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专题1-2 二次根式的性质
模块1：学习目标
1. 掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
2.掌握复合二次根式的化简。
模块2：知识梳理
1.二次根式的性质
1）≥0，（≥0）； 2）（≥0）；3）.
注意：1）二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数可写成它的算术平方根的形式，即.
2）与要注意区别与联系：
（1)的取值范围不同，中≥0，中为任意值。
（2)≥0时，==；<0时，无意义，=.
模块3：核心考点与典例
考点1、利用二次根式的性质求值（）
例1．（2023上·上海普陀·八年级校考期中）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握是解本题的关键，本题判断，再化简即可．
【详解】解：，故答案为：
变式1.（2023下·湖北荆州·七年级校考期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查利用二次根式的性质进行化简，，直接根据这个性质计算即可求出答案．
【详解】解：；故选：A．
变式2. （2023上·江苏南京·八年级统考期中）计算：．
【答案】5
【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，立方根的意义．利用二次根式的运算性质，立方根的意义解答即可．
【详解】解：=．
考点2、利用二次根式的性质化简1
例1．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于结合数轴进行解答．由数轴得出，原式化简为，再去掉绝对值符号、合并同类项即可．
【详解】解：由数轴可知：，，故选：A．
变式1.（2023上·吉林长春·八年级校考期中）若，则化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据题意先分析出和与的关系，再进行化简即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【详解】解：由题可知，则，，
∴原式，，故选：．
变式2.（2023·平南县八年级月考）已知，化简，的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先将两个根式的被开方数化为完全平方式，再根据a的取值范围，判断出底数的符号，然后根据二次根式的意义化简．
【详解】∵（a-）2+4=a2+2+=（a+）2，（a+）2-4=a2-2+=（a-）2，
∴原式=；
∵-1＜a＜0，∴a+<0，a-=>0；
∴原式==-a-+（a-）=-，故选D．
【点睛】本题考查二次根式的化简，能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形，是解答此题的关键．
变式3.（2023上·山西晋城·九年级统考期中）（9分）当时，求的值．如图
(1)______的解法是错误的．(2)当时，求的值．
【答案】(1)小亮(2)
【分析】此题考查二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的化简，
（1）根据二次根式的性质判断，由此进行判断；
（2）利用完全平方公式将化为，再根据取值化简即可；
正确理解二次根式的性质进行化简是解题的关键．
【详解】（1）
当时，，则小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；
（2）当时，＝．
考点3、利用二次根式的性质化简2
例1．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知，化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查二次根式的性质和化简，根据，由，化简解答即可．
【详解】解：，，故选：B．
变式1.（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据，再由二次根式的性质即可得出结论，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
【详解】解：，故选：．
变式2.（2023上·河南焦作·八年级统考期中）已知，则化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查二次根式的性质及化简．首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：根据题意得：，∴，
∵，∴，，故选：A
变式3.（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知xy＜0，化简：＝_____．
【答案】
【分析】根据被开方数非负可得y＜0，进行化简即可．
【详解】解：∵xy＜0，∴x＜0 ，y＞0或者y＜0 ，x＞0，
∵被开方数≥0，x2＞0∴-y＜0，∴x＜0 ，y＞0，
∴故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
考点4、利用二次根式的性质化简3
例1．（2023·安徽芜湖·九年级统考期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．
【详解】解：由题意可知：，∴．故选：C．
【点睛】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．
变式1.（2023·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数，分母.∴，∴.
