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专题2.5 圆中的外接圆和内切圆模型
模块1：知识储备
内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。
三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。
外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。
三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。
模块2：核心模型点与典例
模型1、内切圆模型
1）三角形的内切圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。
图1 图2 图3
2）直角三角形的内切圆模型
条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；
3）四边形的内切圆模型
条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。
结论：。
例1．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）如图，在中，，是的内切圆，连接，交于点D、E，已知，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，求得圆心角的度数，然后根据扇形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵，是的内切圆，∴分别平分和，
∴，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题关键．
例2．（2023·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，由三角形内角和定理可得出答案．
【详解】解：截的三条边所得的弦长相等，
到三角形三条边的距离相等，即是的内心，，，
，，
，故选：C．
【点睛】本题考查的是内心的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
例3．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是 ．
【答案】1
【分析】先根据勾股定理求出，由切线长定理得，，，设，则，，然后根据，求解即可．
【详解】解：在中，∵，，，∴，
∵为的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴，，，如图，连接，，
∵为的内切圆，∴，
∴，∴四边形是正方形，
设，则，，
∵，∴，∴，则的半径为1．故答案为：1．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理．
例4．（2023秋·浙江九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．
【详解】解：设内切圆的半径为r解得：r=1故选D．
【点睛】此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键．
例5．（2023·福建福州·九年级校考期末）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ．
【答案】4
【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长度，再判断四边形为正方形，然后利用切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．
【详解】如图，连接、，
在中，，
设内切圆半径为r，、为的切线，∴，，
∵，，∴四边形为正方形，∴，
由切线长定理得，，，，，
∴，解得，
则的周长为．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．
例6．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在直角坐标系中，一直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，且，若是的内切圆，与、、轴分别相切，与、、轴分别相切，……按此规律，则的半径 ．
【答案】
【分析】连接、、，作于，于，于，将三角形分解成三个三角形，再根据三个三角形的面积之和等于的面积，即可得出半径的值，再根据题意依次列出，…的半径大小，找出规律即可．
【详解】解：如图所示，连接、、，作于，于，于，
则，过点作轴于，∴轴，
∵，，即点是的中点，∴点是的中点，是的中位线，
∴，，∴，，，
∴，，，，
∵，∴，
同理可得：，，…，∴，
依此类推可得：的半径，故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，勾股定理，三角形的中位线，规律型．根据题意列出等式，适当地对图形进行分解，总结出规律是解题的关键．
例7．（2023·广东东莞·九年级校考期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，，，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取内切圆的圆心O，连接圆心与切点，由，可得∠BAC=60°，再根据内切圆的圆心的是三角形三条角平分线的交点，可知∠OAE=30°，从而得到AE=，CE=1， CD=1，再用勾股定理即可求解．
【详解】解：取内切圆的圆心O，与AC，AB的切点E、F，连接OD、OE、OF．
∵，，∴∠BAC=60°，
∵内切圆的圆心的是三角形三条角平分线的交点，∴
又∵OE=1，OE⊥AC（切线的性质），∴AE=，
∵OE⊥AC，OD⊥BC，，∴四边形CDOE是矩形，
又∵OD=OE，∴四边形CDOE是正方形，∴CE=CD=OE=1， ∴AC= AE+CE=+1，
在Rt△ACD中，，∴，
∴，故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，正方形的判定与性质，三角形的内切圆，切线的性质等知识，根据题意正确画出的辅助线是解题的关键．
模型2、多边形的外接圆模型
1）三角形的外接圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。
结论：①OA=OB=OC；②。
图1 图2 图3
2）等边三角形的外接圆模型
条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。
结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；
3）四边形的外接圆模型
条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
结论：①；；②。
例1．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（ ）
A．60° B．65 C．70° D．75°
【答案】B
【分析】利用三角形内心的性质得OB，OC分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，如图，
点 O 是△ABC 的内心，，，
，
，
点 O是△DBC 的外心，，故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键．
