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专题1-3 二次根式的运算
模块1：学习目标
1. 掌握二次根式的乘除法法则，能利用其进行相关计算和逆用法则进行化简；
2. 理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除混合运算，能将二次根式化为最简二次根式；
3. 理解同类二次根式的定义及相关运用；
4. 掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；
5. 能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。
模块2：知识梳理
1.二次根式的乘法法则及逆用：；
2.二次根式的除法法则及逆用：；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3.最简二次根：我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
4.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
5.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
6.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
模块3：核心考点与典例
考点1、二次根式的乘法
例1．（2023上·广东佛山·八年级校考期中）计算：；
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可，能二次根式的性质化简是解题的关键．
【详解】解：，，．
变式1. （2021·四川绵阳市·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案.
【详解】解：故选：D.
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键.
变式2. （2023·浙江杭州·八年级校考期中）我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
【答案】B
【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解】解：，所以是型无理数，故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
考点2、二次根式的除法
例1．（2023·河南南阳市·九年级期末）计算：______．
【答案】
【分析】二次根式的混合运算，先分母有理化，然后化简计算．
【详解】解：故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．
变式1．（2023·平泉市八年级期末）计算：，则□中的数是（ ）
A．6 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由可得，化简即可．
【详解】解：∵∴＝ ＝ 故答案为：D
【点睛】本题考查二次根式的运算，根据相关知识点解题是重点.
考点3、二次根式的乘除混合运算
例1．（2023·广西防城港·八年级统考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可．
【详解】解：．故选：．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，根据运算顺序准确求解是解题的关键．
变式1.（2023·广东广州·校考三模）计算：等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：．故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，，，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
变式2. （2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据第一行和第三行列式进行计算即可得．
【详解】解：由题意得：，故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法与除法的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键．
考点4、最简二次根式及化为最简二次根式
例1．（2023·浙江杭州·八年级校考期中）以下各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
B选项，，故该选项不符合题意；C选项，，故该选项不符合题意；
D选项，，故该选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
变式1. （2023下·江苏无锡·八年级统考期末）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，故选项符合题意；
B、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意；
C、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意；
D、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，理解最简二次根式的满足的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
变式2. （2023下·广东珠海·八年级校考期中）把化成最简二次根式，结果为 ．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质将原式化为最简二次根式即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式，关键是理解最简二次根式的定义，化最简二次根式，最简二次根式定义满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数．
变式3．（2023·浙江八年级课时练习）化简： ； ．
【答案】
【分析】本题重点考查的是二次根式的化简，带分数化简时先将带分数化成假分数，再进行开平方化简；字母化简时首先判断字母的正负，再利用开平方化简．
【详解】解：∵，∴；
∵，∴，∴故答案为：；．
【点睛】掌握二次根式的基本性质与化简，二次根式的非负性是化简含字母问题的关键．
考点5、同类二次根式
例1．（2022上·福建泉州·九年级统考期中）下列根式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．
【详解】解：A. ，与不是同类二次根式，不符合题意；
B. ，与不是同类二次根式，不符合题意；
C. ，与是同类二次根式，符合题意；
D. ，与不是同类二次根式，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简以及同类二次根式的知识，熟练掌握二次根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
变式1．（2023·广西北海·八年级统考期末）下列各式中，与能合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项正确，符合题意；C．，故该选项不正确，不符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意．故选B．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
考点6、二次根式的相关参数问题
例1．（2022下·安徽合肥·八年级校考阶段练习）能够使与是同类最简二次根式的x值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】A
【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可
【详解】根据题意得：，且，，
∵，∴，解得：或（舍），∴，故选：A
【点睛】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键
变式1．（2023·安徽安庆·八年级校联考期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（）
A．5 B．3 C． 5 D． 3
【答案】B
【分析】先把化成最简二次根，再据同类二次根式的定义得出，然后求解即可得出答案．
【详解】解∶由题意可知：，则，，故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
变式2. （2023·广东广州·八年级校考期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．
【详解】解：，与最简二次根式能合并，，解得，故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．
考点7、二次根式的加减运算
例1．（2023·广州市南武中学八年级期中）（1）5﹣﹣；（2）（4﹣6）+2．
【答案】（1）2﹣2；（2）4﹣4
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，进而计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：（1）；
（2）.
【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简和二次根式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的相关知识.
