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专题2.8 定角定高模型、米勒最大角模型
模块1：模型简介
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
模块2：核心模型点与典例
模型1.米勒最大张角（视角）模型
【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。
【模型证明】
如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC’D中，
又
【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
例1．（2023·浙江金华·统考中考真题）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（ ）
A．点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点) 上一点 D．线段CD(异于端点) 上一点
【答案】C
【详解】解：如图，记过测量可以发现当设点在DE上时，张角最大． 故选C．
例2．（2023·广东广州·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，C为x轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点．当取最大值时，点C的横坐标为（ ）
A．5 B．2 C．21 D．
【答案】D
【分析】当以为弦的圆与轴正半轴相切时，最大，根据圆周角定理得出对应的最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，当以为弦的圆与轴正半轴相切时，最大，
∵∴此时的最大，作轴于，连接、．
∵、，∴，
与轴相切于点C，轴，
在直角中，，
∴，∴点C的横坐标为，故选：D．
【点睛】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，正确理解当以为弦的圆与轴相切时，对应的最大是关键，解题时注意结合图形分析．
例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°，（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出结论；
（2）取AE的中点O，连接OD、OF，根据∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四点共圆，当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．
（2）取AE的中点O，连接OD、OF．
∵∠AFE＝∠ADE＝90°，∴OA＝OD＝OE＝OF，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AED＝∠AFD，
∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，∴BF＝CF＝4，
∵△ABF∽△FCE ∴，∴，∴，
∴，∴当时，的值最大．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据题意得出⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大是解题的关键．
例4．（2022春·浙江金华·九年级校考开学考试）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点，AB=6米，BD=2米．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．
（1）tan∠AQB =_____．（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为米，若此时守门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为___ 米．
【答案】
【分析】（1）证明△BDQ∽△QDA，利用相似三角形的性质求出QD，过点B作BH⊥AQ于点H．利用面积法求出BH，再利用勾股定理求出QH，可得结论；
（2）如图，设NM的中点为O，过点N作NK⊥AD于点K，根点O作OJ⊥NK于点J．解直角三角形求出NJ，NK，可得结论．
【详解】（1）由题意，∠BQD=∠QAD，
∵∠BDQ=∠QDA，∴△BDQ∽△QDA，∴，∴QD2=DB DA，
∵AB=6，BD=2，∴DA=8，∴QD=4，如图，过点B作BH⊥AQ于点H．
∵CD⊥AD，∴∠ADQ=90°，∵AD=8．DQ=4，∴AQ=，
∵×6×4=×4×BH，∴BH=，∵BQ=，
∴HQ=，∴tan∠AQB==；故答案为：；
（2）如图，设NM的中点为O，过点N作NK⊥AD于点K，过点O作OJ⊥NK于点J．
∵MN∥BH ∴，∴BN==，∴NK=BN sin∠QBD=×=，
∵MN⊥AQ，NK⊥AD，∴∠AMN+∠AKN=180°，∴∠QAD+∠MNK=180°，
∵∠MNK+∠ONJ=180°，∴∠ONJ=∠QAD，∴cos∠ONJ=cos∠QAD=，
∴JN=ON cos∠ONJ=×=，∴JK=NJ+NK=+=，
∴MN中点与AB的距离至少为米时才能确保防守成功．故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
例5．（2023·四川宜宾·校考三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标；(3)点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点M的坐标（直接写答案）．
【答案】(1)，(2)(3)或
【分析】（1）根据平移可求，将点A的坐标代入可求，从而可求，再由面积求出的坐标，即可求解的解析式；（2）过点作轴交于，设，可求，由可求解；（3）是的中点，在直线上运动，可得，当取得最小值时，的值最大，由此可得：当垂直直线时，取得最小值，进而可求解．
【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为，
，点A的坐标为，代入抛物线的解析式得，，，
抛物线的解析式为，即．
令，则，解得：，，；，
的面积为，，，
，解得：，，∴．
设直线的解析式为，则有
，解得：，直线的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴交于，
设，则，，
．
∴当此时E点坐标为．
（3）解：如图，是的中点，在直线上运动，
，，
当取得最小值时，的值最大，
，当取得最小值时，的值最大，
当垂直直线时，取得最小值，
此时、在二次函数的对称轴直线上，，
根据对称性，存在，故：或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，三角函数定义，二次函数与三角形面积计算，二次函数与圆的综合等，掌握二次函数的性质，运用转化思想是解题的关键．
模型2. 定角定高模型（探照灯模型）
定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。
条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。
证明思路：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，
过点O作OE⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOE=∠BAC=；∴BC= 2BE=2OBsin=2rsin。
∵OA+OE≥AD（当且仅当点A，O，E三点共线时,等号成立），∴r+rcosa≥h，
.当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin；△ABC的面积最小:ADrsin；
△ABC的周长最小:2rsin+ADrsin。
例1．（2023·陕西西安·校考一模）如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．解直角三角形求出OE，OB，求出BE的最大值即可解决问题．
【详解】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．
∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，
∵EC＝2AE＝4，∴AE＝2，∴AC＝AE+EC＝6，
∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH＝HC＝3，EH＝AH﹣AE＝1，
∵∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OH＝AH tan30°＝，
∴OE＝＝＝2，OA＝2OH＝2，∴OB＝OA＝2，
∵BE≤OB+OE，∴BE≤2+2，∴BE的最大值为2+2，
∵BE＝2DE，∴DE的最大值为1+，
∴BD的最大值为3+3．故答案为3+3．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，综合性比较强，能够转化为圆的问题是解题的关键．
例2．（2023·江苏南通·校考一模）已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，为y轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为 ．
【答案】6
【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，当时，最小，推出四边形面积的最小，根据点在直线上，得到，推出，，根据，得到，根据即可得到答案．
【详解】取的中点E，连接，∵，∴，
当时，最小，就最小，与都最小，就最小，
∵点为直线上一点，∴，
∴，∴，∴，∵，∴，
∴．故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了一次函数，直角三角形，垂线段，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌握一次函数图象上的点坐标适合解析式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短等性质，三角形面积计算公式．
例3．（2023·陕西·统考二模）问题探究
（1）如图1．在中，，为上一点，．则面积的最大值是_______．
（2）如图2，在中，，为边上的高，为的外接圆，若，试判断是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．
问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地，，，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘，且满足点在上，，点在上，且，点在上，点在上，，这个四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】问题探究：（1）24；（2）存在，的最小值为；问题解决：存在，144
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2中，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题；
（3）如图3中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大．
【详解】解：（1）当时，面积的最大，
则面积的最大值是，故答案为：24；
（2）如图中，连接，，，作于．设，
∵，，，
∴，，∴，．
∵，∴，∴，∴的最小值为1，
∵，∴的最小值为；
（3）如图中，连接，，延长交的延长线于，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
将顺时针旋转得到，作的外接交于，连接，
∵，，，∴，∴，
∵，∵，，∴，∴，
由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，设，则，
∴，∴，∴，
∴四边形的面积的最大值．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
例4．（2022·江苏连云港·校考三模）（1）[问题提出]如图1，为的直径，点C为上一点，连接，若，则面积的最大值为 ．
（2）[问题探究]如图2，在四边形中，，，点分别在边上．且，若，求的长；
（3）[问题解决]为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课.按规划要求，需设计一个正方形的研学基地，如图3．点分别在正方形的边上，将区域修建为种植采摘区，基地内其余部分为研学探究区，的长为40m，．为了让更多的学生能够同时进行种植，要求种植采摘区（）的面积尽可能大，则种植采摘区的面积的最大值为_______m2，此时正方形的边长为_______m．
【答案】（1）；（2）；（3）；
【分析】（1）连接，过点作，由题意可得：，即可求解；
（2）将绕点顺时针旋转得到，通过旋转的性质得到，即可求解；
（3）将绕点顺时针旋转得到，可得，由（1）可得，当垂直平分时，面积最大，即可求解．
【详解】（1）如图1中，连接，过点作于点．
∵，∴，∵，∴，
∴的最大值为3，此时垂直平分，∴的面积的最大值为．
（2）将绕点顺时针旋转得到．
则，∵，∴，∴共线，
∵，∴
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
（3）将绕点顺时针旋转得到，如下图：
则，，，，
∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，
由（1）可得，当垂直平分时，最大，此时面积也最大，则，
设，则，由勾股定理可得：，
即，解得，（负值舍去），
，故答案为：；
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，圆的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作辅助线构造出全等三角形．
例5．（2023·陕西咸阳·统考二模）【问题初探】：（1）如图①，在中，点、分别在边、上，连接，∥，．若，则的长为______；
【问题深入】：（2）如图②，在扇形中，点是上一动点，连接，，，，求四边形的面积的最大值；
【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展年西安市文明旅游示范单位评选工作某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图③所示，其中∥，米．点处设立一个自动售货机，点是的中点，连接，，与交于点，连接，沿修建一条石子小路（宽度不计），将和进行绿化．根据设计要求，．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为平方米
【分析】（1）设，根据题意得，，通过平行推三角形相似，得出，推比例线段，得出的长；
（2）过点作于点，延长交于点，连接，过点作于点，根据勾股定理得出，由图可得，两个式子结合得出四边形的最大值是；
（3）作的外接圆，过点作于点，延长交于点，连接，，，，
由，推出，得出，推出，，得出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，，根据点是的中点，，推出，，得出，过点作于点，由图可得，得出的最大值为，进而求出和面积之和的最大值．
【详解】解：（1）设，，，，
，，
，，，故答案为：；
（2）过点作于点，延长交于点，连接，过点作于点，如图，
，，，
，，，
根据勾股定理得，，，，
由图可得，，即，
，
，，四边形的最大值是；
（3）点是的中点，，
，，，，
，，
，．
，
作的外接圆，过点作于点，延长交于点，
连接，，，，如图，
则，，
点是的中点，，，，
，，，
过点作于点，由图可得，
的最大值为，，
的最大值为：，
和的面积之和存在最大值，和面积之和的最大值为平方米．
【点睛】本题考查了圆的综合题，平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
模块3：同步培优题库
全卷共23题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则，
则的横坐标为，纵坐标为，∴，
取点，则是的中位线，∴，
∵，∴点在半径为的上运动，
∵是的中位线，∴，
∴，当与相切时，最大，则正弦值最大，
在中，，
