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专题2.2 切线长定理+专题2.3 三角形的内切圆
模块1：学习目标
1.理解切线长定义；
2.掌握切线长定理，灵活应用切线长定理解决问题；
3.掌握三角形的内切圆的相关概念及计算。
模块2：知识梳理
1.切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把这一点到切点之间的线段的长叫做切线长。
2.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3.三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形叫做圆的外切三角形。
4.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
5.内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
模块3：核心考点与典例
考点1、切线长定理的相关计算
例1．（2023·北京·九年级校考期中）如图，，，是的切线，，，为切点，若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】此题考查切线长定理，由与相切于点、与相切于点，可得，同理得，再由求得结果．熟练运用切线长定理解决问题是解题的关键．
【详解】解：与相切于点、与相切于点，，
，，
与相切于点、与相切于点，
，的长为3，故答案为：3．
变式1.（2023上·吉林白城·九年级校联考阶段练习）如图，分别切于A，B两点，为直径，，若，则的周长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查切线的性质、切线长定理以及等边三角形的判定与性质，由切线的性质得出，由切线长定理得出，判断出是等边三角形，从而得出的周长．
【详解】解：∵是切线，∴．
∵为直径，∴，∴，
∵∴∴是等边三角形，
∴的周长．故答案为：6．
变式2.（2023上·河南濮阳·九年级校考期中）如图，切线、分别与相切于点、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是切线长定理，通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于是解题的关键．
【详解】解：∵都是的切线，∴，同理，，
∴的周长，∴；故答案为：3．
变式3．（2023上·山东滨州·九年级校联考期中）如图，，是的两条切线，切点分别为A，B，若，点C为上任意一点（不与点A、B重合），则 ．
【答案】或
【分析】本题考查切线的性质和圆内接四边形的性质，熟练掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键，根据题意画出图形，连接、，根据切线的性质得到、的度数，再根据四边形的内角和是和圆的内接四边形对角互补，即可得到的度数．
【详解】解：连接、，，在弧上任取一点，连接、，如图所示：
∵，是的两条切线，切点分别为A，B，∴，
∵，∴在四边形中，，
若点在优弧上，则，
若点在劣弧上，则，
∴的度数是或，故答案为：或．
考点2、切线长定理的相关证明
例1．（2023上·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，为外一点，为的切线，切点分别为，直线交于点，交于点．
(1)求证：；(2)若，求证：；(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)．
【分析】（1）连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等，切线的性质，等腰三角形的性质和等量代换解答即可；（2）利用直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；（3）设，则，，，；再证明，得到，代入即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，∴，∴，
∵，∴，
∵为的切线， ∴，即，
∴，∴，∴；
（2）证明：由（1）知：，
∵，∴．
∵，∴，∴；
（3）解：设，则，∴，
∴，．
∵、为的切线，∴，平分，∴．
∵为的切线，∴，∴，
∴，∴，即：．
解得：或（不合题意，舍去），∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接是解决此类问题常添加的辅助线．
变式1.（2023上·广东云浮·九年级统考期末）如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点.(1)证明：是的切线.(2)如图2，连接，，求证：.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等边对等角得出，进而根据为切线，， ，得出，即可得证；（2）根据、、分别与相切于点D、E、C，根据切线长定理得出，，则，，，，即可得出，进而即可得证．
【详解】（1）证明：连接，∵为直径，∴.
在中，B为中点，∴，∴，
∵，∴， 又∵为切线，∴，
∴ ∴. 即，∴是的切线.