变式1. （2022上·八年级单元测试）计算： ．
【答案】/
【分析】先化简各二次根式，再进行计算．
【详解】解：原式．故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
变式2.（2023·北京市八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：A．无法计算，故此选项错误；B．无法计算，故此选项错误；
C．，故此选项错误；D．，故此选项正确．故选：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
考点8、分母有理化及其运用
例1．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）先阅读材料，然后回答问题．
在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：①；②；③．
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：④
(1)请用不同的方法化简．(2)化简：．
【答案】(1)方法见解析，结果为(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）仿照题意进行分母有理化即可；（2）先根据分母有理化的方法推出，再把所求式子按照上述形式进行裂项，然后合并化简即可．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
，∴
．
变式1. （2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）化简 。
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行分母有理化后即可求解，掌握二次根式的分母有理化是解题的关键．
【详解】解：原式，
，．
变式2. （2023上·上海青浦·八年级校考期中）有理化分母： ．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式的化简，依题意，把的分子、分母同时乘即可．关键在根式分母的有理化．
【详解】由题知：．故答案为：．
考点9、二次根式的混合运算
例1．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)6(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的除法运算，然后分母有理化后合并即可；
（2）先根据平方差公式、负整数指数幂和二次根式的性质计算，然后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式1. （2023上·四川达州·八年级校考期末）计算下面各题．
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：
（1）先化简二次根式以及算二次根式的乘法，再算减法，即可作答．
（2）先整理得，再运用平方差公式计算，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
80．
变式2.（2022下·湖北黄冈·八年级校考期中）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则，注意计算的准确性即可．
（1）将二次根式化为最简二次根式后，利用加减混合运算法则即可求解；
（2）利用二次根式的混合运算法则即可求解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
考点10、二次根式的化简求值
例1．（2023上·四川成都·八年级树德中学校考期中）已知，．
(1)求的值；(2)求．
【答案】(1)；(2)．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化，先根据分母有理化求出，，即可求出，，即可得出答案，解题的关键是掌握分母有理化．
【详解】（1），，
∴；
（2）∵，
∴，，，．
变式1. （2023上·四川宜宾·九年级校考期中）已知，求下列代数式的值．
(1)(2)
【答案】(1)12(2)14
【分析】此题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．（1）根据完全平方公式，即可求解；（2）求出和的值，然后根据完全平方公式求出，再将所求式子变形为，再整体代入即可．
【详解】（1），
；
（2），
，
，
考点11、二次根式的大小比较
例1．（2023上·四川宜宾·八年级校考期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，，，，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较与的大小．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键．
（1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
（2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
【详解】（1）∵，，，，
∴
．
（2）∵,,
∴,,
∵,∴,
∴．
变式1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考阶段练习）若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】A
【分析】此题考查了两数实数大小，先计算倒数，然后作差值比较即可，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算和实数比较大小的方法．
【详解】解：∵，，
∴，
，
∴，∴，
∵，，∴，故选：．
变式2．（2023上·上海长宁·八年级校考期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解．
【详解】解：
，
∵，∴．故答案为：
考点12、二次根式的应用
例1．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为______，______．(2)求剩余木料的面积．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据平方根的定义计算即可；（2）利用面积公式进行计算即可；
本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：两个正方形木板的面积分别为和，
这两个正方形的边长分别为：,．
（2）这两个正方形的边长分别为：，
∴剩余木料的面积为．
变式1. （2023上·河南新乡·九年级统考期中）在长方形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长即可得出结果．
【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和，
∴它们的边长分别为，，∴，，
∴空白部分的面积 故选：A．
变式2. （2023上·福建漳州·八年级校考期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，空白部分的面积总和为，则较小的正方形面积为 ．
【答案】
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为，∴一个空白长方形面积=，
∵较大的正方形面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，
∴正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，设空白部分宽为，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积=，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·山东·八年级校联考期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．（2022·上海普陀·统考二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．
【详解】解：A.原式=，符合题意；B.不是同类二次根式，不符合题意；
C.不是同类二次根式，不符合题意；D.原式=，不符合题意，故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的概念．
3．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质和运算法则分别计算即可．
【详解】解：A.．，计算错误，不合题意；
B.．，计算正确，符合题意；
C．，计算错误，不合题意；
D．，计算错误，不合题意，故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的减法、乘除法计算以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质:和运算法则是解题的关键．
4．（2023·山东临沂·八年级统考期末）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（ ）．
A．型 B．型 C．型 D．型
【答案】B
【分析】将代数式化简即可判断．
【详解】故选：B
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．
5．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键．
【详解】解：
,,的值应在3和4之间．故选：B．
6．（2022春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝2，则Rt△ABC的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【答案】A
