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专题1.6 解直角三角形 章末检测
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·北京海淀·九年级校考阶段练习）在中，，是角平分线．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直线与圆的位置关系，先根据等腰三角形的性质得出，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：在中，，是角平分线，，
以点为圆心，长为半径作，与的位置关系是相切，故选：B．
2．（内蒙古2023-2024学年九年级月考）如图，在中，切于点，连接交于点．过点作交于点，连接．若．则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接，如图，根据切线的性质得到，则利用互余可计算出，再利用圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数．
【详解】解：连接，如图，
切于点，，，
，，，
，．故选：A．
3．（2023上·福建厦门·九年级校联考阶段练习）已知：如图，点是的内心，连接并延长交于点，则下列命题中正确的（ ）
A．是的平分线 B．是边上的高
C．是边上的中线 D．是边上的中垂线
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内心的定义，根据三角形内心的定义直接判断即可；解答此题的关键是掌握内心的定义．
【详解】解：∵点是的内心，连接并延长交于点，
是的角平分线．故选：．
4．（2023上·安徽铜陵·九年级校考阶段练习）如图，与矩形的边相切于点，，，点是上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定及性质以及圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．连接，．求出的度数即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，．
∵与矩形的边相切于点，，，
∴，，,∴，
∴四边形是矩形，∴,∴，故选：A．
5．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，在中，，，以斜边上的一点O为圆心所作的圆分别与、相切于点D、E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，得正方形，利用三角形相似计算即可，本题考查了切线长定理，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】连接，
∵，，以斜边上的一点O为圆心所作的圆分别与、相切于点D、E，∴正方形，∴，
∴，∴，∴，解得，
∴，故选C．
6．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（ ）
A．48 B． C．24 D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质．
设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由的周长内切圆半径，即可求出的周长．
熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键．
【详解】解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且，
又，∴四边形是正方形，，
，，解得，
，，
，即的周长为，故选：C．
7．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考期末）如图，、是的切线，是的直径，延长，与的延长线交于点，过点作弦，且，连接并延长与圆交于点，连接，若，，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和垂径定理．交于点，连接，如图，先利用切线的性质得到，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解方程得，再根据圆周角定理得到，接着证明，则利用垂径定理得到，然后利用面积求出，则，最后在中利用勾股定理可计算出的长．
【详解】解：交于点，连接，如图，
是的切线，，，
设的半径为，则，，在中，，解得，
为直径，，，，，，
，，，
在中，．故选：C．
8．（2023上·河北张家口·九年级统考期中）如图，在中，，，．O是边上一点，以点O为圆心，长为半径在边的右侧作半圆O，交边于点P，交边于点Q．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当的长度最短时，半圆O的半径为
结论Ⅱ：当时，与半圆O相切，且
A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ、Ⅱ都对 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
【答案】C
【分析】当时，的长度最短，由是的直径，得，则，可知此时点P与点B重合，由，，求得，则半圆O的半径为，可判断结论Ⅰ正确；当时，连接，因为，所以是等边三角形，则，所以，而，则，所以，可证明与半圆O相切，且，可判断结论Ⅱ正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，当时，的长度最短，
∵是的直径，∴，∴，∴点P与点B重合，
∵，，，∴，
∴，∴，
∴半圆O的半径为，故结论Ⅰ正确；
当时，如图2，连接，∵，，
∴，∴是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵是的半径，且，∴与半圆O相切，
∵，∴，∴，故结论Ⅱ正确，故选：C．
【点睛】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、勾股定理、切线的判定定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．（2023上·湖北武汉·九年级武汉市第一初级中学校考阶段练习）如图，在中，，，为中点，则当最大时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，三角形中位线性质；取的中点，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，当与相切时，最大，即，然后运用勾股定理求解即可；解题的关键是掌握点、的运动轨迹．
【详解】解：如图，取的中点，
，，为中点，，
点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵当与相切时，最大，，
，故选：D．
10．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，在中，，以为直径的交于点D．过点C作，在上取一点E，使，连接．对于下列结论：①；②；③为的切线；④，其中一定正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，圆的切线的判定，圆的性质，熟练掌握圆的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】∵，以为直径的交于点D．