（2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C，
∴，，，， ∴，∴，
∴， ∴， ∴；
【点睛】本题考查了切线的性质与切线长定理，掌握切线的判定方法以及切线长定理是解题的关键．
变式2.（2022上·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）探究问题：
(1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．(2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径．
(3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径．
【答案】(1)的周长，证明见解析(2)6cm(3)1或2
【分析】（1）根据切线长定理由、分别切于、得到，由于过点的切线分别交、于点、，再根据切线长定理得到，，然后根据三角形周长的定义得到的周长，用等线段代换后得到三角形的周长等于；（2）连接，，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论；（3）根据题意作出图形，设与射线、射线相切于，，与相切于，于是得到，连接，，，推出四边形是正方形，得到，设的半径为，根据切线长定理列方程即可得到结论；得到三角形的内切圆，根据勾股定理和三角形面积公式可得半径为1．
【详解】（1）解：的周长，证明：、分别切于、，，
与为的切线，，同理得到，
的周长；
（2）解：如图1所示，连接，，
是的切线，，，
的周长为，，，的半径为；
（3）解：如图2所示，设与射线、射线相切于，，与相切于，则，
连接，，，，，
，四边形是正方形，，
设的半径为，，，，，
，，即，．
如图3所示，，
，解得．的半径为2或1．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，三角形的周长公式，正方形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
考点3、圆的外切四边形模型
例1．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ．
【答案】62°
【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．
【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，
∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．故答案为：62°．
【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．
变式1.（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．
(1)若，求的度数；(2)若，求的周长．
【答案】(1)(2)11
【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是：
（1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果；
（2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可
【详解】（1）解：∵，∴，
∵为的内切圆，∴，，
∴，∴；
（2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为，∴，，
∴的周长为：
∵，，，
∴．
变式2.（2023·九年级课时练习）如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．
【答案】（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m.
【分析】(1)由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC，
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
【详解】(1)AB+CD=AD+BC
证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，
所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，即AB+CD=AD+BC
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，
梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
【点睛】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .
考点4、直角三角形的内切圆半径
例1．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（ ）
A．48 B． C．24 D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质．
设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由的周长内切圆半径，即可求出的周长．
熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键．
【详解】解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且，
又，∴四边形是正方形，，
，，解得，
，，
，即的周长为，故选：C．
变式1.（2023上·江苏宿迁·九年级校考期中）三角形的两边长分别为6和8，第三边长是方程一个实数根，则此三角形内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的两根，根据构成三角形的条件确定这个三角形的三边长为，由此利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，根据等面积法得到求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵，∴，解得或，
当时，∵，∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当时，∵，∴此时能构成三角形，∴这个三角形的三边长为，
∵，∴该三角形是直角三角形，
如图所示，在中，点O是的内接圆，分别与相切于D、E、F，
∴，，
∵，∴，
∴，∴，∴圆O的半径为2，
∴此三角形内切圆的半径为2，故选B．
变式2.（2023上·广西南宁·九年级南宁十四中校考期中）如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】连接、、，，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，
【详解】解：连结接、、，，，，设半径为，
，，，，
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，且，
，
，故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径．
考点5、任意三角形的内切圆半径
例1．（2022上·广东湛江·九年级校考期末）如图，圆O是的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，若图中3个阴影三角形的面积之和为4，内切圆半径为1，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】根据题意可推出的面积为8，进而即可求解出的周长．
【详解】解：∵圆O是的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，图中3个阴影三角形的面积之和为4，∴的面积为8，
∵内切圆半径为1，∴的周长，则的周长为：16．故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，根据三角形内切圆半径乘以三角形周长除以2得出三角形面积是解决本题的关键．
变式1.（2023·广西梧州·统考二模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
【答案】A
【分析】作辅助线如解析图，根据，代入数据求解即可.
【详解】解：如图，设与的各边分别相切于点E、F、G，连接，设的半径为r，
则，，
∵，
又的周长为18，面积为9，∴，∴，故选：A.
【点睛】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键.