过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则
∵与相切，∴，∴，
∴，∴，∴
设，,则∴∴
∴解得：∴
∴的最大值为，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键．
2．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，A、B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC、BC，则∠ACB就是射门角，在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大，球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角，若AB=4，BD=1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】构造△ABC的外接圆O，当DE为圆O的切线时，∠ACB的角度最大，易证OCDF为矩形，再通过圆周角和圆心角的关系转化为∠AOF，通过勾股定理求得OF的长度，从而得到结果．
【详解】解：如图所示，圆O为△ABC的外接圆，当DE为圆O的切线时，∠ACB的角度最大，（备注：弧所对的角中，圆周角>圆外角） 过O点作OF⊥AB，则AF=BF，
∵AB=4，BD=1，∴AF=2，DF=3，∵OC⊥AC，∠D=90°，∴四边形OCDF为矩形，∴OC=DF=OA，
∴OF=，∴CD=故选：C．
【点睛】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键．
3．（2022上·江苏南通·九年级统考期中）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】设与的交点为点F，由矩形的性质可得，若固定不动，则E随的位置变动而变化，因，所以点E运动的轨迹是以为直径的圆，设该圆圆心为O，不难知道，当时，即为⊙O的切线时，最大，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】设与的交点为点F，由矩形的性质可得，
，点在以为直径的上，如下图，
∵当是⊙O的切线时，最大，∴当最大时，，
∵，∴，
∴．故答案为D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、切线的性质、圆的基本性质，关键在于确定E点运动轨迹，有一定难度．
4．（2022上·江苏南京·九年级校考期末）平面直角坐标系内，已知点，，．当时，若最大，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，利用圆周角定理和三角形外角性质可证得∠ACB最大，过M作MN⊥AB于N，根据垂径定理证得AN=BN=AB，可证明四边形MNOC为矩形，则有MA=MC=ON，t=MN，利用勾股定理求解MN即可解答．
【详解】解：过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，如图，则∠ADB=∠ACB，
∵∠ADB是△ADC1的外角，∴∠ADB＞∠AC1B，∴∠ACB＞∠AC1B，即∠ACB就是所求的最大角，
过M作MN⊥AB于N，连接MC、MA，则MA=MC，AN=BN=AB，MC⊥y轴，
∴四边形MNOC为矩形， ∴MC=ON，OC=MN，
∵，，，t＞0，∴AB=4，OC=t，OA=1，∴AN=AB=2，
∴MC=ON=OA+AN=3，在Rt△AMN中，MA=MC =3，
由勾股定理得：，∴OC=MN=，即t=，故选：C．
【点睛】本题考查切线性质、圆周角定理、三角形外角性质、矩形的判定与性质、垂径定理、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，得出过A、B、C三点的圆与y轴相切时∠ACB最大是解答的关键．
5．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图，已知正方形和直角三角形，，，连接，．若绕点A旋转，当最大时，的面积是（ ）
A． B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】作于H，由题意知绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，即，利用勾股定理计算出，接着证明得到，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：作于H，如图，
∵，∴当绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，
∴当为此圆的切线时，最大，即，此时，
∵，∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、圆的性质等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．（2023·江苏无锡·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为 ．
【答案】
【分析】连接OP，OM，根据切线长定理可知，因为，故当OP最小（即OP垂直AC时），最大，此时最大，由此得到P点，再求出OP长，在Rt△PMO中求出PM即可解答．
【详解】解：连接OP，OM，
∵PM、PN相切于点M、N，∴，，∴，
又∵在矩形ABCD中，CD=AB=4，CD是⊙O直径，∴，
∴故当OP最小（即OP垂直AC时），最大，
延长DC交直线AE于点G，∵E是BC的中点，BC=6，∴BE=EC=3,
∵在矩形ABCD中，，∴，
∵在矩形ABCD中，，∴，∴，
∴EG=5，CG=3，∴OG=OC+CG=2+4=6，
又∵OP垂直AC时，最大，∴，
在Rt△PMO中，，故答案为．
【点睛】本题主要考查了几何的最值问题，综合性强，涉及了圆的切线性质，矩形性质、解三角形、点到直线的距离垂线段最小等知识，解题关键是切线长定理可知，然后关键在Rt△PMO中最大，此时最大，得出OP垂直AC时，最大．
7．（2023·重庆·九年级专题练习）已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据题意，找到当⊙P与x轴相切于点C时，最大，作出相应辅助线，可得出，，再由等腰三角形三线合一性质可得，根据切线定理确定四边形PCOH为矩形，最后根据勾股定理即可得出．
【详解】过点A、B作⊙P，⊙P与x轴相切于点C时，最大，
连接PA、PB、PC，作PH⊥y轴于H，如图，
∵点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），∴，，
∵PH⊥AB，∴，∴，
∵点⊙P与x轴相切于点C，∴PC⊥x轴，∴四边形PCOH为矩形，
∴，∴，在中，，
∴C点坐标为．故答案为．
【点睛】题目考查隐圆模型，涉及知识点包括直线与圆的位置关系、等腰三角形性质、勾股定理、矩形的判定和性质等，理解题意，找准当⊙P与x轴相切于点C时，最大，作出相应辅助线是解题关键．
8．（2023·河南鹤壁·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积等于 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理得到AC＝4，当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，根据三角形的面积 公式得到AD＝，根据相似三角形的性质得到AE＝，由此三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，
∵△ADE∽△ABC，∴，即
∴，∴，∴当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，
∴此时有 ∴AD＝，
∴△ADE的最小面积；故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键．
9.（2023浙江·九年级校考期中）为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯距地面30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(AB、AC)和光线与地面的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为△ABC，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为_______米。