∴，，∴，故①正确；∵，∴，
∵，∴，∴，故②正确；
∵，，∴，∴是三角形的中线，∴，
∵，∴，∴为的切线，故③正确；
无法判断，故④错误，故选B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ．
【答案】/40度
【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数．
【详解】解：连接交于点G，
，，
∵点O为的内切圆的圆心，，，
，垂直平分，，
，故答案为：．
12．（2023上·北京西城·九年级校考期中）如图，是的切线，A，B为切点，C为圆上一点，，时， ，的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是切线的性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理，掌握根据切线的性质求出，根据切线长定理求出，根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理计算，得到答案．是解题的关键．
【详解】连接，∵是的两条切线，∴，∵，
∴，；
∵是的两条切线，∴，
∴，∴，故答案为：．
13．（2023上·福建福州·九年级校考期中）如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为 ．
【答案】
【分析】作于点D，作于点F，连接和，可得平分，且垂直平分，及和，点A、点P、点Q、和点共线，进一步求得、和，由，得，利用勾股定理求得即可求得答案．
【详解】解：作于点D，作于点F，连接和，如图，
则，∵，∴平分，且垂直平分，
∵，∴，∴，
∵、分别是的内心和外心，∴点P、点Q、线段都在线段上，
则，，，
在中，，得，解得，
在和中∴，
∴，则，
∵，∴，解得，
则．故答案为∶．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的内心、三角形的外心和全等三角形的判定和性质，结合性质作出所需要的辅助线是解题的关键．
14．（2023上·福建厦门·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，以顶点为圆心，2为半径作，过边上的一点作射线与相切于点，且交边于点，连接，若，则 ．
【答案】6
【分析】延长交于点，连接，证明，得到，进而得到，即：，切线的性质，得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：延长交于点，连接，则：
∵，∴，
∵矩形，∴，∴
又，∴，∴，
∴，，即：
∵与相切于点，半径为2，∴，，
∴，∴；故答案为：6．
【点睛】本题考查切线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形．
15．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与相切于点E，F．已知，则的长度为 ．
【答案】
【分析】如图，作，，与交于点，则，由折叠的性质可知，扇形与扇形半径相同，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作，，与交于点，
∴，
由折叠的性质可知，扇形与扇形半径相同，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠的性质，四边形内角和，弧长等知识．熟练掌握折叠的性质，弧长公式是解题的关键．
16．（2023上·湖北·九年级校联考阶段练习）如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接， 交于点G，且，连接并延长交于点 H，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查正方形的性质，圆的性质以及切线长定理，根据题意画出辅助圆是解题的关键．证明得到，即可得到点在以为直径的圆上，与相切时，最大，由勾股定理求出的最大值为，即可得到答案．
【详解】解：正方形，，
，，，
，，
，点在以为直径的圆上，
与相切时，最大，此时，
设，则，在中，，
，解得，的最大值为，故的最小值为．故答案为：．
17．（2023上·浙江台州·九年级台州初级中学校考阶段练习）如图，，半径为的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理；设半径为的与角的两边相切于，，连接，，延长交于，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，如图，延长交于，推出与是直角三角形，根据直角三角形的性质得到，，求得，当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，则四边形是正方形，根据正方形的性质得到，求得；如图，当与相切且点在圆心的，左侧时，有最小值，同理可得于是得到结论．
【详解】解：设半径为的与角的两边相切于，，如图，连接，，延长交于，，
，是直角三角形，，
，，，，
如图，延长交于，，，，
，，与是直角三角形，
，，，
当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，
则四边形是正方形，，，
(；
如图，当与相切且点在圆心的左侧时，有最小值，
同理可得(；
故的取值范围是，故答案为：．
18．（2023上·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，为的直径，为的切线，为切点，连接交于点交于的延长线交于点F，以下结论：①；②点E为的内心；③；④；⑤．其中正确的有 ．
【答案】①②④⑤
【分析】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等等．如图所示，连接，先证明，得到，再由圆周角定理得到即可判断①；根据切线的性质和三角形内角和定理得到，进而推出则是的角平分线，同理可证得是的平分线，即可判断②；若若，则应有，应，进而推出而的度数不一定是60度，即可判断③；由E为的内心，推出是的角平分线，证明，据此可判断④⑤．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，故①正确；
∵是的切线，∴，∴，
∵，∴∴，∵，
∴，即是的角平分线，同理可证得是的平分线，
∴E为的内心，故②正确；
若，则应有，应有，
∴，∴，
而的度数不一定是60度，故③不正确；
∵E为的内心，∴是的角平分线，
∵为的直径，∴，即，
∴，∴，，故④正确；
∵，∴，∴，故⑤正确；
因此正确的结论有：①②④⑤．故答案为：①②④⑤．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点，过作的切线，与交于点，与的延长线交于点．(1)求证：；(2)若，，，则图中阴影部分的面积为________．（用含的式子表示）
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）如图1，连接，则，由等边对等角可得，即，，进而可证；（2）由（1）可知，，由勾股定理得，，如图1，连接，，证明，则，即，解得，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵是的切线，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴；