变式2.（2023上·福建福州·九年级统考期中）如图，在中，，，则它内切圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质和等腰三角形的性质，连接，，，把原三角形分成三个三角形，而这三个三角形的高就是内切圆的半径．等腰三角形的面积可通过作高求得，这样得到关于半径的方程，解方程即可．
【详解】解：作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，，
则，，，是内心，，
，．、、三点共线，，
设内切圆半径为，，，，，则，
又，．故答案为：．
考点6、三角形的内心相关运用
例1．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，点是的内切圆的圆心，若，则度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案．
【详解】解：∵O是的内心，∴，，
∵，∴，
∴，
∴．故选：D．
变式1.（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．以下结论中正确的结论有（ ）个
（1）平分；（2）；（3）；（4）；（5）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】此题考查相似三角形的判定，根据三角形的内心的性质和圆周角定理，相似三角形的判定逐项判断即可．
【详解】解：∵点E是的内心，∴平分，故（1）正确；
∴，∴，故（2）正确；∴，故（3）正确；
∵，，∴，故（4）正确；如图，连接，
∵点E是的内心，∴平分，平分，
∴，，又∵．
∴，，
即，故．故（5）正确；故选：A．
变式1.（2023上·广东珠海·九年级校考期中）如图，中，，，点是的内心，则的度数为 ．
【答案】
【分析】此题考查了三角形内心的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．由点是的内心，，，根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可求得与的度数，又由三角形内角和定理，即可求得的度数．
【详解】解：点是的内心，，，
，，
．故答案为：
考点7、内切圆与外接圆的综合运用
例1．（2023上·河北邢台·九年级校联考期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得分别是的角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵是的内心，，∴，，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵点又是的外心，∴，故选：．
变式1. （2023下·河北承德·九年级校联考阶段练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，求出，根据面积法求出，进而得出，可得，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：如图所示：的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，
设，，∴，
∵的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，
∴，，
根据三角形的面积可得：，
∴，即，
∴，∴，∴，
∴，∴内心与外心的距离为，故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内心与外心，勾股定理，得出三角形的内心与外心的位置是解题的关键．
变式2. （2023上·江苏扬州·九年级统考期中）【特例感知】（1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ．
【类比迁移】（2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】（3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______．
【答案】（1）3，；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）作于点F，求得，，利用勾股定理和面积法即可求解；
（2）结论：．只要证明，推出，，推出即可解决问题；
（3）过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为2，在中，理由勾股定理即可解决问题；
【详解】解；（1）作于点F，
∵平分，，，∴，
∵平分，∴，∵为直径，∴，
∵，∴，
∵，即，
∴，故答案为：3，；
（2）如图，结论：．
理由：作于，连接，．
平分，，，，，
，，，，
，，，
，，∴，，
．
（3）如图，过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．，正方形的边长为，
由（2）可知：，，
由切线长定理可知：，，
设内切圆的半径为，则解得，即，
在中，．故答案为：．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查切线的性质和切线长的性质定理，根据切线的性质和切线长的性质定理，得出，即可求解．
【详解】，是的切线，是的直径，
，，，
，，
．故选B．
2．（2023上·湖南湘西·九年级统考阶段练习）如图，P为外一点，、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【答案】C
【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理，得到，进而得到的周长为，即可．
【详解】解：由切线长定理，可知：，
∴的周长；故选C．
3．（2023上·北京海淀·九年级校考阶段练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查切线长定理，勾股定理；利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解．
【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，∴，
∵、是的切线，切点是D，交，于点，，∴，，
∵的周长为4，即，∴，
∵，∴，故选：B．
4．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在中，，则内切圆的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，直角三角形内切圆的性质，以及切线长定理．设、、与的切点分别为D、E、F；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出r的长．
【详解】解：如图，
在中，，根据勾股定理.
四边形中，，，∴四边形是正方形，
由切线长定理，得：，，；∴；
∴．故选：C．
5．（2022上·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，利用勾股定理可得，设，则，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解．
【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，
根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，
，，，，
，，，，
设，则，，，，
，，，设，
，，，
，．故选：C．
6．（2023·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）中，，，，则的外接圆和内切圆的半径分别（ ）
