(共29张PPT)
1.3.3二次根式的运算
浙教版 八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
二次根式的运算是“浙教版八年级数学（下）”第一章第三节第三课时的内容。本节课的主要内容是让学生在具体问题情境中进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值，提高学生分析问题、解决问题的能力，要求学生会应用二次根式解决简单的实际问题.二次根式的运算的学习有利于解决长度、高度及面积计算等问题，在教材中有着非常重要的地位和作用.
教学目标
1.会应用二次根式解决简单的实际问题.
2.进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.
3.提高分析问题、解决问题的能力，提高运算能力，激发学生学习兴趣.
复习回顾
二次根式的乘法法则和除法法则是什么？
二次根式乘法法则:
(a≥0，b≥0)
二次根式除法法则:
= (a≥0，b>0)
复习回顾
二次根式的加减运算的一般步骤是什么？
1.将每一个二次根式都化成最简二次根式
2.将被开方数相同的二次根式进行合并
二次根式的混合运算的顺序是什么？
二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样,先乘方,再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号).
探究新知
例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8， 滑梯CD的坡比为1:1.6,AE=m,
BC=CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下,经过的总路程是多少米（如图, 斜坡上A,B两点之间的高度差BE与水平距离AE的比叫做AB的坡比）
思考：题中的已知条件是什么？所求问题是什么？
探究新知
例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8， 滑梯CD的坡比为1:1.6,AE=m,
BC=CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下,经过的总路程是多少米
已知条件：
扶梯AB的坡比为1:0.8
BE:AE=1:0.8
滑梯CD的坡比为1:1.6
CF:DF=1:1.6
AE=m,BC=CD，CF=BE
所求问题：经过的总路程
即AB+BC+CD
探究新知
思考：如何求AB、BC、CD？
BE:AE =1:0.8， AE=m
CF:DF =1:1.6， BC=CD, CF=BE
BE
AB=
DF
CD=
BC
探究新知
例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8， 滑梯CD的坡比为1:1.6,AE=m,
BC=CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下,经过的总路程是多少米
解：在Rt△AEB中，AE= (m),BE= 0.8= (m)，
∴ AB=== (m).
在Rt△CFD中,DF= 1.6=3(m),
∴CD= =
= (m).
探究新知
例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8， 滑梯CD的坡比为1:1.6,AE=m,
BC=CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下,经过的总路程是多少米
续：而BC= CD= (m),
∴AB+ BC+CD= + +
= +
答:这个男孩经过的总路程约为+ m.
探究新知
思考：解决应用题的一般步骤是什么？
1.认真读题审题：理解题意，明确已知条件和所求问题。
2.分析数量关系：理解题目中已知量、未知量及所求问题之间的相互关系
3.确定运算顺序：明确先算什么、再算什么、最后算什么
4.列式计算：根据运算顺序列出算式，并计算出结果。
5.验算并写出答案：检查计算结果是否正确，并写出答案
图2
图1
例题精讲
例7 如图1是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40cm.将斜边上的高线CD四等分,然后裁出三张宽度相等的长方形纸条.
(1)分别求出三张长方形纸条的长度.
(2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠),如图2,正方形美术作品的面积为多少平方厘米
图1
例题精讲
解：(1)如图1,在Rt△ABC中,AC= BC=40(cm),
∴AB= ==40 (cm).
∵CD⊥AB,AD= BD,
∴CD= AB=20(cm).
∴ CD= 20=5(cm).
最上面长方形纸条的长是CD的2倍(为什么 ),
例7 如图1是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40cm.将斜边上的高线CD四等分,然后裁出三张宽度相等的长方形纸条.
(1)分别求出三张长方形纸条的长度.
图1
例题精讲
解：其长度为2×CD =2×5=10(cm).
同理可得,其余两张长方形纸条的长度依次为:
2×CD =2×10=20(cm),
2×CD =2×15=30(cm).
答:三张长方形纸条的长度分别为10cm, 20cm,30cm.
例7 如图1是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40cm.将斜边上的高线CD四等分,然后裁出三张宽度相等的长方形纸条.
(1)分别求出三张长方形纸条的长度.
图2
例题精讲
(2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠),如图2,正方形美术作品的面积为多少平方厘米
解：(2)三张长方形纸条连接在一起的总长度为10+20+30=60(cm).
因此,给这幅美术作品所镶的边框可以看做由四张宽为5cm, 长为15cm的彩色纸条围成(图2).