∴原式．故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
变式2.（2023下·浙江·八年级假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解．
【详解】解：∵，有意义，∴，则，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
考点5、利用二次根式的性质化简4
例1．（2023上·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
利用二次根式的性质，得到，由此得到答案．
【详解】解：由题意得：，
由二次根式有意义的条件得：，解得：．故答案为：．
变式1. （2023·上海宝山·八年级校考阶段练习）若，则的取值范围是 ．
【答案】-2≤x≤0
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案．
【详解】解：，x≤0，x+2≥0，解得-2≤x≤0，故答案为：-2≤x≤0．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．
变式2．（2023·浙江·八年级其他模拟）已知，则a的取值范围________．
【答案】a≤-3
【分析】根据二次根式的性质得到，再根据绝对值的意义得到a-3≤0，然后解不等式即可．
【详解】解：∵，∴，∴a≤-3，故答案为：a≤-3．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：．也考查了绝对值．
变式3．（2023·四川武外八年级月考）若，则__________．
【答案】或
【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可．
【详解】解：∵，∴2x-1=0或2x-1=1，解得：或1．故答案为或．
【点睛】本题考查了算术平方根等于本身的数，理解题意列出方程是解题的关键．
考点6、复合二次根式的化简
例1．（2023下·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
【答案】（1）④，；（2）；（3）
【分析】（1）第④步出现了错误，；
（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；
（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键．
变式1. （2023下·贵州遵义·八年级统考期末）阅读下列材料，解决问题：
①∵
∴
∴
②∵
∴
∴……
由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简．
(1)化简：；(2)现有长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能否构成三角形？请说明理由.
【答案】(1)(2)能，理由见解析
【分析】（1）根据例题以及二次根式的性质，进行计算即可求解；
（2）先化简双重二次根式，然后根据三角形三边关系即可求解．
【详解】（1）解：∵∴；
（2）能，理由如下，
∵∴
∵，
∵∴
∵∴
即
∴长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能构成三角形
【点睛】本题考查了二次根式的应用，三角形三边关系定理，掌握二次根式的运算法则、完全平方公式以及三角形三边关系定理是解题的关键．
变式2．（2023·山东聊城·八年级统考期末）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：；(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
【答案】(1)(2)(3)a的值为或
【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，，
又为正整数，，或者，
当时，；当，，综上所述，a的值为或．
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
考点7、二次根式的性质的其他运用
例1．（2023·湖北荆州·统考三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
【答案】x＝7
【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解．
【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得：
（﹣）×（+）＝m，
x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3，
∴+＝3，与原方程相加得：
（﹣）+（+）＝3＋1，
2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根．
【点睛】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题．
变式1．（2023下·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）观察以下等式：
第1个等式：＝；
第2个等式：＝；
第3个等式：＝；
第4个等式：＝；
第5个等式：＝；…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1) (2)第n个等式，证明见解析
【分析】（1）根据题意写出第6个等式；
（2）根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则证明结论．
【详解】（1）第6个等式：；
（2）第个等式：．
证明：，
∵左边=右边，故该等式成立．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江金华·八年级统考阶段练习）下列四个等式：①；②；③；④其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】解：①，正确；②，原式错误；
③，正确；④，原式错误；正确的是①③，故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2023下·湖北武汉·八年级校考期中）下列各式计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据进行求解是解题的关键．
【详解】解：A、，原式错误，不符合题意；
B、，原式错误，不符合题意；
C、，原式错误，不符合题意；
D、，原式正确，符合题意；故选D．
3．（2022春·浙江嘉兴·八年级期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋的结果是（ ）
A．﹣2a＋b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【答案】A