A．，1 B．5，2 C．，2.4 D．，2
【答案】A
【分析】先证得是直角三角形，设的外接圆和内切圆的半径分别为，，根据圆周角定理可知为的外接圆的直径，求得，然后根据的面积，求得，即可选出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，则为直角三角形，即：，
设的外接圆和内切圆的半径分别为，，
∵，∴为的外接圆的直径，则：，
的面积，
即：，解得：．故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆和内切圆，明确的面积是解题的关键．
7．（2022上·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接、，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，然后根据四边形内角和计算的度数．
【详解】解：连接、，如图：
，，
是的内切圆，与、分别相切于点、，
，，，
，，故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
8．（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵是四边形的内切圆，
∴，，， ，
∵，
∴，
∵，，，
∴，故选：A；
【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到．
9．（2023上·福建厦门·九年级校考期中）如图，在中，，，于点，点是上一点，连接，交于点，若，则下列说法正确的为（ ）
A．点为的外心 B．点为的内心
C．点、、在以为圆心的同一个圆上 D．点为中点
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，区分三角形的内心和外心是解题的关键．根据，得到，由得到，可得点是三角形角平分线的交点，进而判断点是的内心．
【详解】解：，，，
，，是的角平分线，
，，，
，是的角平分线，
交于点，点是三角形角平分线的交点，故点是的内心．故选：B．
10．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题．
【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，
，
，，
的长为，，，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·新疆·九年级校考阶段练习）如图，分别与相切于点A，B，连接，若，，则的半径等于 ．
【答案】2
【分析】此题考查了切线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．由、分别与相切于点、，，易得是等边三角形，则可求得的长，继而求得答案．
【详解】解：、分别与相切于点、，，，
，是等边三角形，，
，．
故的半径长为为2，故答案为：2
12．（2023上·江苏南京·九年级校考期中）如图，半径为4的与含有角的直角三角板的边切于点A，将直角三角板沿边所在的直线向左平移，当平移到与相切时，该直角三角板平移的距离为 ．
【答案】
【分析】根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的与圆相切于点，连接，过作，根据垂径定理得到为的中点，由平移前与圆相切，切点为点，根据切线的性质得到与垂直，可得为直角，由与为圆的两条切线，根据切线长定理得到，再根据，根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得出三角形为等边三角形，平移的距离，且，由求出为，在直角三角形中，由锐角三角函数定义求出的长，由可求出的长，即为平移的距离．
【详解】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：
设平移后的与圆相切于点，连接，过作，可得为的中点，
∵平移前圆与相切于点，∴，即，
∵平移前圆与相切于点，平移后圆与相切于点，
即与为圆的两条切线，
∴为等边三角形，
在中，，
则该直角三角板平移的距离为．故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，垂径定理，以及平移的性质，根据题意画出相应的图形，并作出适当的辅助线是解题的关键．
13．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考期中）如图，，分别与相切于，，切于，已知，的半径为，则的周长是 ．
【答案】24
【分析】本题考查了切线长定理；利用勾股定理求得切线的长，再根据切线长定理可知，，，进而可求出结果．
【详解】解：连接．
∵，与相切，∴，，
在中，由勾股定理可得．
根据切线长定理可得，，，
所以的周长．故答案为：．
14．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，四边形的各边都与相切，若，则四边形的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了切线长定理，关键是由切线长定理推出AB+CD=AD+BC．由切线长定理推出，，，，然后根据周长公式即可求解．
【详解】如图，，，，是切点
四边形各边与相切，，，
四边形的周长为故答案为：24．
15．（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）如图，是的内切圆，D，E分别为边，上的点，且为的切线．若的周长为32，的周长为12，则的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，，，再根据三角形周长公式即可求解，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
【详解】解：如图：
由切线长定理得：，，，，
，
，，故答案为：10．
16．（2023上·湖北随州·九年级校联考阶段练习）如图，的内切圆与、、、分别相切于点、、，且，，，则图中由线段、及组成的阴影部分的面积是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了求扇形面积，正方形的性质与判定，切线长定理，先得出是直角三角形，进而证明四边形是正方形，根据阴影部分面积等于正方形的面积减去个圆的面积，即可求解．
【详解】解：∵，，，∴∴，
∵的内切圆与、、、分别相切于点、、，
∴∴四边形是矩形，
又∵，∴四边形是正方形，则，如图所示，连接，，，
∴∵，
∴，∴，故答案为：．
17．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形的边长是，，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处，分别与，，相切，切点分别为F、G、H，则的半径为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定．
如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可．
【详解】解：如图所示，延长交于M，连接，
∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴，
由折叠的性质可得，∴，
又∵，∴， ∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，∴，
如图所示，连接
∵分别与，，相切，切点分别为，，，
∴，
∵，∴，
∴，∴的半径为，故答案为；2．
18．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②连接，，若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的序号是 ；
