；
【点睛】本题主要考查了勾股定理、切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
24．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，为的直径，C为延长线上一点，是的切线，D为切点，于点E，交于点F．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）连接，得到，结合求得，然后利用得到，从而得到，再利用得到，从而，最后得证结果；（2）根据三角形的中位线定理得到，设，，根据相似三角形的性质得到的长度，表示的长度，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，则，，
是的切线，是的直径，
，，，
，，，
，；
（2），，∴，
是的中位线，，
，设，，则，
∴，，
，，，
，，，∴，
∵，∴，解得：（负根舍去），
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形，三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线．
25．（2023·江苏淮安·校考三模）如图1，在外取一点P，作直线分别交于B、A两点，先以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点O为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点C，连接．完成下列任务：
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，继续作点C关于直线的对称点D，连接，交于点E，连接．
①若，则______；②若的半径为13，，求的长．
【答案】(1)与相切，理由见解析(2)①，②
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质，推导，从而证明PC与⊙O相切；
（2）①根据为的切线和点C关于的对称点为点D，从而可知，再根据圆周角定理即可得到，再由求出，继而求出；
②利用⊙O的半径为15，求出，再利用求出，继而求出的长即可．
【详解】（1）由题意得：，，连接，
∵是直径，∴，即点C是得中点，
又∵，即是等腰三角形，∴，(三线合一)∴与相切
（2）①∵为的切线，∴，∴．
∵点C与点D关于的对称，∴，，
∴，点D在圆上，∴，
∵，∴；又∵，∴
又∵，∴，∴，故答案为：；
②∵，，∴，
∵，，∴
∴，即∴，∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识和基本模型是解题的关键．
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专题2.1 直线与圆的位置关系
模块1：学习目标
1.了解直线与圆的三种位置关系；
2.了解圆的切线的概念；
3.熟练掌握切线性质及判定定理；
模块2：知识梳理
考点1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无公共点；
2、直线与圆相切 有一个公共点；
3、直线与圆相交 有两个公共点；
考点2 切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如右图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
模块3：核心考点与典例
考点1、判断直线与圆的位置关系
例1．（2023上·江苏南京·九年级统考阶段练习）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 ．
变式1. （2023上·广东肇庆·九年级校考阶段练习）已知的半径是，点到同一平面内直线的距离为一元二次方程的根，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
变式2. （2023上·江苏盐城·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆（ ）
A．与x轴相切，与y轴相交 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相切，与y轴相离
考点2、已知直线与圆的位置关系求参数
例1．（2022下·福建南平·九年级福建省南平第一中学校考自主招生）如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023·江苏镇江·统考中考真题）已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ．
变式2.（2022上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知的斜边，直角边．以点C为圆心，当半径r取 值时，与边只有一个公共点．
考点3、直线与圆的相关平移问题
例1．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
变式1.（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
变式2.（2023上·江西南昌·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点（点A在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切．
考点4、切线的相关概念辨析
例1．（2023上·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线
变式1.（2023上·广东九年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线
变式2.（2023·浙江昌·九年级校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
考点5、切线的性质定理（求角度）
例1．（2023上·河南许昌·九年级统考期中）如图，为直径，P是外的一点，，分别与相切于点A，B，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023上·北京西城·九年级校考阶段练习）如图，交于点切于点，点在上． 若，则为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023上·湖北·九年级校联考期中）图，在平面直角坐标系中，已知点，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，B 为切点，是的直径，则 °．
考点6、切线的性质定理（求长度）
例1．（2023上·重庆潼南·九年级校联考期中）如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．4
变式1. （2023上·江苏扬州·九年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，线段的中点P的坐标为，与x轴相切于点C，则的长度为 ．
变式2.（2023上·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，与相切于点平分． (1)求证：．(2)若，求的长．
考点7、切线的判定定理（添加条件）
例1．（2023·浙江·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
变式1.（2023·浙江九年级课时练习）如图，为的直径，，当 时，直线与相切．
变式2.（2023上·江苏淮安·九年级淮安市洪泽实验中学校考阶段练习）如图，直线、相交于点O，，半径为2的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离6处．如果以1的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后与直线相切．
考点8、切线的判定定理（证明）
例1．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在中，，平分交于点E，点D在边上且．(1)判断直线与外接圆的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的值．
变式1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）在四边形中，，，以点为圆心，长为半径作，连接，交于，(1)试判断与的位置关系，并说明理由．(2)若，求图中阴影部分的面积．