例2．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接，∵点I是的内心，，
∴，∴，
∵，∴，故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．
例3．（2023·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质得出内心和外心都在底边的高AD上，根据勾股定理得出方程，即可求出外接圆的半径，根据三角形的面积公式即可求出内切圆的半径．
【详解】解：如图，
∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，
∴过A作AD⊥BC于D，则外接圆的圆心O在AD上，连接OB、OC，
∴BD=CD=BC=8，AD==6，∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，
∴R2=（6-R）2+82，∴R=；如图，过A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC的外心I在AD上，过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC，
则IF=IE=ID=r，∵S△ABC=S△BIC+S△AIC+S△ABI，
∴由三角形的面积公式得：BC×AD=BC×r+AC×r+AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r=，
即三角形ABC的外接圆半径R=，内切圆半径r=，故答案为：，．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆和内切圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
例4．（2023·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则 ．
【答案】
【分析】连接，过点M作于点D，作于点E，作于点F，根据勾股定理求得，根据三角形的外心性质求得，由三角形的内心性质得，再根据三角形的面积公式，由的边长求得，进而证明四边形为正方形，求得，再证明得，进而求得，最后由勾股定理求得．
【详解】解：连接，过点M作于点D，作于点E，作于点，
∵，，，∴，
∵N为的外心，∴，∵M为的内心，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴四边形为正方形，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内心与外心性质，三角形的面积公式，全等三角形的性质与判定，正方形的判定与性质，勾股定理，关键是作辅助线，利用三角形的内心与外心性质求得、．
例5．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连结，，．(1)求证：．(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)8
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，，进而得出，可证明，由圆周角定理得出，则，根据平行线的性质可得；
（2）由，是的中点，得出是的中点，由圆周角定理，直角三角形的性质结合，得出，继而证明，由相似三角形性质得出，进而得出的长度．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵为直径，∴，∴，∴，∴；
（2）如图，
∵，是的中点，∴，即，∴是的中点，
∵为直径，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即，∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质、等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
例6．（2023湖北武汉九年级上期中）如图，点A、P、B、C为⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC形状并证明；（2）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB，请画出图形，直接写出PA，PB，PC三者之间的数量关系 ．
【答案】（1）△ABC是等边三角形；证明见解析；（2）PC＝PB+PA．
【分析】（1）结论：△ABC是等边三角形．证明三个内角都是60°即可；
（2）证明△PBM是等边三角形，可得结论．
【详解】解：（1）结论：△ABC是等边三角形．
理由：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．
（2）图形如图所示，由圆周角定理可知∠BAP=∠BCP，
由旋转的性质可知∠BAP=∠BCM，∠PBM＝60°，∴点M恰好在CP上，
∵∠BPM＝∠PBM＝60°，∴△PBM是等边三角形，
∴PB＝PM，∴PC＝PM+CM＝PB+PA，故答案为：PC＝PB+PA．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键掌握圆周角定理，灵活运用所学知识解决问题．
例7．（2023广东中考模拟）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA=PB+PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度．
【答案】（1）∠BPC=120°，（2）证明见解析；（3）CM=．
【分析】（1）由圆周角定理得∠BPC与∠BAC互补；
（2）在PA上截取PD=PC，可证明△ACD≌△BCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC；
（3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x，△BPM∽△ACM，所以BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解此分式方程求出x．
【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，
∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，
∴四边形ABPC是圆的内接四边形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，
（2）证明：连结CD．在PA上截取PD=PC，
∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；
（3）∵△PCD和△ABC都为等边三角形，∴∠MDC=∠ACM=60°，CD=PC，
又∵∠DMC=∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB=4，PC=2，
∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=PC：AC=2：4=1：2，
设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x
∵∠BMP=∠CMA，∠PBM=∠CAM，∴△BPM∽△ACM，
∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，