【答案】①②④
【分析】根据内心的定义和性质可求判定结论①；如图所示，连接，根据内心的定义和性质，三角形的内角和可判定结论②；根据题意，条件不足，可判定结论③；根据同弧或等弧所对圆周角相等，等腰三角形的判定和性质可判定结论④，由此即可求解．
【详解】解：结论①，
∵点是的内心，即是的角平分线，∴，
∵，∴，故结论①正确；
结论②连接，，若，则，如图所示，连接，
∵点是的内心，∴，，
∴，
∵，∴在中，，
∴，
∴在中，，故结论②正确；
结论③若点为的中点，则，
∵点是的内心，∴，∵点是的中点，∴，
∵，无法证明，
∴不一定等于，即不一定成立，故结论③错误；
结论④，根据题意，平分，∴，∵，
∴，（三角形的外角性质），
∴，∴，故结论④正确；
综上所述，正确的有①②④，故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握三角形内心的定义（角平分线的交点）和性质，同弧（或等弧）所对圆周角相等，三角形内角和，外角和，等腰三角形的判和性质等知识的的综合运用是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·河南漯河·九年级统考期中）已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：(1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，内切圆的半径为1，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了三角形内切圆，作角平分线，作垂线等知识．熟练掌握三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心是解题的关键．（1）根据三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心，确定圆心，然后作垂线确定半径，最后作圆即可；（2）如图1，连接，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，作的平分线，交点即为圆心，过作于，以为圆心，为半径画圆，即为的内切圆；
（2）解：如图1，连接，∴，即，
解得，，∴的周长为．
20．（2022上·福建泉州·九年级校考期末）作图题：如图，在矩形中，已知，，
(1)用直尺和圆规在上找一点E，使平分，（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求内切圆半径r的值．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）以B为圆心，长为半径画弧交于E，连接，，则平分
（2）先分别利用勾股定理求得、，然后利用三角形内切圆的性质列方程即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．
（2）解：由（1）作图可知，，
∴在中，，∴，
∴在中，
∵内切圆半径为r，∴内切圆的圆心到的三边的距离都为半径r，
∴，即，解得．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质、三角形内切圆的性质．
21．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点．设，．
(1)点O到直线的距离为 ；(2)求y与x的函数解析式．
【答案】(1)3(2)
【分析】（1）连接，与相切于点E，推导出半径，即点O到直线的距离即为圆的半径，据此解答；（2）首先作交于F，可得四边形是矩形；然后根据切线长定理得到，，则；在直角中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵与相切于点E，∴半径，∴即为点O到直线的距离，
∵，∴，
（2）作交于F．如图2，
∵、与切于点定A、B，∴，．
又∵，∴，
∴四边形是矩形，∴，，
∵，∴．
∵切于E，∴， ，则，
在中，由勾股定理得：，整理为，
∴y关于x的函数解析式为．
【点睛】本题考查了切线的性质、切线长的定理的应用，圆周角定理以及直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，反比例函数的应用等知识点，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理来解题．
22．（2023上·山东德州·九年级校联考期中）如图，在中．．
(1)用直尺和圆规作出，使圆心在边上，并与其他两边都相切，与边相切于点；（保留作图痕迹，不写作法）(2)通过作图，试说明与相切的理由；(3)求的半径．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)3．
【分析】（1）作的角平分线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆即可；
（2）过点作，垂足为点．由题可知，是的角平分线，利用圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切即可证明；（3）由勾股定理得，根据切线长定理得，进而得，在中，利用勾股定理构造方程即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：过点作，垂足为点．
由题可知，是的角平分线 ∵，
是的角平分线
又∵，是的半径，与相切；
（3）解：在中，．
与相切
设半径为，则，
根据勾股定理得，解得半径为．
【点睛】本题主要考查了切线得判定、切线长定理、勾股定理、尺规作角的角平分线以及角平分线的性质定理，熟练掌握切线判定、切线长定理、勾股定理、尺规作角的角平分线是解题的关键．
23．（2023上·江苏盐城·九年级校考期中）[数学概念]我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图，四边形内接于．且每条边均与相切，切点分别为、、、．因此该四边形是双圆四边形．
[性质初探]（1）双圆四边形的对角的数量关系是 ：双圆四边形的边的性质：对边之和相等即．
[特例研究]（2）已知、分别是双圆四边形的内切圆和外接圆的圆心，如图，若，，．求边的长；
①的半径为 ，②的半径为 ；③的长为 ．
【答案】（1）对角互补；（2）AD=8；①；②；③
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补性质，解答即可；
（2）先根据（1）中的结论可得在直径上，作辅助线，要构建正方形，由三角函数设，，根据可列方程，从而得结论；在中，勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】解：（1）解：四边形内接于，(圆内接四边形对角互补)．
故答案为：对角互补；圆内接四边形的对角互补．
（2）连接，连接，，
，是的直径，由题意知：，，，
设，则，，
，，，，，，
，，，，
点在上，，，四边形是正方形，，
，，，，
设，，，，即的半径为
，，，，
，即的半径为，
在中，，，，，
．故答案为：①；②；③．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线长定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线．
24．（2023·山东济宁·中考模拟）阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∴．
（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；
（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值.