则正方形的边长=155=10(cm),
正方形的面积=(10)2=200( cm2).
答:这幅正方形美术作品的面积为200cm2.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.长方形相邻两边长分别为,,则它的周长和面积分别是 ( )
A.,4
B.2,4
C.4,3
D.6,4
D
课堂练习
2.已知直角三角形的两条边长分别是和,则第三条边长是( )
A.
B.3
C.或3
D.或2
【知识技能类作业】
必做题
B
课堂练习
3.如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称．若A，B两点对应的实数分别是3和－1，则点C所对应的实数是 ．
【知识技能类作业】
必做题
2+1
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
1.已知等腰三角形的两条边长分别为1和，则这个三角形的周长为（ ）
A.2+
B.1+2
C. 2+ 1+2
D. 1+
B
课堂练习
2.如图，将一个长为8，宽为4的长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是（ ）
A.
B. 2
C.
D.2
【知识技能类作业】
选做题
D
课堂练习
【综合实践类作业】
如图,面积为48 cm2的正方形,四个角都是面积为3 cm2的小正方形,现将四个角剪掉,制作成一个无盖的长方体盒子,求这个长方体盒子的体积.
解： ∵大正方形的面积为48 cm2,
∴大正方形的边长为=4(cm).
∵小正方形的面积为3 cm2,
∴小正方形的边长为 cm,
∴长方体盒子的体积为(4-2)2×=12(cm3).
课堂总结
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4 km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段路程后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的路程(即AB的长)( )
A.2 km B.2 km
C.4 km D.(+1)km
A
作业布置
【知识技能类作业】
2.在坡比为1∶2的山坡上种树,要求株距(相邻两树之间的水平距离)为6米,则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米.
3.边长是8的等边三角形的高是 .
4.在平面直角坐标系中，点P(－ ，2)到原点的距离是____．
3
4
3
作业布置
【综合实践类作业】
在Rt△OAB中,∠B=90°,OA=2,AB=2,把△OAB按图所示的方式放置在平面直角坐标系中,使点O与原点重合,点A落在x轴正半轴上,求点B的坐标.
解：在Rt△OAB中,OA=2,AB=2,
∴OB2=OA2-AB2=12-4=8即OB=2.
如图所示,过点B作BC⊥x轴,垂足为C,则BC===.
在Rt△OBC中,OC2=OB2-BC2=8-=,
即OC==,
∴点B的坐标为.
C
板书设计
二次根式乘法法则：
二次根式除法法则：
二次根式的加减运算的一般步骤：
二次根式的混合运算的顺序：
1.3.2二次根式的运算
习题讲解书写部分
谢谢
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第一章
课标要求 1.了解二次根式的概念2.了解最简二次根式的概念3.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则4.会用二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。
内容分析 本章是浙教版八年级下册第一章《二次根式》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”.主要内容有二次根式、二次根式的性质和运算。本单元首先以平方根及平方根的性质复习回顾为导入探究二次根式的概念，让学生经历二次根式概念的发生过程，要求学生根据算术平方根的意义会求二次根式根号内字母的取值范围。再通过合作学习体验并理解二次根式的性质，进而通过二次根式的性质探究二次根式的运算，经过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用,使学生体验迁移、化归等数学思想，学习二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力.