【分析】利用绝对值的意义和二次根式的性质化简运算即可．
【详解】解：由实数a，b在数轴上对应点的位置可得：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴-a＞0，a-b＜0，∴原式=-a+（b-a）=-a+b-a=-2a+b，故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质，利用实数a，b在数轴上对应点的位置确定相关式子的符号是解题的关键．
4．（2023·上海宝山·八年级统考期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，∴∴，故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
5．（2012春·浙江·八年级统考期中）若＝1﹣x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质，化简得，，由已知，可得，，最后根据绝对值的性质，得到x的取值范围．
【详解】解：∵，，∴，
∴，解得，，故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，充分理解以上知识是解题的关键．
6．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）若1≤x≤4，化简的结果为（ ）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣3 D．5﹣2x
【答案】B
【分析】由1≤x≤4，根据去绝对值符号法则及完全平方公式，即可解答．
【详解】解：，，，
故选：B．
【点睛】本题考查了去绝对值符号法则及完全平方公式，熟练掌握和运用去绝对值符号法则是解决本题的关键．
7．（2023·浙江金华·八年级校考阶段练习）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用数轴上点位置得出的取值范围，再利用二次根式以及绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得：，，
原式，故选：A．
【点睛】此题考查了数轴以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
8．（2023·浙江·八年级校联考期中）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解：由题意可得：，∴
∴
故选：C
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
9．（2023·浙江杭州·八年级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A．在a＞1的条件下化简代数式的结果为2a﹣1
B．的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为0.6
C．当的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
D．若，则字母a必须满足a≥1
【答案】B
【分析】首先将原式变形为a+，然后再根据=|a|，将原式变形为a+|a-1|，然后依据绝对值的性质分类化简即可得出结论．
【详解】解：＝|﹣1|＝．
当＞1时，＝+﹣1＝2﹣1，
当＝1时，＝+﹣1＝2﹣1＝1，
当＜1时，＝﹣+1＝1，因此
A．在＞1的条件下化简代数式= +| -1|=2﹣1，正确，故选项不符合题意；
B．= +| -1|= 的值随>1时增大而增大，当取何值时，代数式≥1 0.6，故选项符合题意；
C．当的值恒为定值时，字母的取值范围是≤1，正确，故选项不符合题意；
D．，由根式有意义-1≥0，则必须满足≥1，正确，选项不符合题意.
故选择：B．
【点睛】本题考查非负数的性质：二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件．掌握非负数的性质：二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件是解题关键．
10．（2023上·重庆·八年级校考阶段练习）一般地，如果（为正整数，且，那么叫作的次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4052个．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据新定义的含义结合可判断①，根据几次方根的含义可判断②，先利用平方差公式计算，结合三次方根的含义可判断③，根据绝对值的化简先求解，可得非负整数的数量，结合平方根的含义可判断④，从而可得答案．
【详解】解；∵，
∴3是81的四次方根；故①符合题意；
任何实数都有唯一的奇次方根；描述正确，故②符合题意；
∵
，∴的三次方根是；故③符合题意；
∵∴，
而，∴，
∴非负整数有个，其中的平方根是，
∴整数的二次方根有4051个．故④不符合题意；故选C
【点睛】本题考查的是自定义的含义，化简绝对值，平方根的含义，二次根式的化简，平方差公式的灵活运用，理解题意是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）计算：________．
【答案】2
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：．故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
12．（2022上·上海奉贤·八年级校考期中）化简： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：原式．故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
13．（2023下·湖北武汉·八年级校考期中）已知有意义，则： ．
【答案】
【分析】此题考查二次根式有意义及化简，根据有意义，判断的取值，再化简即可．
【详解】解：有意义，，，．
14．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴和二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，从而可得，，，再根据二次根式的性质化简即可得．
【详解】解：由数轴可知，，，则，，，
所以．故答案为：
15．（2023·浙江温州·八年级校考期中）当x取______时，4﹣的值最大．
【答案】5
【分析】根据≥0，所以=0时，4﹣的值最大求解即可．
【详解】解：因为≥0，∴当最小时，此时4﹣的值最大，
当5﹣x＝0时，即x＝5时，4﹣的值最大，故答案为：5．
【点睛】本题考查二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性≥0（a≥0）是解题的关键．