解得x=（舍去负值），∴CM=．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理以及等边三角形的性质，是一个综合题，难度较大．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·湖北恩施·九年级统考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．10 B．10 C．14 D．16
【答案】C
【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3，然后根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3∴BC=BE+CE =5，AB=AD+BD=4，AC=BF+FC=BC=5，
∴△ABC的周长=2+2+5+5=14．故答案为C．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识点，灵活利用切线长定理是解题答本题的关键．
2．（2023春·湖北九年级课时练习）已知的内切圆的半径为，且，的周长为16，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，画出图形，，过点作，，，连接，根据内切圆的性质，可得，求得线段，再根据切线长定理求解即可．
【详解】解：根据题意，作出图形，过点作，，，连接，如下图：
由切线长定理可得：，，，，，，
∵，∴，
∴，∴，即，
在中，，，∴，由勾股定理可得：，
的周长为16，可得：解得，故选：C．
【点睛】此题考查了圆与三角形的综合应用，涉及了切线长定理，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
4．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（ ）
A． B．
C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等
【答案】C
【分析】根据是折痕，可知平分，平分，点为的内接圆的圆心，由此即可求解．
【详解】解：∵是折痕，
∴平分，平分，点为的内接圆的圆心，如图所示，
于，于，于，
选项， 的度数无法确定，与的数量关系也不确定，故选项不符合题意；
选项， 的长度不确定，的数量关系也不确定，故选项不符合题意；
选项，根据角平分的性质可得，，即点到三边的距离相等，故选项符合题意；
选项， ，故选项不符合题意；故选：．
【点睛】本题考查三角形与圆的知识的综合，理解并掌握角平分线的性质，内切圆的知识是解题的关键．
4．（2022春·绵阳市九年级课时练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【详解】在⊙O中，∵∠CBD=32°，∴∠CAD=32°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，∴∠BEC=180°-58°=122°．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．
5．（2023·山西太原·校考模拟预测）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出的度数．
【详解】解：过点分别作、、，垂足分别为、、，连接、、、、、、、，如图：
∵，∴
∴∴点是三条角平分线的交点，即三角形的内心∴，
∵∴
∴．故选：C
【点睛】本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单．
6．（2023·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，在中，点为的内心，点在边上，且⊥，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】中，点为的内心，可求出的度数，根据四边形的内角和即可得出结论．
【详解】解：在中，，
点为的内心，
四边形的内角和，且
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义及多边形的内角和，牢固掌握相关概念是解题的关键．
7．（2023春·湖北九年级期中）点I是的内心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】先根据内心的定义得到，再根据作答即可．
【详解】如图，
∵点I是的内心，∴，
∵，∴；
∴；∴．故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形角平分线的交点．
8．（2023·重庆九年级期中）已知三角形三边长分别为5cm、5cm、6cm，则这个三角形内切圆的半径是（ ）
A．cm B．cm C．2cm D．3cm
【答案】B
【分析】由⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于E，切BC 于D，根据切线长定理得到AB=AC，A，O，D三点共线，求得BD，AD，BE，AE，由勾股定理列方程求解．
【详解】如图∵⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于E，切BC 于D，
∵AB=AC=5，∴A，O，D三点共线，∴BD=BC=3，∴AD= =4，
∴BE=BD=3，∴AE=2， 设三角形内切圆的半径为r，
∴（4-r）2=22+r2，∴r=cm，∴三角形内切圆的半径为cm．故选B．
【点睛】考查对三角形的内切圆与内心，切线长定理，切线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
9．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
【答案】D
【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，
∴，，
∴，∴．故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．
10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得到，过点D作于F，连接，可得四边形为平行四边形，可得，即可求出IE的长．
【详解】解：连接，如图，∵I为的内心，∴，∴，
又∵，，
∴，∴， ∴，
∵，∴，过点D作于F，连接，∴，
在中，由勾股定理得，，
∵点E为弦的中点∴为的中位线，
∴，，∴四边形为平行四边形，∴，故选C．
【点睛】本题是三角形外接圆和内切圆综合，考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，内心等等，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·山东泰安·九年级统考期末）如图，中，点是内心，若，则的度数为 ．
【答案】/115度
【分析】根据三角形内角和定理即可求得的度数，再根据内心的定义即可求得，然后根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵点是的内心，∴，
∴，故．故答案是：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心以及三角形内角和定理的知识，理解三角形内心的定义是解题关键．
12．（2023浙江年级上期中）在△ABC中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，则它的外接圆半径R = cm，内切圆半径r = cm.