【答案】（1）（2）.
【分析】（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，则△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形，根据即可求得四边形的内切圆半径r.
（2）过点D作DE⊥AB于点E，分别求得AE的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD的长；然后根据，，两式相除，即可得到的值.
【详解】解：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD.
∵∴
（2）如图（3），过点D作DE⊥AB于点E，
∵梯形ABCD为等腰梯形，∴∴
在Rt△AED中，∵AD=13，AE=5，∴DE=12，∴
∵AB∥DC，∴.又∵，∴.即.
25．（2023上·江苏南京·九年级校考阶段练习）（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示）
（2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________；
②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________；
（3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．
【答案】（1）；（2）①，②；（3）
【分析】（1）当P在延长线上时，最大为：．当P在上时，最小为：．
（2）①由沿将翻折得到，可知，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆，则当E、P、B三点共线时，小，此时进而即可求解；②由和是等腰直角三角形，可证，得，进而 ，当C、A、B三点共线时，最大，进而可求解；
（3）以为边作，在的异侧作等边，为半圆O的直径，，由，由是等边三角形，可得，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，进而可求；
【详解】解：（1）当P在延长线上时最大，如图：
∴最大为：．
当P在上时最小，如图：∴最小为：．故答案为∶．
（2）①如图：∵沿将翻折得到，
∴，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆，
∴当E、P、B三点共线时，小，此时，
∴的最小值为，故答案为：．
②∵和是等腰直角三角形，∴，
∴ ，即，
∴，∴，∴当最大时，就最大，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，∴当C、A、B三点共线时，最大，如图：∴此时．
（3）以为边作，在的异侧作等边，
∵为半圆O的直径，，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，
∴，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，而，∴，
在中，，∴，
当G、D、B三点共线时，BD最小，如图：∴最小值为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及翻折变换，全等三角形的判定及性质，三角形两边之差小于第三边等知识，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，等边三角形及转化思想的应用，综合性较强．
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专题2.2 切线长定理+专题2.3 三角形的内切圆
模块1：学习目标
1.理解切线长定义；
2.掌握切线长定理，灵活应用切线长定理解决问题；
3.掌握三角形的内切圆的相关概念及计算。
模块2：知识梳理
1.切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把这一点到切点之间的线段的长叫做切线长。
2.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3.三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形叫做圆的外切三角形。
4.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
5.内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
模块3：核心考点与典例
考点1、切线长定理的相关计算
例1．（2023·北京·九年级校考期中）如图，，，是的切线，，，为切点，若，，则的长为 ．
变式1.（2023上·吉林白城·九年级校联考阶段练习）如图，分别切于A，B两点，为直径，，若，则的周长为 ．
变式2.（2023上·河南濮阳·九年级校考期中）如图，切线、分别与相切于点、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为，则线段的长为 ．
变式3．（2023上·山东滨州·九年级校联考期中）如图，，是的两条切线，切点分别为A，B，若，点C为上任意一点（不与点A、B重合），则 ．
考点2、切线长定理的相关证明
例1．（2023上·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，为外一点，为的切线，切点分别为，直线交于点，交于点．
(1)求证：；(2)若，求证：；(3)若，求的长．
变式1.（2023上·广东云浮·九年级统考期末）如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点.(1)证明：是的切线.(2)如图2，连接，，求证：.