【解析】通过“距地面30米”，“光线夹角60°”，得到∠BAC=60°（定角），AD=30米（定高），
可识别出定角定高模型，因此当△ABC为等腰三角形，边BC有最小值，此时△ABC为等边三角形，
解直角三角形求出BC=米，
进而求出面积最小值为平分米，周长最小值为米。
可求答案：；。
10.（2023·重庆·九年级校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边BC、CD上的动点，则△AEF面积的最小值为________.
【解析】“大角含半角+有相等且共端点的边”识别出“半角模型”，通过截长补短构造△AEF的全等三角形△AEF'，在△AEF'中，∠F'AE=45°，AB为定高，通过定角定高模型结论求出最值。
延长CD至点G，使DG=BE，连结AG，易证△ABE≌△ADG(SAS) ∴BE=DG，∠BAE=∠DAG
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=45°=∠EAF则△AEF'≌△AGF(SAS)，
作△AGF的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OF，过得O作OH⊥GF于H，
则∠FOG＝2∠FOH=2∠FAG＝90°，设△AGF的外接圆的半径为R，
则GF＝R，OH＝R，由题意得，OA+OH≥AD，即R+R≥4，解得，R≥8﹣，
∴△AGF的面积≥××（8﹣）×4＝16﹣16，
∴△AFE的面积的最小值为16-16．
11．（2022·辽宁沈阳·校考三模）如图是一个矩形足球球场，为球门，于点D，米．某球员沿带球向球门进攻，在Q处准备射门，已知米，米，对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为米；此时门将站在张角内，双臂伸开且垂直于进行防守，中点与距离 米时，刚好能成功防守．
【答案】/
【分析】过点B作，证明，作，依次证明，，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：过点B作，
，，
又，，，
，
，，，
，
如图，作，
，，，
，，
，
，，，
，，
，，，，
，，
，，
，，，，
，，故答案为：.
【点睛】本题主要考查锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
12．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在正方形中，，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，的长为 ．
【答案】
【分析】过点A、M作与相切于点,记的中点为N,与交于点Q,连接,则，证明四边形是矩形, 再求出圆的半径，利用勾股定理和矩形的性质即可求解．
【详解】：过点A、M作与相切于点,记的中点为N,与交于点Q,连接,
则，
∵四边形是正方形，，∴，，
∵M是的中点，∴，
∵过点A、M作与相切于点，∴，
∵的中点为N,∴，，
∴，∴四边形是矩形, ∴,
在中,，∴,
∴当点P运动到点时，最大，此时，故答案为：
【点睛】本题考查了最大张角问题，涉及到了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、正方形的性质、勾股定理解三角形、矩形的判定与性质等内容，解题关键是理解当P点在与相切且经过D点和M点的圆上且位于切点处时张角最大．
13．（2023·四川凉山·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为 ．
【答案】
【分析】如图，连接EC，作AH⊥BC于H．首先证明EC⊥BC，推出EN⊥EC时，EN的值最小，解直角三角形求出CH，DH即可解决问题；
【详解】解：如图，连接EC，作AH⊥BC于H．
∵△ABC∽△ADE，∴∠AED=∠ACD，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠DAE+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠DAE=90°，∴EC⊥BC，∴NE⊥EC时，EN的值最小，作AG⊥CE交CE的延长线于G．
在Rt△ABC中，∵BC=5，AB=3，∴AC=4，
∵△ENC∽△△ACB，∴，∴，∴EC=，∴AH=CG=，
∵NE∥AG，AN=NC，∴GE=EC=，∵∠HAG=∠DAE，∴∠DAH=∠EAG，
∵∠AHD=∠G=90°，∴△AHD∽△AGE，
∴，∴，∴DH=，∴CD=DH+CH=．故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、勾股定理、垂线段最短、四点共圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考填空题中的压轴题．
14．（2023·广东·一模）已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 ．
解：如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．
在Rt△ABB′中，AB＝＝，∴AB′的值最小时，AB的值最小，
∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，∴当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小，
∵直线l垂直平分线段BB′，∴TB＝TB′，∴∠TBB′＝∠TB′B，
∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，∴∠TAB＝∠TBA，∴TA＝TB，
∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，∴＝，∴可以假设TH＝k，AT＝TB＝2k，
∴BH＝TB﹣TH＝（2﹣）k，∴AH＝k，∴AB＝＝＝2k，
∵S△TAB＝ AB TW＝ TB AH，∴×2k×4＝×2k×k，解得k＝4，
∴△ABO的面积最小值为＝∴×2×4×4＝64﹣16，故答案为：64﹣16．
15．（2022上·北京东城·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．
（1）点的纵坐标为 ；（2）当最大时，点的坐标为 ．
【答案】 4
【分析】（1）根据三角形外心的定义，可得出的外接圆圆心在线段的垂直平分线上，即可求解；（2）点P在切点处时，最大，而四边形是矩形，由勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵，，∴线段的垂直平分线为直线，
∵点M在的垂直平分线上，∴点M的纵坐标为4，
（2）过点，，作与x轴相切，则点P在切点处时，最大，理由：
如上图，若点是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，
设交于点E，连接，则，
∵是的外角，∴，∴，即点P在切点处时，最大，
∵经过点，，∴点M在线段的垂直平分线上，即点M在直线上，
∵与x轴相切于点P，轴，从而，即的半径为4，
设AB的中点为D，连接，如上图，则， ，，
∵，轴，，∴四边形是矩形，从而，
由勾股定理，得，
∴，∴点P的坐标为，故答案为：4，．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接近球门，他在哪里射门时射门角度最大？
【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门的张角时，在上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，的大小______：（填序号）
①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大
【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现．