（2）解：由（1）可知，，
由勾股定理得，，如图1，连接，∵是的直径，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
∴，即，解得，∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边对等角，切线的性质，平行线的判定，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，相似三角形的判定与性质，扇形面积，三角形外角的性质等知识．熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键．
20．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在四边形中，相交于点E，且，经过A，C，D三点的交于点F，连接．
(1)求证：；(2)若，求证：是的切线．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查圆周角的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理．（1）根据，可得，两式相减即得，结论得证；（2）连接并延长交于G点，再连接，可得，再根据已知证明，进而得，从而得即可．
【详解】（1）证明：，，
，，又，，
，即：，；
（2）证明：连接并延长交于G点，再连接，
为O直径，，，
，，
，，
，，，
，，，是的切线．
21．（2023上·江苏常州·九年级常州实验初中校考期中）已知矩形中，，，点O是上一动点，的半径为r（r为定值），当经过点C时，此时恰与对角线相切于点P，如图1所示．(1)求的半径r；(2)若从点B出发（圆心O与点B重合），沿方向向点C平移，速度为每秒1个单位长度，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如图2所示．当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，与相切？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)或；
【分析】（1）连接，先求得，在中列出方程求得结果；（2）分为点在点的左右两侧两种情形：当点在点右侧时，四边形是矩形，可求得，根据，列出方程，进而求得结果，同样方法求得点在点左侧的结果．
【详解】（1）解：如图，连接，则，
四边形是矩形，，，
，，
是的切线，，，
∵，；
（2）解：①如图，当点在点右侧时，连接，，
四边形是矩形，，，，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，，，
是的切线，，，，
，，，，
如图，当点在点的左侧时，同理可得，，；
综上所述：或；
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、矩形判定和性质、一元一次方程的应用、二次根式的混合运算、勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论．
22．（2023上·北京西城·九年级校考期中）如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E．(1)连接，则_______；(2)求证：与相切；(3)点F在上，，交于点N．若，求的长．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【分析】（1）由，和M是的中点，利用三角函数可以得到；
（2）只需证明，便可以得到与相切；（3）连接，，证明，，根据特殊角的三角函数值可以得到的数值．
【详解】（1）解：如图1，连接，，
∵是的直径，，∴垂直平分，
∵M是的中点，∴，∴，
∴，即；故答案为：；
（2）解：∵，是的直径，∴，∵M是的中点，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴与相切；
（3）如图2，连接，，
∵于M，∴M是中点，∴，
∵，∴，∴，∴，
由（1）可知，∴，
在中，，，，∴，
在中，，，，∴，
∵，∴是等边三角形，
∴，，∴，
在中，，，，∴．
【点睛】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值，等比三角形的判定与性质的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力．
23．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）【特例感知】（1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ．
【类比迁移】（2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】（3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______．
【答案】（1）3，；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）作于点F，求得，，利用勾股定理和面积法即可求解；
（2）结论：．只要证明，推出，，推出即可解决问题；（3）过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为2，在中，理由勾股定理即可解决问题；
【详解】解；（1）作于点F，
∵平分，，，∴，
∵平分，∴，∵为直径，∴，
∵，∴，
∵，即，∴，故答案为：3，；
（2）如图，结论：．
理由：作于，连接，．
平分，，，，，
，，，，
，，，
，，∴，
，．
（3）如图，过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．，正方形的边长为，
由（2）可知：，，
由切线长定理可知：，，
设内切圆的半径为，则解得，即，
在中，．故答案为：．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，以为直径的交边于点D、H，连接，过点C作．
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；(2)在（1）的条件下，若，，求的直径；(3)连接与交点G恰好落在上，若，直接写出弦和围成的图形的面积．
【答案】(1)图形见解析(2)(3)
【分析】（1）以C为圆心，为半径画弧交于点F，连接即为所求，根据圆周角定理及邻补角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质及平行线的性质推出，根据切线的判定定理即可得解；
（2）根据圆周角定理及等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求解即可；
（3）根据三角形中线的性质及圆周角定理推出是的垂直平分线，结合线段垂直平分线的性质推出是等边三角形，进而推出和是等边三角形，结合等边三角形的性质及平角定义求出，结合三角形中位线性质及平行线间的距离相等求出，进而求出弦和围成的图形的面积，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，以C为圆心，为半径画弧交于点F，连接即为所求，理由如下：