学情分析 《二次根式》这一章是在学生已经学方根，知道平方根的性质及算术平方根的意义的基础上进行构建的。本章知识是在此基础上，全面研究常二次根式、二次根式的性质和运算。《义务教育数学课程标准》把二次根式列入实数的范畴，且二次根式主要是数的算术平方根，且二次根式的性质的依据是算术平方根的概念.二次根式是由于实际计算的需要而产生的，在日常生活和实际生活中有着广泛应用。二次根式的学习有利于发展学生的迁移、化归等数学思想，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。教师应该在传授知识的过程中引导学生认识和体会相关的数学思想方法，加强学生对知识之间内在联系的认识，提高学生的基本能力。
单元目标 （一）教学目标1.了解二次根式的概念.2.会求二次根式的值.3.了解二次根式的性质，了解最简二次根式的概念.4.会运用二次根式的性质将二次根式化简.5.了解二次根式加、减、乘、除的运算法则.6.会进行二次根式的简单四则运算.7.会运用二次根式的运算解决简单的实际问题. （二）教学重点、难点教学重点：二次根式的性质教学难点：二次根式的四则混合运算
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1二次根式11.2二次根式的性质21.3二次根式的运算3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1二次根式1.经历二次根式概念的发生过程.2.了解二次根式的概念.3.理解二次根式何时有意义，何时无意义.会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围. 4.会求二次根式的值.1.会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围.2.会求二次根式的值.活动一：复习导入，回顾平方根的概念及平方根的性质.活动二：探究新知，经历二次根式概念的发生过程，会求二次根式根号内字母的取值范围.活动三：例题精讲，使学生会求二次根式的值.活动四：针对训练，请学生回答问题.1.2.1二次根式的性质1.经历二次根式的性质:=a(a≥0);==的发现过程,体验归纳、猜想的思想方法.2.了解二次根式的上述两个性质.3.会运用上述两个性质进行有关计算.能够运用二次根式的性质进行有关计算.活动一：复习导入，回顾二次根式的概念.活动二：合作学习，经历二次根式的性质的发现过程.活动三：例题精讲，运用二次根式的性质进行有关计算.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题1.2.2二次根式的性质1.经历二次根式的性质:=(a≥0，b≥0);=(a≥0，b>0)的发现过程,体验归纳、类比的思想方法.2.了解二次根式的上述两个性质.3.会运用二次根式的性质将简单二次根式化简.能够运用二次根式的性质将简单二次根式化简.活动一：复习导入，回顾二次根式的性质活动二：探究新知，通过计算发现二次根式的积和商的性质活动三：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题1.3.1二次根式的运算1.了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.2.会进行简单的二次根式的乘除运算.能够进行简单的二次根式的乘除运算.活动一：复习导入，回顾二次根式的性质.活动二：探究新知，能够运用二次根式的性质进行运算.活动三：巩固练习，请学生回答问题.1.3.2二次根式的运算1.会进行简单的二次根式的四则混合运算.2.通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用,体验迁移、化归等数学思想.能够进行简单的二次根式的四则混合运算.活动一：温故知新，回顾整式的运算法则.活动二：探究新知，会进行简单的二次根式的四则混合运算.活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.1.3.3二次根式的运算1.会应用二次根式解决简单的实际问题.2.进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.能够应用二次根式解决简单的实际问题.活动一：复习导入，回顾二次根式的运算法则活动二：例题精讲，应用二次根式解决简单的实际问题活动三：巩固练习，请学生回答问题
《二次根式》大单元教学设计
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《二次根式的运算》教学设计
第三课时《二次根式的运算》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 二次根式的运算是“浙教版八年级数学（下）”第一章第三节第三课时的内容。本节课的主要内容是让学生在具体问题情境中进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值，提高学生分析问题、解决问题的能力，要求学生会应用二次根式解决简单的实际问题.二次根式的运算的学习有利于解决长度、高度及面积计算等问题，在教材中有着非常重要的地位和作用.
学习者分析 学生在之前的课堂中已经学习了二次根式的性质，二次根式的混合运算，且学生具备一定的应用知识，具有相应的知识储备，这些都有利于学生学习二次根式运算的应用.教师可以通过问题引导学生得到解题的思路，总结归纳得出解决应用题的一般步骤，通过经典例题提高学生分析问题、解决问题的能力.同时教师在教学过程中要注意面向全体学生，发挥学生的主体作用，让学生积极参与进来.
教学目标 1.会应用二次根式解决简单的实际问题. 2.进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值. 3.提高分析问题、解决问题的能力，提高运算能力，激发学生学习兴趣.