【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在上找出球员P的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】操作感知：③；猜想验证：见解析；实际应用：见解析
【分析】操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接，利用圆周角定理和三角形外角的性质证明即可得到结论；
猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；
实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求．
【详解】解：操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接，
∴；∵，∴，
∵，∴；
在上取一点T，连接并延长交的外接圆于S，连接，∴，
∵，∴，
∴球员P由M向N的运动过程中，的大小是先变大后变小，故答案为：③；
猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接，
∴，
∵，∴，即，
∴上异于点Q的其他所有点对的张角都小于，∴球员P运动到切点Q时最大；
实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求；
理由如下：∵，∴，
∵，且，即是两条平行线间的距离，
∴也是这两条平行线间的距离，∴，∴ 直线与相切，
∴由“猜想验证”可知，当直线与相切于点P时，最大．
【点睛】本题主要考查了切线的性质于判定，三角形外角的性质，圆周角定理，确定圆心，线段垂直平分线的尺规 作图，平行线间间距相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
17．（2023·广东深圳·校考一模）【问题发现】
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：
如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
∵是的外角，
∴ （填“＞”，“=”或“＜”），
∴ （填“＞”，“=”或“＜”）；
【问题探究】（2）如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）
【答案】（1）＜，＜；（2），理由见解析；（3）15米
【分析】（1）由三角形的外角的性质可得，从而可得答案；
（2）设与交于点G，连接，证明，可得，则．
（3）如图所示，由（2）可得，当经过A，B的与相切时，最大，过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，证明四边形是矩形，可得，，，，证明，设的半径，表示，，，建立方程，再解方程可得答案．
【详解】解：（1）如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，∵是的外角，∴，∴，
（2），理由如下：如图所示，设与交于点G，连接，
∵，∴，
∵是的外角，∴，∴．
（3）如图所示，由（2）可得，当经过A，B的与相切时，最大，
过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，
∴，∴，
∵，，，∴四边形是矩形，∴，
∵，∴，，∴，
∵，∴，∵，设的半径，
∴，即，∴，
∴，∴在中，，
∴，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）∴，
∴．答：的长度为米．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，本题的难度很大，计算非常复杂，准确细心的计算是解答的前提．
18．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）最佳视点
如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点．
如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观管最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…
任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；
任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)．
【答案】任务一：见解析；任务二：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想
【分析】任务一：见详解作图，由圆周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此在点E时视角最大．
任务二：由圆心角定理知，可证是等边三角形，再由切线定理可证，从而可证，于是可证四边形是平行四边形，则，推得．最后解可求得的长．
【详解】任务一：过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，
∵是的外角，∴，
又∵与都是弧所对的圆周角， ∴，
∴，∴在点E时视角最大．
任务二：∵，∴，
又∵，∴是等边三角形，．如图2，连接，
∵是的切线，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形，
∴，∴．
由题意得，(米)，
在中，(米)．
答：观察者应该站在距离米的地方最理想．
【点睛】本题考查了圆的相关性质与解直角三角形，涉及到圆周角定理、平行四边形的判定和性质、特殊角三角函数等知识点，解题的关键是熟练综合运用相关性质和定理．
19．（2023·广东深圳·校考一模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
(1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
是的外角，
（填“”，“”或“”），
（填“”，“”或“”）；
(2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由；
(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）
【答案】(1)，(2)，理由见解析(3)
【分析】（1）由是的外角，可得，即可求解；
（2）设与交于点G，连接，可证，从而可证，即可求证；
（3）当经过A，B的与相切时，最大，过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，四边形是矩形， 可求，可证是等腰直角三角形，设的半径，，由此即可求解．
【详解】（1）解：是的外角，
，，故答案为：，．
（2）解：，理由如下：
如图所示，设与交于点G，连接，
，，
是的外角，，．
（3）解：如图所示，由（2）可得，当经过A，B的与相切时，最大，
过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，
，，
，，AD⊥DF，四边形是矩形，，
，，，
，，，，
，是等腰直角三角形，
设的半径，，，
在中，，，
解得：或（舍去），
，．
答：的长度为．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理，三角函数等掌握相关的性质，找出最大角的条件是解题的关键
20．（2022·陕西西安·校考模拟预测）【问题提出】（1）如图1，是等腰直角三角形，，可得到 ，点D，E分别在边，上，且，把绕点A旋转时，则的值是 ；
【问题探究】（2）如图2，O为矩形对角线的交点，点M为边上任一点，且与边交于点N，若，，求四边形面积的最大值；
【问题解决】（3）如图3，是西安市纺渭路的一部分，因燃气管道抢修，需在米，米的矩形平面开挖一个的工作面，其中E、F分别在直线、直线上，且，为缓解该路段对市民正常生活和出行影响，经勘测发现的面积越小越好，求出的面积最小值．
【答案】（1），；（2）；（3）8
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得，结合旋转的性质，证，即可求得；
（2）过点作于点，作于点，证，设，分点在线段上和点在线段上两种情况讨论，分别求出关于的一次函数解析式，根据一次函数性质即可求解；（3）将绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，根据矩形的判定和性质可得和的比值，然后根据三角形外接圆性质得，，最后根据三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）是等腰直角三角形，，