【答案】 6.5， 2.
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据直角三角形外接圆半径=斜边的一半，即可得出结果．内切圆半径则通过三角形的面积去切入即可.
【详解】解：(1)∵∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，∴AB===13(cm)，
∴△ABC的外接圆的半径=AB=6.5cm，故答案为6.5cm.
(2)S△ABC=(AC+AB+BC)××r内=C△ABC=30，则△ABC的内切圆的半径为2cm.故答案为：2.
【点睛】本题考查了内切圆的定义与三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟悉内切圆与外接圆的概念以及运用.
13．（2023·广东广州·校考二模）如图，是的弦，点是上一点，与点关于对称，直线交于点， 交于点，直线交于点，且连接给出下面四个结论：①；②平分；③平分；④点为的内心．其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】连接、，根据轴对称的性质得垂直平分，可知正确，错误；再利用等腰三角形的性质和圆周角定理可知平分，同理，平分，进而判断正确．
【详解】解：连接、，
点与关于对称，垂直平分，故正确，错误；
，，，
，，，
平分，同理，平分，平分，
点为的内心，故正确，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内心的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14．（2023·贵州遵义·统考二模）已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为 ．
【答案】/
【分析】连接，，通过证明得到，求得线段，利用三角形的内心是三角形的三个内角平分线的交点，根据圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得的长，再利用三角形的外角的性质和等腰三角形的判定与性质得到，则．
【详解】解：连接，，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∵点为的内心，∴，分别为，的平分线，
∴，，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，
∴，∴∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理及其推论，等腰三角形的判定与性质，充分利用相似三角形的判定与性质求得相应线段的长度是解题的关键．
15．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点B的坐标为（4，0），以O点为圆心，以OB为半径的圆交y轴于点A，点C为第一象限内圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，作的外接圆，圆心为P，连接证明，求出，，求出点B的坐标为，当三点共线时，取得最小值，
【详解】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为P，连接
∵点I为的内心，∴，
在和中，，
∴，∴∠OIC＝∠OIB，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵点B的坐标为，∴，∴，∴，
当三点共线时，取得最小值，
此时．故答案为：．
【点睛】此题考查了圆和三角形的综合，解题的关键是熟悉圆和三角形的相关知识．
16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则 ．
【答案】
【分析】连接，过点M作于点D，作于点E，作于点F，根据勾股定理求得，根据三角形的外心性质求得，由三角形的内心性质得，再根据三角形的面积公式，由的边长求得，进而证明四边形为正方形，求得，再证明得，进而求得，最后由勾股定理求得．
【详解】解：连接，过点M作于点D，作于点E，作于点，
∵，，，∴，
∵N为的外心，∴，∵M为的内心，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴四边形为正方形，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内心与外心性质，三角形的面积公式，全等三角形的性质与判定，正方形的判定与性质，勾股定理，关键是作辅助线，利用三角形的内心与外心性质求得、．
17．（2023·北京·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，若点O为△ABC的外心，则∠AOC的度数是 ；若点P为△ABC的内心，则∠APC的度数是 ．
【答案】 80°/80度 110°/110度
【分析】先根据三角形内角和计算出∠ABC=40°，若点O为ABC的外心，利用圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC；若点P为ABC的内心，利用角平分线的性质和三角形内角和得到．
【详解】解：∵∠BAC=80°，∠C=60°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-60°=40°，
若点O为ABC的外心，如图1所示，则∠AOC=2∠ABC=80°；
∵点P为ABC的内心，如图2所示，，
∴．故答案为80°，110°．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外心．
18．（2023·山东泰安·九年级统考期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ．
【答案】140°
【分析】分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，首先根据三角形内心的性质以及三角形内角和定理求出∠IAB+∠IBA＝55°，进而求出∠CAB+∠CBA＝110°，然后根据三角形内角和定理求出∠ACB＝70°，最后根据圆周角定理即可求出∠AOB的度数．