为直径的交边于点D，
，，
，，
，，，
在和中，，，
，，，
，，为的直径，为的切线；
（2）解：如图，连接，是的直径，，
又，，，，
由（1）知，，设，
，，，即的直径为8；
（3）解：如图，连接，
，，是的中线，
是的中线，与交点G恰好落在上，
是的中线，，，，
是的垂直平分线，，是等边三角形，，
，和是等边三角形，
，，
，，，
∴弦和围成的图形的面积，
∵直径，，
∴弦和围成的图形的面积为．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定、作图、全等三角形的判定于性质、圆周角定理、勾股定理、扇形面积的计算等知识，熟练掌握圆周角定理、勾股定理、扇形面积的计算公式并作出合理的辅助线是解题的关键．
25．（2023上·江苏无锡·九年级校考期中）【学习心得】（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______．【初步运用】（2）如图2，在四边形中，，求的度数；【方法迁移】（3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；【问题拓展】（4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为_____．②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长．
【答案】（1）45；（2）；（3）见解析；（4）①；②
【分析】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识．（1）由圆周角定理可得出答案；（2）取的中点O，连接．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出，则可得出答案；
（3）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可；（4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案；②作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．由圆周角定理及勾股定理可得出答案．
【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，，
；故答案为：45；
（2）如图2，的中点O，连接．
，，
，∴点A、B、C、D共圆，，
，；
（3）作图如下：由图知，；同理．
（4）①．
在上截取，连接，以为直径，交于E，交于F，连接，过圆心O作于H且交圆O于G，过G作的切线交于K交于Q，如图所示：
，，的半径为，即，
，，，，
，即，故答案为：；
②如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．
，．在中，，．
，O为圆心，，．
在中，，，．
在中，，，．
26．（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由．
【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是．
（1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出最大射门角的度数．
【理解应用】（1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（ ）
A．点 B．点或点 C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点
（2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度．
【答案】[提出问题] 甲自己射门好，理由见解析；[经验感知]（1）作图见解析；（2）；[理解应用] （1）C；（2）
【分析】[提出问题]根据同弧所对的圆周角，以及三角形外角的性质可得，，然后作答即可；[经验感知]（1）由题意知，过三点，分别作的垂直平分线，交点即为圆心，然后作圆即可；（2）如图4，连接，于，是的切点，四边形是矩形，，则，是等边三角形，然后根据圆周定理求最大射门角的度数即可；
[理解应用]（1）如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，，由，可知四点共圆，如图5，则，然后作答即可；
（2）如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角，，，均为等腰直角三角形，，，设的半径为，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解满足要求的值，根据，计算求解即可．
【详解】[提出问题]解：甲自己射门好，理由如下：
如图2，记与过两点的圆的交点为，连接，
∵，∴，
∵，∴，∴甲自己射门好；
[经验感知]（1）如图4，即为所求；
（2）如图4，连接，于，
∵是的切点，∴，
∵，，∴四边形是矩形，
∵，∴，
∴，∴是等边三角形，，
∵，∴，∴最大射门角的度数为；
[理解应用]（1）解：如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，，
由勾股定理得，，
∴，∴四点共圆，如图5，∴，
∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C；
（2）解：∵，，，
∴，
如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角，
∴，，，
∵，∴，∴，，
∴，，
由题意知，，，
∴均为等腰直角三角形，∴，，
设的半径为，则，，
∴，由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
∴射门角（）最大，此时的长度为米．
【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，作垂线，垂直平分线的性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．理解题意，熟练掌握圆的知识是解题的关键．
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专题1.6 解直角三角形 章末检测
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·北京海淀·九年级校考阶段练习）在中，，是角平分线．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．（内蒙古2023-2024学年九年级月考）如图，在中，切于点，连接交于点．过点作交于点，连接．若．则为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·福建厦门·九年级校联考阶段练习）已知：如图，点是的内心，连接并延长交于点，则下列命题中正确的（ ）
A．是的平分线 B．是边上的高
C．是边上的中线 D．是边上的中垂线