，，；
，，也是等腰直角三角形，
，，，
，，，
，故答案为：，；
（2）如图，过点作于点，作于点，
四边形是矩形，O为矩形对角线的交点，，，
，，，，
，，
，，，
当点在线段上时，点在线段上，设，则，
，
当时，取得最大值，最大值为6，
当点在线段上时，点在线段上，设，则，
，
当时，取得最大值，最大值为，
，四边形面积的最大值；
（3）四边形是矩形，，，
如图，将绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，
，，，
过点作于点，于点，
，四边形是矩形，且，
，设的外接圆半径为，，，
由题意得，即，，
，的面积最小值为，
的面积最小值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
21．（2023·广东深圳·校考二模）【定义1】如图1所示，像这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角；
【定义2】站在某一位置观察测物体时，视线范围所成的角度称为视角，如图2，在M和N点对矩形观测，会有不同的视角．(1)【判断】如图3，连接，_____．（，，）
(2)【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中，，，直线，P为直线l上一点，连接，求的最大值．
(3)【拓展应用】学校计划组织学生春游，一条北偏东走向的路上经过紫色大厦时，小明发现在观察紫色大厦时的最大视角为，小明认为，可以通过将公路和建筑物放在如图所示的平面直角坐标系中，可以计算出此时公路距离紫色大厦的最近距离的长度．请你协助小明完成计算，直接写出答案．
【答案】(1)＜(2)的最大值为(3)
【分析】（1）由图可得，即可得到答案；
（2）当以为弦的圆，与直线l相切时．P即为切点时，最大，根据，即可求解；（3）当以为弦的圆P与直线相切时，切点（H）处观察紫色大厦的视角最大，令，根据条件可证为等腰直角三角形，从而求出边长，同理可证为等腰直角三角形，从而求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵，∴．
（2）解：当以为弦的圆，与直线l相切时．P即为切点时，最大．
因为此时只有点P在圆上，直线上的其它点都在圆外．如图所示：
令直线l与x轴，y轴的交点记为E，F，
因为直线，则，与x轴夹角是，
将这个圆记为，令，则，即．
又，．所以，
解得，（舍去）．所以．
在中，，所以，则．
所以．即的最大值为．
（3）解：令公路与x轴，y轴的交点记为E，F；与y轴交点为Q．如图所示：
当以为弦的圆P与直线相切时，切点（H）处观察紫色大厦的视角最大．
令，则．又，所以．则，
所以为等腰直角三角形．所以，则．
又为等腰直角三角形，所以．故．所以．
过点作垂线，则垂线经过点A，且垂线段的长为，
所以最近距离的长为：．
【点睛】本题为一次函数应用的综合题，同时考查了圆的相关知识及解一元二次方程．
22．（2023·江苏盐城·八年级校考期末）（1）问题提出：如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=4，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值；
（3）问题解决：如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）画图见解析；（2）；（3）存在面积最大值，最大值为144m2，理由见解析．
【分析】（1）以AB为直径作圆，在圆上任取一点（不与点A、B重合）C，连接AC、BC，由圆周角定理得∠ACB=90°，即可得出结论；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，先由圆周角定理和垂径定理得∠BOC=2∠BAC，BE=CE=BC，则∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，设OA=OB=OC=r，则OE=r，BC=2BE=，再由AO+OE≥AD，得r≥，则BC=，即可解决问题；
（3）分别延长AB、DC交于点M，则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到，则三点共线，由S四边形AECF=S四边形ABCD-（S△CBE+S△CDF）=S四边形ABCD-，当取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，求出的最小值，即可解决问题．
【详解】（1）解：以AB为直径作圆，在圆上任取一点（不与点A、B重合）C，连接AC、BC，
如图①所示：则∠ACB=90°，∴Rt△ACB即为所求；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，如图②所示：
则∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC，
∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，
设 OA=OB=OC=r，则OE=，BC=2BE=，
∵AO+OE≥AD，AD=4，∴，解得：r≥，
∴BC=，∴BC最小值为，
∵S△ABC=BC AD，∴△ABC面积的最小值为：；
（3）四边形AECF的面积存在最大值，理由如下：分别延长AB、DC交于点M，如图③所示：则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，
∵CB=CD=m，∴BM=m，m，AD=DM=m，
∴S四边形ABCD=S△ADM-S△CBM=，
∵∠BCD=360°-∠A-∠CDA-∠CBA=360°-45°-90°-90°=135°，
∴将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到，则三点共线，
∴S四边形AECF=S四边形ABCD-（S△CBE+S△CDF）=S四边形ABCD-，
∵S四边形ABCD为定值，∴当取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，
∵135°-90°=45°，
∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，
设的外接圆半径为rm，则m，
又∵OC+OD≥CD，∴，∴，
当点O在CD上时，最短，此时，
∴的面积最小值=，
∴四边形AECF的面积最大值（m2）．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了四边形的面积、圆周角定理、垂径定理、旋转变换的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积以及最值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理、垂径定理以及等腰三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
23．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．
(1)如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点______；
(2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D，，．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值；
②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．（结果用含a的代数式表示）
【答案】(1) (2)①；；②．
【分析】（1）连接、，根据平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出即可判断；（2）①根据最佳射门点为点Q，可证△ADQ∽△QDB，列出比例式即可求出DQ的长度，作BE⊥AQ于E，求出线段长，利用三角函数求解即可；②根据题意可知，过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，利用相似三角形的性质求出EM，再解直角三角形求出MP、PF、PO即可．