【详解】解：分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，
∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∵∠AIB＝125°，∴∠IAB+∠IBA＝180°-∠AIB＝55°，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝110°，
∴∠ACB＝180°-（∠CAB+∠CBA）＝70°，
∵点O是△ACB是外心，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，故答案为：140°．
【点睛】此题考查三角形的内心和外心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意做出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I，进而利用三角形内心和外心的性质求解．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·天津北辰·九年级校考阶段练习）（1）尺规作图，如图作出△ABC 的外接圆⊙O；
（2）若AB=AC=10,BC=12,则△ABC 的外接圆半径R= ,△ABC 的内切圆半径r= ．
【答案】（1）见详解；（2）；3．
【分析】（1）分别作BC和AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，然后以点O为圆心，OC为半径作圆即可；
（2）过A作AD⊥BC于D，连接OB，可知O在直线AD上，然后在Rt△OBD中，利用勾股定理即可求出外接圆半径R；过A作AM⊥BC于M，由条件可知内心P在直线AM上，过P作PN⊥AB于N，利用△ANP∽△AMB，对应边成比例即可求出△ABC 的内切圆半径．
【详解】解：（1）如图所示，⊙O为所作，
（2）如图，过A作AD⊥BC于D，
由AB=AC=10可知，AD垂直平分BC，BD=CD=BC=6，
又∵圆心O在BC的垂直平分线上，∴O在直线AD上，
在Rt△ABD中，，
连接OB，设OA=OB=R，则OD=8-R，在Rt△OBD中，∵OD2+BD2=OB2，
∴（8-R）2+62=R2，解得，即△ABC外接圆的半径为；
如下图，过A作AM⊥BC于M，
由于AB=AC=10，BC=12，∴BM=CM=6，AM为∠BAC的角平分线上，
∴△ABC的内心在直线AM上，取点P为△ABC的内心，过P作PN⊥AB于N，
可知，PN=PM，在Rt△ABM中，，
设PN=PM =r，则AP=8-r，∵∠AMB=∠ANP=90°，∠NAP=∠MAB，∴△ANP∽△AMB，
∴，即，∴即△ABC内切圆的半径为3；答案为：；3．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了三角形的外心和内心，题目比较综合．
20．（2023秋·成都市九年级上期中）如图，⊙O是GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，切线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于点E、F．
（1）若△PEF的周长为12，求线段PA的长；（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半径．
【答案】（1）6；（2）1
【分析】（1）由切线长定理可得，，，再由△PEF的周长为12，即可得到，由此即可得到答案；
（2）连接OA、OB、OH、OP、OD、OG，设圆的半径为r，由，可以得到，再利用勾股定理求出，由此进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，AP，BP，EF都是圆O的切线，
∴由切线长定理可得，，，
∵△PEF的周长为12，∴，∴；
（2）如图所示，连接OA、OB、OH、OP、OD、OG，设圆的半径为r，
∴OA=OB=OH=r，
由切线的性质可得OA⊥PD，OB⊥PG，OH⊥DG，
∴，
∵∠G＝90°，GD=3，GP=4，∴，，
∴即，∴，∴⊙O的半径为1．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握切线长定理和切线的性质．
21．（2023·江苏·九年级假期作业）已知，如图，为⊙O的直径，内接于⊙O，，点P是的内心，延长交⊙O于点D，连接．
(1)求证：；(2)已知⊙O的半径是3，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)4
【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论；
（2）连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵为直径，∴，
∵点P是的内心，∴，，∴，
∵，，
∴，∴；
（2）解：连接，过点B作于H，如图所示：
∵是直径，，
∴，是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三形，勾股定理，内心的定义；添加辅助线构造特殊角直角三角形是解题的关键．
22．（2023·湖北荆门·中考模拟）已知锐角的外接圆圆心为，半径为．
（1）求证：；（2）若中，求的长及的值．
【答案】（1）见解析；（2）BC= ,sinC=；
【分析】（1）如图1，连接并延长交于，连接，于是得到，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）由，同理可得：，于是得到，即可得到，如图2，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）如图1，连接并延长交于，连接，
则，
，；
（2），同理可得：，
，，如图2，过作于，
，，
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（2023·北京·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI R2Rr .