16．（2023·浙江·八年级期末）已知，则的值是_____________．
【答案】9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，∴，，，
∴，，，∴，，，∴，故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．
17．（2023·浙江·八年级期中）已知，当分别取1、2、3、…、2021时，所对应值的总和是_____．
【答案】2033
【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和．
【详解】解：∵
∴当x＜4时，，
即当x=1时，y=9-2=7；当x=2时，y=9-4=5；当x=3时，y=9-6=3；
当x≥4时，，
即当x分别取4，5，…，2021时，y的值均为1，
综上所述，当x分别取1，2，3，…，2021时，
所对应的y值的总和是7+5+3+2018×1=2033，故答案为：2033．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．
18．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ．
【答案】/
【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：；故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023下·湖北武汉·八年级校考期中）已知：，化简：．
【答案】6
【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的化简及绝对值的化简，根据及绝对值化简，然后合并同类项即可．
【详解】解：，
，，
原式．
20．（2023上·辽宁朝阳·七年级校考期中）直线在直角坐标系中的图象如图所示．化简：
【答案】1
【分析】本题主要考查了一次函数的图象性质及绝对值的性质，要掌握它的性质才能灵活解题．先根据图象判断出a、b的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可．
【详解】解：根据图象可知直线经过第二、三、四象限，
∴，，∴，，∴，，，
∴
．
21．（2023上·四川乐山·八年级校考阶段练习）已知m，n满足，求的值．
【答案】
【分析】根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简后即可求出m与n的值，然后代入原式即可求出答案．
【详解】解：由题意得：，，，，
原式化简为：，即，
，，，，，．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．
22．（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）课本再现
思考：对于任意数，一定等于吗？
得出结论（1）________，________，由以上两个例题可以得出结论：________．
知识应用
（2）已知实数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示．
请化简：．
【答案】（1）5，5，；（2）
【分析】本题考查数轴，二次根式的化简，化简绝对值，掌握是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质求解；（2）根据数轴确定a，c和的正负，进而利用化简．
【详解】（1），，可以得出结论：，故答案为：5，5，；
（2）由数轴可知，，，，
．
23．（2023下·安徽宿州·九年级校考期中）观察下列等式：
第一个等式：；第二个等式：；
第三个等式：；……根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第四个等式：______；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明．
【答案】(1)(2)，证明见解析
【分析】（1）由前三个等式得出规律，即可得出结果；
（2）由规律得出答案，再验证即可．
【详解】（1）解：由题意可得：第四个等式为：，故答案为：；
（2）猜想的第n个等式为：，
验证：
所写等式正确．
【点睛】本题主要考查数式的变化规律，二次根式的化简，归纳推理等知识，根据题意得出规律是解决问题的关键．
24．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件．
【感知探索】补全下面两个问题的解答过程：
（）已知，化简．
解：原式，
∵（显性条件），请进一步完成的化简．
（）三角形的三边长分别为，化简．
解：∵三角形的三边长分别为，∴的取值范围是______．（隐含条件）
化简．
【拓展应用】解方程：．
【答案】（）；（），；【拓展应用】．
【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等，
（）根据二次根式的性质即可求出答案；
（）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案；
解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系．
【详解】解：（）原式，
∵（显性条件），由题意得（隐含条件），
∴，∴，∴原式，；
（）∵三角形的三边长分别为，∴，
∴的取值范围是，（隐含条件）
∴原式，，
故答案为：；
【拓展应用】由题意得，∴（隐含条件），
∴原方程可化为：，解得，符合题意．
25．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，的算术平方根是．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：(1)；(2)
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式；
（1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可；
（2）先化简，再化简原式即可得出答案；
（3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
；
（3）解：
．
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专题1-2 二次根式的性质
模块1：学习目标
1. 掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
2.掌握复合二次根式的化简。
模块2：知识梳理
1.二次根式的性质
1）≥0，（≥0）； 2）（≥0）；3）.
注意：1）二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数可写成它的算术平方根的形式，即.
2）与要注意区别与联系：
（1)的取值范围不同，中≥0，中为任意值。
（2)≥0时，==；<0时，无意义，=.