（1）解：连接、，∵CD∥AB，∴，∵，，∴，∴，∴，∴最佳射门点为故答案为：．
（2）解：①作BE⊥AQ于E，∵最佳射门点为点Q，∴，∵，∴，∴△ADQ∽△QDB，∴，∵，，∴，代入比例式得，，解得，（负值舍去）；，∴，，∴，，∴，，则，；②过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，∵守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，∴当时才能确保防守成功．∵MN⊥AQ，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∵，∴，，∵，∴，；MN中点与AB的距离至少为时才能确保防守成功．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键恰当构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识求解．
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专题2.8 定角定高模型、米勒最大角模型
模块1：模型简介
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
模块2：核心模型点与典例
模型1.米勒最大张角（视角）模型
【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。
【模型证明】
如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC’D中，
又
【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
例1．（2023·浙江金华·统考中考真题）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（ ）
A．点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点) 上一点 D．线段CD(异于端点) 上一点
例2．（2023·广东广州·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上两点、，C为x轴的正半轴（坐标原点除外）上一动点．当取最大值时，点C的横坐标为（ ）
A．5 B．2 C．21 D．
例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°，（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．
例4．（2022春·浙江金华·九年级校考开学考试）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点，AB=6米，BD=2米．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．（1）tan∠AQB =_____．（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为米，若此时守门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为___ 米．
例5．（2023·四川宜宾·校考三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标；(3)点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点M的坐标（直接写答案）．
模型2. 定角定高模型（探照灯模型）
定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。
条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。
证明思路：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，
过点O作OE⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOE=∠BAC=；∴BC= 2BE=2OBsin=2rsin。
∵OA+OE≥AD（当且仅当点A，O，E三点共线时,等号成立），∴r+rcosa≥h，
.当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin；△ABC的面积最小:ADrsin；
△ABC的周长最小:2rsin+ADrsin。
例1．（2023·陕西西安·校考一模）如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为 ．
例2．（2023·江苏南通·校考一模）已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，为y轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为 ．
例3．（2023·陕西·统考二模）问题探究
（1）如图1．在中，，为上一点，．则面积的最大值是_______．
（2）如图2，在中，，为边上的高，为的外接圆，若，试判断是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．
问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地，，，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘，且满足点在上，，点在上，且，点在上，点在上，，这个四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
例4．（2022·江苏连云港·校考三模）（1）[问题提出]如图1，为的直径，点C为上一点，连接，若，则面积的最大值为 ．
（2）[问题探究]如图2，在四边形中，，，点分别在边上．且，若，求的长；
（3）[问题解决]为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课.按规划要求，需设计一个正方形的研学基地，如图3．点分别在正方形的边上，将区域修建为种植采摘区，基地内其余部分为研学探究区，的长为40m，．为了让更多的学生能够同时进行种植，要求种植采摘区（）的面积尽可能大，则种植采摘区的面积的最大值为_______m2，此时正方形的边长为_______m．
例5．（2023·陕西咸阳·统考二模）【问题初探】：（1）如图①，在中，点、分别在边、上，连接，∥，．若，则的长为______；
【问题深入】：（2）如图②，在扇形中，点是上一动点，连接，，，，求四边形的面积的最大值；
【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展年西安市文明旅游示范单位评选工作某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图③所示，其中∥，米．点处设立一个自动售货机，点是的中点，连接，，与交于点，连接，沿修建一条石子小路（宽度不计），将和进行绿化．根据设计要求，．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．
模块3：同步培优题库
全卷共23题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，A、B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC、BC，则∠ACB就是射门角，在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大，球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角，若AB=4，BD=1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2022上·江苏南通·九年级统考期中）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2022上·江苏南京·九年级校考期末）平面直角坐标系内，已知点，，．当时，若最大，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图，已知正方形和直角三角形，，，连接，．若绕点A旋转，当最大时，的面积是（ ）