下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）：
延长AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ①
如图②，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF
∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°.
∵⊙I 与 AB 相切于点 F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB．
∴，∴②，
由（2）知：，
∴
又∵，
∴ 2Rr(R d )(R d ) ，
∴ R d 2Rr
∴ d R 2Rr
任务：（1）观察发现： IM R d ， IN （用含R，d 的代数式表示）；
（2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图 1 证明）
（3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 6cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 cm．
【答案】（1） （2），证明见解析 （3）
【分析】（1）根据线段的差求解即可；
（2）根据点I是△ABC的内心，推出，进而根据外角性质以及圆周角定理得到，即可得证；
（3）利用（1）和（2）的结论可得，进而得出，再代入求值即可．
【详解】（1）∵IM R d∴；
（2）∵点I是△ABC的内心∴
∵
∴∴；
（3）由（2）知∴
∵∴∴
∴∴∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握线段的和差关系、内心的性质、外角的性质、圆周角定理是解题的关键．
24．（2023山东德州九年级期中）如图，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合），连接，求证：．
【初步探索】小明同学思考如下：如图1，将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：(1)根据小明的思路，请你完成证明；(2)若圆的半径为4，则的最大值为__________；
(3)【类比迁移】如图2，等腰内接于圆O，，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接，若圆的半径为4，试求周长的最大值．
【答案】(1)见解析(2)8(3)
【分析】（1）可证得P、B、Q三点在同一条直线上，进而证得是等边三角形，进一步得出结论；（2）当是的直径时，的值最大，即最大，进而求得结果；
（3）将绕点A顺时针旋转90°到，使点C与点B重合，P、B、Q三点在同一条直线上，进而证明是等腰直角三角形，类比（2）可得出结果．
【详解】（1）证明：由旋转得，，，，
，，
、、三点在同一条直线上，，
是等边三角形，，
，是等边三角形，，；
（2）解：是的弦，且的半径为4，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，的最大值是8；
（3）解：如图2，，，
∵BC是的直径，且圆心在BC上，∴，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，
则，，，
，，
、、三点在同一条直线上，，
，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
，的最大值是，
，周长的最大值是．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，旋转性质，圆内接四边形性质等知识，解决问题的关键是类比证明和计算．
25．（2023年广东省深圳市宝安区中考三模数学试题）综合与实践
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持．
(1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形；
(2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明；
(3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）．
【答案】(1)等边(2)；证明见解析(3)
【分析】（1）根据圆周角定理可得对应的圆周角为，即、，说明为等边三角形即可；（2）如图，在上截取，连接，先说明为等边三角形可得，，，进而证明可得，最后根据等量代换即可解答；（3）如图：的轨迹是以为直径的圆，设圆心为，连接，过作于，过作，，根据题意可得，然后说明是三角形的中位线，进而得到；再根据中点的定义可得，利用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：，对应的圆周角为，
，，，
为等边三角形．故答案为：等边．
（2）解：如图，在上截取，连接，
，为等边三角形，
，，，
，，
在和中，，，，
，．故答案为：．
（3）解：根据题意可知，如图：的轨迹是以为直径的圆，设圆心为，连接，过作于，过作，，
，，，，
是的中点，是三角形的中位线，为的中点，，
又是的中点，，，
，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
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专题2.5 圆中的外接圆和内切圆模型
模块1：知识储备
内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。
三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。
外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。
三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。
模块2：核心模型点与典例
模型1、内切圆模型
1）三角形的内切圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。
图1 图2 图3
2）直角三角形的内切圆模型
条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；
3）四边形的内切圆模型
条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。
结论：。
例1．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）如图，在中，，是的内切圆，连接，交于点D、E，已知，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是 ．
例4．（2023秋·浙江九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例5．（2023·福建福州·九年级校考期末）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ．
例6．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在直角坐标系中，一直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，且，若是的内切圆，与、、轴分别相切，与、、轴分别相切，……按此规律，则的半径 ．
例7．（2023·广东东莞·九年级校考期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，，，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD（ ）
A． B． C． D．
模型2、多边形的外接圆模型
1）三角形的外接圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。
结论：①OA=OB=OC；②。
图1 图2 图3
2）等边三角形的外接圆模型
条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。
结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；
3）四边形的外接圆模型
条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