模块3：核心考点与典例
考点1、利用二次根式的性质求值（）
例1．（2023上·上海普陀·八年级校考期中）计算： ．
变式1.（2023下·湖北荆州·七年级校考期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023上·江苏南京·八年级统考期中）计算：．
考点2、利用二次根式的性质化简1
例1．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023上·吉林长春·八年级校考期中）若，则化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·平南县八年级月考）已知，化简，的结果为（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2023上·山西晋城·九年级统考期中）（9分）当时，求的值．如图
(1)______的解法是错误的．(2)当时，求的值．
考点3、利用二次根式的性质化简2
例1．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知，化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式，得（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023上·河南焦作·八年级统考期中）已知，则化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）已知xy＜0，化简：＝_____．
考点4、利用二次根式的性质化简3
例1．（2023·安徽芜湖·九年级统考期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
变式1.（2023·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023下·浙江·八年级假期作业）把中根号外因式适当变形后移至根号内得 ．
考点5、利用二次根式的性质化简4
例1．（2023上·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）若，则的取值范围是 ．
变式1. （2023·上海宝山·八年级校考阶段练习）若，则的取值范围是 ．
变式2．（2023·浙江·八年级其他模拟）已知，则a的取值范围________．
变式3．（2023·四川武外八年级月考）若，则__________．
考点6、复合二次根式的化简
例1．（2023下·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
变式1. （2023下·贵州遵义·八年级统考期末）阅读下列材料，解决问题：
①∵
∴
∴
②∵
∴
∴……
由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简．
(1)化简：；(2)现有长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能否构成三角形？请说明理由.
变式2．（2023·山东聊城·八年级统考期末）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：；(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
考点7、二次根式的性质的其他运用
例1．（2023·湖北荆州·统考三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
变式1．（2023下·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）观察以下等式：
第1个等式：＝；
第2个等式：＝；
第3个等式：＝；
第4个等式：＝；
第5个等式：＝；…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·浙江金华·八年级统考阶段练习）下列四个等式：①；②；③；④其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．（2023下·湖北武汉·八年级校考期中）下列各式计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022春·浙江嘉兴·八年级期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋的结果是（ ）
A．﹣2a＋b B．2a﹣b C．﹣b D．b
4．（2023·上海宝山·八年级统考期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2012春·浙江·八年级统考期中）若＝1﹣x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
6．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）若1≤x≤4，化简的结果为（ ）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣3 D．5﹣2x
7．（2023·浙江金华·八年级校考阶段练习）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江·八年级校联考期中）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江杭州·八年级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A．在a＞1的条件下化简代数式的结果为2a﹣1
B．的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为0.6
C．当的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
D．若，则字母a必须满足a≥1
10．（2023上·重庆·八年级校考阶段练习）一般地，如果（为正整数，且，那么叫作的次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4052个．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）计算：________．
12．（2022上·上海奉贤·八年级校考期中）化简： ．
13．（2023下·湖北武汉·八年级校考期中）已知有意义，则： ．
14．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简： ．
15．（2023·浙江温州·八年级校考期中）当x取______时，4﹣的值最大．
16．（2023·浙江·八年级期末）已知，则的值是_____________．
17．（2023·浙江·八年级期中）已知，当分别取1、2、3、…、2021时，所对应值的总和是_____．
18．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023下·湖北武汉·八年级校考期中）已知：，化简：．
20．（2023上·辽宁朝阳·七年级校考期中）直线在直角坐标系中的图象如图所示．化简：
21．（2023上·四川乐山·八年级校考阶段练习）已知m，n满足，求的值．
22．（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）课本再现
思考：对于任意数，一定等于吗？
得出结论（1）________，________，由以上两个例题可以得出结论：________．
知识应用（2）已知实数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示．
请化简：．
23．（2023下·安徽宿州·九年级校考期中）观察下列等式：
第一个等式：；第二个等式：；
第三个等式：；……根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第四个等式：______；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明．
24．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件．
【感知探索】补全下面两个问题的解答过程：
（）已知，化简．
解：原式，
∵（显性条件），请进一步完成的化简．
（）三角形的三边长分别为，化简．
解：∵三角形的三边长分别为，∴的取值范围是______．（隐含条件）
化简．
【拓展应用】解方程：．
25．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，的算术平方根是．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：(1)；(2)
(3)．
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