4．（2023上·安徽铜陵·九年级校考阶段练习）如图，与矩形的边相切于点，，，点是上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，在中，，，以斜边上的一点O为圆心所作的圆分别与、相切于点D、E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（ ）
A．48 B． C．24 D．
7．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考期末）如图，、是的切线，是的直径，延长，与的延长线交于点，过点作弦，且，连接并延长与圆交于点，连接，若，，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C． D．
8．（2023上·河北张家口·九年级统考期中）如图，在中，，，．O是边上一点，以点O为圆心，长为半径在边的右侧作半圆O，交边于点P，交边于点Q．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：当的长度最短时，半圆O的半径为
结论Ⅱ：当时，与半圆O相切，且
A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ、Ⅱ都对 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
9．（2023上·湖北武汉·九年级武汉市第一初级中学校考阶段练习）如图，在中，，，为中点，则当最大时，的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，在中，，以为直径的交于点D．过点C作，在上取一点E，使，连接．对于下列结论：①；②；③为的切线；④，其中一定正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ．
12．（2023上·北京西城·九年级校考期中）如图，是的切线，A，B为切点，C为圆上一点，，时， ，的长为 ．
13．（2023上·福建福州·九年级校考期中）如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为 ．
14．（2023上·福建厦门·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，以顶点为圆心，2为半径作，过边上的一点作射线与相切于点，且交边于点，连接，若，则 ．
15．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与相切于点E，F．已知，则的长度为 ．
16．（2023上·湖北·九年级校联考阶段练习）如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接， 交于点G，且，连接并延长交于点 H，则的最小值是 ．
17．（2023上·浙江台州·九年级台州初级中学校考阶段练习）如图，，半径为的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 ．
18．（2023上·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，为的直径，为的切线，为切点，连接交于点交于的延长线交于点F，以下结论：①；②点E为的内心；③；④；⑤．其中正确的有 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点，过作的切线，与交于点，与的延长线交于点．(1)求证：；(2)若，，，则图中阴影部分的面积为________．（用含的式子表示）
20．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在四边形中，相交于点E，且，经过A，C，D三点的交于点F，连接．
(1)求证：；(2)若，求证：是的切线．
21．（2023上·江苏常州·九年级常州实验初中校考期中）已知矩形中，，，点O是上一动点，的半径为r（r为定值），当经过点C时，此时恰与对角线相切于点P，如图1所示．(1)求的半径r；(2)若从点B出发（圆心O与点B重合），沿方向向点C平移，速度为每秒1个单位长度，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接，如图2所示．当平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，与相切？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
22．（2023上·北京西城·九年级校考期中）如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E．(1)连接，则_______；(2)求证：与相切；(3)点F在上，，交于点N．若，求的长．
23．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）【特例感知】（1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ．
【类比迁移】（2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】（3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______．
24．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，以为直径的交边于点D、H，连接，过点C作．
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；(2)在（1）的条件下，若，，求的直径；(3)连接与交点G恰好落在上，若，直接写出弦和围成的图形的面积．
25．（2023上·江苏无锡·九年级校考期中）【学习心得】（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______．【初步运用】（2）如图2，在四边形中，，求的度数；【方法迁移】（3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；【问题拓展】（4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为_____．②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长．
26．（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由．
【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是．
（1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出最大射门角的度数．
【理解应用】（1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（ ）
A．点 B．点或点 C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点
（2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度．
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