A． B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．（2023·江苏无锡·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为 ．
7．（2023·重庆·九年级专题练习）已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是 ．
8．（2023·河南鹤壁·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积等于 ．
9.（2023浙江·九年级校考期中）为了迎接新年的到来某市举办了迎新年大型灯光秀表演。其中一个镭射灯距地面30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图：若将两根光线(AB、AC)和光线与地面的两交点的连接的线段(BC)看作一个三角形，记为△ABC，三角形面积的最小值为_______平方米，其周长最小值为_______米。
10.（2023·重庆·九年级校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边BC、CD上的动点，则△AEF面积的最小值为________.
11．（2022·辽宁沈阳·校考三模）如图是一个矩形足球球场，为球门，于点D，米．某球员沿带球向球门进攻，在Q处准备射门，已知米，米，对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为米；此时门将站在张角内，双臂伸开且垂直于进行防守，中点与距离 米时，刚好能成功防守．
12．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在正方形中，，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，的长为 ．
13．（2023·四川凉山·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为 ．
14．（2023·广东·一模）已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 ．
15．（2022上·北京东城·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．
（1）点的纵坐标为 ；（2）当最大时，点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接近球门，他在哪里射门时射门角度最大？
【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门的张角时，在上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，的大小______：（填序号）
①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大
【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现．
【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在上找出球员P的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹）
17．（2023·广东深圳·校考一模）【问题发现】
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：
如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
∵是的外角，
∴ （填“＞”，“=”或“＜”），
∴ （填“＞”，“=”或“＜”）；
【问题探究】（2）如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）
18．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）最佳视点
如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点．
如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观管最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…
任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；
任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)．
19．（2023·广东深圳·校考一模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
(1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
是的外角，
（填“”，“”或“”），
（填“”，“”或“”）；
(2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由；
(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）
20．（2022·陕西西安·校考模拟预测）【问题提出】（1）如图1，是等腰直角三角形，，可得到 ，点D，E分别在边，上，且，把绕点A旋转时，则的值是 ；
【问题探究】（2）如图2，O为矩形对角线的交点，点M为边上任一点，且与边交于点N，若，，求四边形面积的最大值；
【问题解决】（3）如图3，是西安市纺渭路的一部分，因燃气管道抢修，需在米，米的矩形平面开挖一个的工作面，其中E、F分别在直线、直线上，且，为缓解该路段对市民正常生活和出行影响，经勘测发现的面积越小越好，求出的面积最小值．
21．（2023·广东深圳·校考二模）【定义1】如图1所示，像这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角；
【定义2】站在某一位置观察测物体时，视线范围所成的角度称为视角，如图2，在M和N点对矩形观测，会有不同的视角．(1)【判断】如图3，连接，_____．（，，）
(2)【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中，，，直线，P为直线l上一点，连接，求的最大值．
(3)【拓展应用】学校计划组织学生春游，一条北偏东走向的路上经过紫色大厦时，小明发现在观察紫色大厦时的最大视角为，小明认为，可以通过将公路和建筑物放在如图所示的平面直角坐标系中，可以计算出此时公路距离紫色大厦的最近距离的长度．请你协助小明完成计算，直接写出答案．
22．（2023·江苏盐城·八年级校考期末）（1）问题提出：如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=4，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值；
（3）问题解决：如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
23．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．
(1)如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点______；
(2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D，，．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值；②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．（结果用含a的代数式表示）
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