变式2．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，，点在上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．
考点9、切线的作法
例1．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法：
(1)在图①中，已知，点P在上，过点P作的切线；
(2)在图②中，已知，点Q在外，过点Q作的切线．
变式1.（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；(2)在（1）的条件下，若，求的长．
变式2.（2023·江苏徐州·校考三模）如图，已知P是外一点．按要求完成下列问题：
(1)作图：(保留作图的痕迹)。①连接，与交与点A，延长，与交于点B；
②以点P为圆心，长为半径画弧，以点O为圆心，长为半径画弧；
③两弧相交于点C，连接，与交于点D，连接，．
(2)证明：为的切线；(3)计算：利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据，可计算出弧与弦所围“弓形”的面积为______．(结果保留根号或精确到)
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·山东聊城·九年级统考期中）在中，，，，以点C为圆心，2为半径作，直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
2．（2023·浙江九年级期中）已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的直径可能为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广东揭阳·统考一模）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则
4．（2023·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是( )
A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)
5．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，切于点，连结交于点交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·四川绵阳·九年级校考期中）如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023上·山东德州·九年级校联考期中）如图，点A在半径为2的上，过线段上的一点作直线，与过点的切线交于点，且，设，则的面积关于的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·河北张家口·九年级统考期中）如图，在中，，，．O是边上一点，以点O为圆心，长为半径在边的右侧作半圆O，交边于点P，交边于点Q．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当的长度最短时，半圆O的半径为
结论Ⅱ：当时，与半圆O相切，且
A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ、Ⅱ都对 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
9．（2023上·江苏常州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（ ）．
A．6 B．12 C．24 D．36
10．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，正方形中和中，，连接．若绕点A旋转，当最大时，（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022上·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
12．（2022上·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，分别切于点，点是上一点，且，则的度数为 ．
13．（2023上·河南漯河·九年级统考期中）如图，分别与相切于点A，B，为的直径，若，则的形状是 ．
14．（2023上·湖南湘西·九年级统考阶段练习）如图1，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任意一点的位置可由的长度与的度数确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果与相切于点，，射线与交于，两点，连接，，则点的极坐标应记为 ．
15．（2023上·湖北随州·九年级校联考期中）中，，以C为圆心所作的圆与边仅一个交点，则半径r为 ．
16．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与相切于点E，F．已知，则的长度为 ．
17．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是 （填序号）．
18．（2023上·浙江台州·九年级台州初级中学校考阶段练习）如图，，半径为的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，与相切于点A，与相交于点B，点C在上，且与点A，B 不重合，若，求的度数．
20．（2023·浙江九年级课时练习）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作，(1)当半径为何值时，与直线相切；(2)当半径为何值时，与直线相切；
(3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离．
21．（2023上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题∶
(1)在单位长度为1的正方形网格中标出该圆弧所在圆的圆心；(2)请在(1)的基础上，完成下面问题∶①的半径为 ； ②判断直线与的位置关系，并说明理由．
22．（2023上·山东日照·九年级统考期中）（1）如图，是的直径，与交于点F，点E在上，连接、， ，求证： ；从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若，，求的长．
23．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）【观察思考】：
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动．在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得分米，分米，分米．
(1)点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；
(2)如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小．”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是______分米；
24．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，为的直径，C为延长线上一点，是的切线，D为切点，于点E，交于点F．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
25．（2023·江苏淮安·校考三模）如图1，在外取一点P，作直线分别交于B、A两点，先以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点O为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点C，连接．完成下列任务：
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，继续作点C关于直线的对称点D，连接，交于点E，连接．
①若，则______；②若的半径为13，，求的长．
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