结论：①；；②。
例1．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（ ）
A．60° B．65 C．70° D．75°
例2．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ．
例4．（2023·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则 ．
例5．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连结，，．(1)求证：．(2)若，，求的长．
例6．（2023湖北武汉九年级上期中）如图，点A、P、B、C为⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC形状并证明；（2）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB，请画出图形，直接写出PA，PB，PC三者之间的数量关系 ．
例7．（2023广东中考模拟）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA=PB+PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·湖北恩施·九年级统考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．10 B．10 C．14 D．16
2．（2023春·湖北九年级课时练习）已知的内切圆的半径为，且，的周长为16，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（ ）
A． B．
C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等
4．（2022春·绵阳市九年级课时练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
5．（2023·山西太原·校考模拟预测）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
6．（2023·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，在中，点为的内心，点在边上，且⊥，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·湖北九年级期中）点I是的内心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．或
8．（2023·重庆九年级期中）已知三角形三边长分别为5cm、5cm、6cm，则这个三角形内切圆的半径是（ ）
A．cm B．cm C．2cm D．3cm
9．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．5 B． C．4 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·山东泰安·九年级统考期末）如图，中，点是内心，若，则的度数为 ．
12．（2023浙江年级上期中）在△ABC中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，则它的外接圆半径R = cm，内切圆半径r = cm.
13．（2023·广东广州·校考二模）如图，是的弦，点是上一点，与点关于对称，直线交于点， 交于点，直线交于点，且连接给出下面四个结论：①；②平分；③平分；④点为的内心．其中，所有正确结论的序号是 ．
14．（2023·贵州遵义·统考二模）已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为 ．
15．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点B的坐标为（4，0），以O点为圆心，以OB为半径的圆交y轴于点A，点C为第一象限内圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最小值为 ．
16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则 ．
17．（2023·北京·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，若点O为△ABC的外心，则∠AOC的度数是 ；若点P为△ABC的内心，则∠APC的度数是 ．
18．（2023·山东泰安·九年级统考期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·天津北辰·九年级校考阶段练习）（1）尺规作图，如图作出△ABC 的外接圆⊙O；
（2）若AB=AC=10,BC=12,则△ABC 的外接圆半径R= ,△ABC 的内切圆半径r= ．
20．（2023秋·成都市九年级上期中）如图，⊙O是GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，切线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于点E、F．
（1）若△PEF的周长为12，求线段PA的长；（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半径．
21．（2023·江苏·九年级假期作业）已知，如图，为⊙O的直径，内接于⊙O，，点P是的内心，延长交⊙O于点D，连接．
(1)求证：；(2)已知⊙O的半径是3，，求的长．
22．（2023·湖北荆门·中考模拟）已知锐角的外接圆圆心为，半径为．
（1）求证：；（2）若中，求的长及的值．
23．（2023·北京·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI R2Rr .
下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）：
延长AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ①
如图②，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF
∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°.
∵⊙I 与 AB 相切于点 F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB．
∴，∴②，
由（2）知：，
∴
又∵，
∴ 2Rr(R d )(R d ) ，
∴ R d 2Rr
∴ d R 2Rr
任务：（1）观察发现： IM R d ， IN （用含R，d 的代数式表示）；
（2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图 1 证明）
（3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 6cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 cm．
24．（2023山东德州九年级期中）如图，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合），连接，求证：．
【初步探索】小明同学思考如下：如图1，将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：(1)根据小明的思路，请你完成证明；(2)若圆的半径为4，则的最大值为__________；
(3)【类比迁移】如图2，等腰内接于圆O，，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接，若圆的半径为4，试求周长的最大值．
25．（2023年广东省深圳市宝安区中考三模数学试题）综合与实践
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持．
(1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形；
(2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明；
(3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）．
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