教学重点 二次根式及其运算的实际应用
教学难点 相关知识的综合应用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入，回顾旧知教师活动1： 教师提问：二次根式的乘法法则和除法法则是什么？ 教师带领回顾： 二次根式乘法法则: (a≥0，b≥0) 二次根式除法法则: = (a≥0，b>0) 教师提问：二次根式的加减运算的一般步骤是什么？ 教师带领回顾： 1.将每一个二次根式都化成最简二次根式 2.将被开方数相同的二次根式进行合并 教师提问：二次根式的混合运算的顺序是什么？ 教师带领回顾：二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样,先乘方,再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号).学生活动1： 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知，合作交流教师活动2： 例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8， 滑梯CD的坡比为1:1.6,AE=m,BC=CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下,经过的总路程是多少米（如图, 斜坡上A,B两点之间的高度差BE与水平距离AE的比叫做AB的坡比） 思考：题中的已知条件是什么？所求问题是什么？ 教师带领分析： 已知条件： 扶梯AB的坡比为1:0.8 BE:AE=1:0.8 滑梯CD的坡比为1:1.6 CF:DF=1:1.6 AE=m,BC=CD，CF=BE 所求问题：经过的总路程即AB+BC+CD 思考：如何求AB、BC、CD？ 解：在Rt△AEB中，AE= (m),BE= 0.8= (m)， ∴ AB=== (m). 在Rt△CFD中,DF= 1.6=3(m), ∴CD= = = (m). 而BC= CD= (m), ∴AB+ BC+CD= + + = + 答:这个男孩经过的总路程约为+ m. 思考：解决应用题的一般步骤是什么？ 教师讲授： 1.认真读题审题：理解题意，明确已知条件和所求问题。 2.分析数量关系：理解题目中已知量、未知量及所求问题之间的相互关系 3.确定运算顺序：明确先算什么、再算什么、最后算什么 4.列式计算：根据运算顺序列出算式，并计算出结果。 5.验算并写出答案：检查计算结果是否正确，并写出答案学生活动2： 学生认真思考，回答问题 学生认真听讲，分析问题 学生认真思考，回答问题 学生认真听讲，分析问题 学生作答，教师请一名学生上台板演 学生认真听讲 学生合作交流，总结解决应用题的一般步骤 活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精讲，巩固新知教师活动3： 例7 如图1是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40cm.将斜边上的高线CD四等分,然后裁出三张宽度相等的长方形纸条. (1)分别求出三张长方形纸条的长度. (2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠),如图2,正方形美术作品的面积为多少平方厘米 解： (1)如图1,在Rt△ABC中,AC= BC=40(cm), ∴AB= ==40 (cm). ∵CD⊥AB,AD= BD, ∴CD= AB=20(cm). ∴ CD= 20=5(cm). 最上面长方形纸条的长是CD的2倍(为什么 ), 其长度为2×CD =2×5=10(cm). 同理可得,其余两张长方形纸条的长度依次为: 2×CD =2×10=20(cm), 2×CD =2×15=30(cm). 答:三张长方形纸条的长度分别为10cm, 20cm,30cm. (2)三张长方形纸条连接在一起的总长度为10+20+30=60(cm). 因此,给这幅美术作品所镶的边框可以看做由四张宽为5cm, 长为15cm的彩色纸条围成(图2). 则正方形的边长=155=10(cm), 正方形的面积=(10)2=200( cm2). 答:这幅正方形美术作品的面积为200cm2.学生活动3： 学生认真思考，完成习题，举手回答问题教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真听讲 学生认真思考，完成习题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂小结，总结归纳
教师活动4： 学生活动4： 学生回忆知识要点，举手回答问题，用自己的语言进行描述，教师进行评价和讲解 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．长方形相邻两边长分别为,,则它的周长和面积分别是 ( ) A.,4 B.2,4 C.4,3 D.6,4 2.已知直角三角形的两条边长分别是和,则第三条边长是( ) A. B.3 C.或3 D.或2 3.如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称．若A，B两点对应的实数分别是3和－1，则点C所对应的实数是 ． 选做题： 1.已知等腰三角形的两条边长分别为1和，则这个三角形的周长为（ ） A.2+ B.1+2 C. 2+ 1+2 D. 1+ 2.如图，将一个长为8，宽为4的长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长是（ ） A. B. 2 C. D.2 【综合拓展类作业】 如图,面积为48 cm2的正方形,四个角都是面积为3 cm2的小正方形,现将四个角剪掉,制作成一个无盖的长方体盒子,求这个长方体盒子的体积.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4 km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段路程后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的路程(即AB的长)( ) A.2 km B.2 km C.4 km D.(+1)km 2．在坡比为1∶2的山坡上种树,要求株距(相邻两树之间的水平距离)为6米,则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米. 3.边长是8的等边三角形的高是 . 4.在平面直角坐标系中，点P(－ ，2)到原点的距离是____． 【综合拓展类作业】 在Rt△OAB中,∠B=90°,OA=2,AB=2,把△OAB按图所示的方式放置在平面直角坐标系中,使点O与原点重合,点A落在x轴正半轴上,求点B的坐标.
教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过复习导入激发学生学习的兴趣。安排学生探索新知，观察思考，从而获得数学活动经验，直观感知知识。本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整教学方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。
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