【分析】首先根据勾股定理求得BC的长度，然后根据直角三角形的面积公式进行解答．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝2，AB＝2，
∴由勾股定理得：BC2，
∴Rt△ABC的面积AC BC222．故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积．注意：勾股定理应用于直角三角形中，所以在解题过程中，必须指明△ABC是直角三角形．
7．（2023·上海·八年级校考期中）如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据同类二次根式的定义，列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，∴，∴，
使有意义，∴，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念及二次根式的性质：
概念：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式；
性质：被开方数为非负数．
8．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．2020
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的求值，分式的求值．根据已知，利用完全平方公式计算得到，去分母得到，再整体代入计算即可求解．
【详解】解：∵，∴，即，
∴，∴，即，
∴，故选：A．
9．（2021·湖南常德·统考中考真题）计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．
【详解】解：===1．故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．
10．（2022·广西·八年级专题练习）已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案．
【详解】解∵= =
∴∴
整理得∴
∵∴
整理得∴
∴∴
==
===故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山西晋中·统考一模）计算：的结果为 ．
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质化简根号，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
12．（2023上·安徽宿州·八年级统考期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ．
【答案】2
【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意得：∴
∵最简二次根式与是同类最简二次根式
∴ ∴ ∴故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解．
13．（2023下·浙江八年级课时练习）在，，中与可以合并的二次根式是 ．
【答案】
【分析】将所给的二次根式进行化简即可得到答案．
【详解】，，，
则与可以合并的二次根式是，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与合并，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
14．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知，，则的值为 ．
【答案】11
【分析】先将b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．解题的关键是对原代数式进行适当的变形，以简化运算．
【详解】
故答案为：11
15．（2022·山东枣庄·中考模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．
【答案】1
【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解.
【详解】∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S==1，故答案为1．
【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
16．（2023上·四川达州·八年级校联考期中）如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先求出，再由得出答案．
【详解】解：，，，，
，，．故答案为：．
17．（2023下·广东深圳·九年级校考自主招生）已知x，y为正整数，，求 ．
【答案】8
【分析】将等式进行因式分解，得到，求得，即可求解．
【详解】解：，，
，
，，
，，，
又x，y为正整数，则或，从而，故答案为：8．
【点睛】本题考查代数值求值、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简的结果为 _________．
【答案】
【分析】令，可求得x2=6，再由x<0，可得，再将所求式子化简即可．
【详解】解：令，
∴ =12 6=6，
∵，∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，灵活应用完全平方公式是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江八年级课时练习）化简：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】根据二次根式的性质以及最简二次根式的定义求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质以及最简二次根式的定义是解题的关键．
20．（2023上·上海金山·八年级校考期中）计算：．
【答案】．
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．
利用二次根式的乘除法则及性质“”计算即可．
【详解】原式
21．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；（1）先化简各二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算；（2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再进一步计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
22．（2023上·四川内江·九年级统考期中）已知，．求的值．
【答案】，
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
先将分式通分，再把字母的值代入相应的式子运算即可．
【详解】解：原式
当，时，原式，．
23．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
(1)求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式）(2)求种植青菜部分的面积．
【答案】(1)长方形的周长为；(2)种植青菜部分的面积为．
【分析】本题考查了二次根式的应用．（1）利用长方形的周长公式，即可列式作答；
（2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜部分的面积，即可列式作答．
【详解】（1）解：依题意：
长方形的周长，
所以长方形的周长为；
（2）解：依题意：种植青菜部分的面积
，
所以种植青菜部分的面积为．
24．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）观察下列等式
；
；
；
……
请你直接写出以下计算结果：
(1)请你猜测_________，_________；
(2)针对上述各式显示的规律，请你猜测
___________（，为整数）；
(3)利用上述规律计算：
______（，为整数）．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理数，熟练掌握相分母有理化的方法和步骤是解题的关键．（1）根据题目所给的运算方法进行计算即可；（2）根据题目所给的运算方法进行计算即可；（3）根据（1）（2）的运算结果，将算式化简，根据平方差公式将分母有理化，再进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：，
，故答案为：，．
（2）解：，故答案为：．
（3）解：根据题意可得：
，故答案为：．
25．（2023下·北京西城·八年级校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：(1)比较和的大小；
(2)求的最大值和最小值．
【答案】(1)(2)的最大值为2，最小值为
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】（1），，
而，，，；
（2）由，，得，，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
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专题1-3 二次根式的运算
模块1：学习目标
1. 掌握二次根式的乘除法法则，能利用其进行相关计算和逆用法则进行化简；
2. 理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除混合运算，能将二次根式化为最简二次根式；
3. 理解同类二次根式的定义及相关运用；
4. 掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；
5. 能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。
模块2：知识梳理
1.二次根式的乘法法则及逆用：；