变式2.（2022上·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）探究问题：
(1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．(2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径．
(3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径．
考点3、圆的外切四边形模型
例1．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ．
变式1.（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．
(1)若，求的度数；(2)若，求的周长．
变式2.（2023·九年级课时练习）如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．
考点4、直角三角形的内切圆半径
例1．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（ ）
A．48 B． C．24 D．
变式1.（2023上·江苏宿迁·九年级校考期中）三角形的两边长分别为6和8，第三边长是方程一个实数根，则此三角形内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
变式2.（2023上·广西南宁·九年级南宁十四中校考期中）如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点5、任意三角形的内切圆半径
例1．（2022上·广东湛江·九年级校考期末）如图，圆O是的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，若图中3个阴影三角形的面积之和为4，内切圆半径为1，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
变式1.（2023·广西梧州·统考二模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
变式2.（2023上·福建福州·九年级统考期中）如图，在中，，，则它内切圆的半径为 ．
考点6、三角形的内心相关运用
例1．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，点是的内切圆的圆心，若，则度数等于（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．以下结论中正确的结论有（ ）个
（1）平分；（2）；（3）；（4）；（5）
A．5 B．4 C．3 D．2
变式1.（2023上·广东珠海·九年级校考期中）如图，中，，，点是的内心，则的度数为 ．
考点7、内切圆与外接圆的综合运用
例1．（2023上·河北邢台·九年级校联考期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023下·河北承德·九年级校联考阶段练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
变式2. （2023上·江苏扬州·九年级统考期中）【特例感知】（1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ．
【类比迁移】（2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】（3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖南湘西·九年级统考阶段练习）如图，P为外一点，、分别切于点A、B，切于点E，分别交、于点C、D，若，则的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
3．（2023上·北京海淀·九年级校考阶段练习）如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在中，，则内切圆的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．（2022上·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（2023·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）中，，，，则的外接圆和内切圆的半径分别（ ）
A．，1 B．5，2 C．，2.4 D．，2
7．（2022上·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·福建厦门·九年级校考期中）如图，在中，，，于点，点是上一点，连接，交于点，若，则下列说法正确的为（ ）
A．点为的外心 B．点为的内心
C．点、、在以为圆心的同一个圆上 D．点为中点
10．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·新疆·九年级校考阶段练习）如图，分别与相切于点A，B，连接，若，，则的半径等于 ．
12．（2023上·江苏南京·九年级校考期中）如图，半径为4的与含有角的直角三角板的边切于点A，将直角三角板沿边所在的直线向左平移，当平移到与相切时，该直角三角板平移的距离为 ．
13．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考期中）如图，，分别与相切于，，切于，已知，的半径为，则的周长是 ．
14．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，四边形的各边都与相切，若，则四边形的周长为 ．
15．（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）如图，是的内切圆，D，E分别为边，上的点，且为的切线．若的周长为32，的周长为12，则的长为 ．
16．（2023上·湖北随州·九年级校联考阶段练习）如图，的内切圆与、、、分别相切于点、、，且，，，则图中由线段、及组成的阴影部分的面积是 ．
17．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形的边长是，，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处，分别与，，相切，切点分别为F、G、H，则的半径为 ．
18．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②连接，，若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的序号是 ；
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·河南漯河·九年级统考期中）已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：(1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，内切圆的半径为1，求的周长．
20．（2022上·福建泉州·九年级校考期末）作图题：如图，在矩形中，已知，，
(1)用直尺和圆规在上找一点E，使平分，（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求内切圆半径r的值．
21．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点．设，．
(1)点O到直线的距离为 ；(2)求y与x的函数解析式．
22．（2023上·山东德州·九年级校联考期中）如图，在中．．
(1)用直尺和圆规作出，使圆心在边上，并与其他两边都相切，与边相切于点；（保留作图痕迹，不写作法）(2)通过作图，试说明与相切的理由；(3)求的半径．
23．（2023上·江苏盐城·九年级校考期中）[数学概念]我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图，四边形内接于．且每条边均与相切，切点分别为、、、．因此该四边形是双圆四边形．
[性质初探]（1）双圆四边形的对角的数量关系是 ：双圆四边形的边的性质：对边之和相等即．
[特例研究]（2）已知、分别是双圆四边形的内切圆和外接圆的圆心，如图，若，，．求边的长；
①的半径为 ，②的半径为 ；③的长为 ．
24．（2023·山东济宁·中考模拟）阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∴．
（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；
（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值.
25．（2023上·江苏南京·九年级校考阶段练习）（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示）
（2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________；
②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________；
（3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．
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