2.二次根式的除法法则及逆用：；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3.最简二次根：我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
4.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
5.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
6.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
模块3：核心考点与典例
考点1、二次根式的乘法
例1．（2023上·广东佛山·八年级校考期中）计算：；
变式1. （2021·四川绵阳市·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
变式2. （2023·浙江杭州·八年级校考期中）我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
考点2、二次根式的除法
例1．（2023·河南南阳市·九年级期末）计算：______．
变式1．（2023·平泉市八年级期末）计算：，则□中的数是（ ）
A．6 B． C．2 D．
考点3、二次根式的乘除混合运算
例1．（2023·广西防城港·八年级统考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023·广东广州·校考三模）计算：等于（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为（ ）
A． B． C． D．
考点4、最简二次根式及化为最简二次根式
例1．（2023·浙江杭州·八年级校考期中）以下各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023下·江苏无锡·八年级统考期末）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023下·广东珠海·八年级校考期中）把化成最简二次根式，结果为 ．
变式3．（2023·浙江八年级课时练习）化简： ； ．
考点5、同类二次根式
例1．（2022上·福建泉州·九年级统考期中）下列根式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·广西北海·八年级统考期末）下列各式中，与能合并的是（ ）
A． B． C． D．
考点6、二次根式的相关参数问题
例1．（2022下·安徽合肥·八年级校考阶段练习）能够使与是同类最简二次根式的x值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
变式1．（2023·安徽安庆·八年级校联考期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（）
A．5 B．3 C． 5 D． 3
变式2. （2023·广东广州·八年级校考期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
考点7、二次根式的加减运算
例1．（2023·广州市南武中学八年级期中）（1）5﹣﹣；（2）（4﹣6）+2．
变式1. （2022上·八年级单元测试）计算： ．
变式2.（2023·北京市八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点8、分母有理化及其运用
例1．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）先阅读材料，然后回答问题．
在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：①；②；③．
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：④
(1)请用不同的方法化简．(2)化简：．
变式1. （2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）化简 。
变式2. （2023上·上海青浦·八年级校考期中）有理化分母： ．
考点9、二次根式的混合运算
例1．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）计算：
(1)；(2)．
变式1. （2023上·四川达州·八年级校考期末）计算下面各题．
(1) (2)
变式2.（2022下·湖北黄冈·八年级校考期中）计算：
(1)；(2)．
考点10、二次根式的化简求值
例1．（2023上·四川成都·八年级树德中学校考期中）已知，．
(1)求的值；(2)求．
变式1. （2023上·四川宜宾·九年级校考期中）已知，求下列代数式的值．
(1)(2)
考点11、二次根式的大小比较
例1．（2023上·四川宜宾·八年级校考期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，，，，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较与的大小．
变式1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考阶段练习）若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
变式2．（2023上·上海长宁·八年级校考期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
考点12、二次根式的应用
例1．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为______，______．(2)求剩余木料的面积．
变式1. （2023上·河南新乡·九年级统考期中）在长方形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023上·福建漳州·八年级校考期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，空白部分的面积总和为，则较小的正方形面积为 ．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·山东·八年级校联考期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海普陀·统考二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东临沂·八年级统考期末）我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（ ）．
A．型 B．型 C．型 D．型
5．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．（2022春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝2，则Rt△ABC的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
7．（2023·上海·八年级校考期中）如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．2020
9．（2021·湖南常德·统考中考真题）计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
10．（2022·广西·八年级专题练习）已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·山西晋中·统考一模）计算：的结果为 ．
12．（2023上·安徽宿州·八年级统考期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ．
13．（2023下·浙江八年级课时练习）在，，中与可以合并的二次根式是 ．
14．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知，，则的值为 ．
15．（2022·山东枣庄·中考模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．
16．（2023上·四川达州·八年级校联考期中）如果，那么 ．
17．（2023下·广东深圳·九年级校考自主招生）已知x，y为正整数，，求 ．
18．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简的结果为 _________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江八年级课时练习）化简：
（1）；（2）；（3）；（4）．
20．（2023上·上海金山·八年级校考期中）计算：．
21．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）计算：
(1)；(2)．
22．（2023上·四川内江·九年级统考期中）已知，．求的值．
23．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
(1)求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式）(2)求种植青菜部分的面积．
24．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）观察下列等式
；
；
；……
请你直接写出以下计算结果：
(1)请你猜测_________，_________；
(2)针对上述各式显示的规律，请你猜测
___________（，为整数）；
(3)利用上述规律计算：
______（，为整数）．
25．（2023下·北京西城·八年级校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：(1)比较和的大小；
(2)求的最大值和最小值．
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