6.9 直线的相交（2）
教学设计思路
通过现实情景引出垂直的概念，再通过实际操作掌握垂线的画法，通过和同学们一起讨论探究得出垂线和垂线段的有关性质。
教学目标
知识与技能
表述垂线、垂线段、点到直线的距离的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；并会度量点到直线的距离；
表述垂线段的性质，并能利用所学知识进行简单的推理。
通过垂线的画法，进一步提高实际动手操作能力
过程与方法
通过实际操作，画出直线的垂线，通过测量讨论得出探究的结果：垂线段最短。
情感态度价值观
从图形变化过程中，树立正确的辩证唯物主义观点；
通过垂线，进一步体会到几何图形的对称美。
教学重点难点
重点：垂线、垂线段的概念和性质；
难点：垂线的判断和性质的理解运用；
解决办法：通过创设情境，引导学生主动发现性质，并运用练习加以巩固。
教学过程
（一）引入
问：什么叫两条直线相交？两条直线相交又可分为几种不同的情况？
垂直是相交线的特殊情况，怎样定义两条直线互相垂直呢？
在相交线的模型（上页练习插图）中，固定木条a，转动木条b．当b的位置变化时，a、b所成的角也会发生变化。当＝90°时，a与b互相垂直（perpendicuLar）。
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（二）新课
1．垂直的概念
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。在图中，AB⊥CD，垂足为O。
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注意：
（1）两条直线相交，只要有一个角是直角，即说这两条直线互相垂直。但是，由对顶角的性质可知，两条直线垂直时，相交成的四个角都是直角。
（2）两条直线互相垂直，每一条都叫做另一条的垂线。
符号表示：两条直线互相垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )，怎样用符号和几何语言表示呢？如下图，记作AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”。AB是CD的垂线，也可以说CD是AB 的垂线。它们的交点O叫做垂足。
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的线条。你能再举出其他例子吗
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例如：（出示图片）
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请同学们找出图中相互垂直的直线，再举一些生活中的例子。
由于定义既可以当性质用，又可以当判定用，因此可以有以下两个方向的推理过程。
（1）已知垂直关系，可得所成的角为90°（性质）．即：
∵AB⊥CD于O（已知）
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
注：写∠AOC=90°、∠COB=90°、∠BOD=90°均可。
（2）已知两直线相交有一个角为90°，可得两直线垂直（判定）。即：
∵∠BOC=90°（已知）
∴AB⊥CD于O（垂直的定义）。
2．垂线的画法
探究1
如下图
（1）用三角尺或量角器画已知直线L的垂线，这样的垂线能画出几条
（2）经过直线L上一点A画L的垂线，这样的垂线能画出几条
（3）经过直线L外一点B画L的垂线，这样的垂线能画出几条
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垂线的画法：复习小学用三角板过一点A作直线L的垂线的方法，并简记为“靠直线——过定点——画垂线”。
已知直线AB及AB上的一点C，可用如下方法做图：
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示例： 过线段AB的中点O作线段AB的垂线。
步骤：（1）用刻度尺找到AB的中点O；
（2）用三角板作出过O点且垂直于AB的直线L。
谈一谈：
（1）两条直线相交构成四个角，当其中一个角是直角时，另外三个角是不是直角，为什么？
（2）在一张纸片上画出一条直线AB，你能用折纸的方法画出AB的垂线吗？请说明你是如何折纸的。
3．发现垂线的性质
在学生熟练地作出各条垂线之后，教师继续提问：（或以其它形式）过A点还能作出别的垂线吗？
在学生回答的基础上，教师引导学生发现以下两个结论：
①过A点L的垂线有没有，有。
②过A点作L的垂线有几条，只一条。
在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第一个性质公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注：①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”。
②“过一点”的点在直线外，或在直线上都可以。
总结：经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4．例题讲解
例3 如图直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知∠BOD=45°，求∠COE的度数。
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解：∵OE⊥AB ∴∠AOE=900
∵∠AOC=∠BOD=450
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=1350
5．随堂练习
（板书或ppt演示）
探究2
如下图，连接直线L外一点P与直线L上各 ( http: / / www.21cnjy.com )点 O， AL，A2，A3，…，其中PO⊥L（我们称PO为点P到直线L的垂线段）． 比较线段PO，PAL，PA2，PA3，…的长短，这些线段中，哪一条最短
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可以让同学们实际测量一下各个线段的长度，从而总结出那条线段最短。
结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中。垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
注意：点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，不能说“垂线段是距离”。
（三）小结：
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（四）板书设计
6.9 直线的相交（2）垂线概念、性质垂线的画法练习垂线段的概念、性质课 题 6.9 直线的相交（1）
教学目标 1.了解相交线、对顶角的概念。2.理解对顶角相等。
重点 对顶角相等这一性质，两条直线互相垂直的概念,画法及表示法。
难点 例2 需利用有关余角、对顶角的性质，且含较多的说理过程。
教 学 过 程
一、创设情境
在黑板上画两条直线 ( http: / / www.21cnjy.com )AB，CD相交于点O，（如图6-45） 形成四个角：∠1，∠2，∠AOD，∠BOC我们把其中相对的一对角∠1和∠2，∠AOD和∠BOC叫做对顶角。
对顶角有以下特点：1.顶点相同 2.角的两边互为反向延长线。
例如：∠1的两边OB，OD分别与∠2的两边OA，OC互为反向延长线。
强调：对顶角是一对角，区别于直角，锐角，钝角这类角的概念。二、例题学习例1：如图6-46 三条直线相交于一点O，说出图中的6组对顶角。
分析：关键在于启发学生先找出每一对对顶角的其中一个角。解：6组对角是：∠FOA与∠EOB，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠DOF，∠FOC与∠EOD，∠AOE与∠BOF，∠COB与∠DOA。练习 1. 如图6-45，共有几组对顶角？
2. 在图6-45中，若∠1=52°，那么∠2等于多少 课后反馈
教 学 过 程
度？请说明理由。由第2题的解答可知∠1= ( http: / / www.21cnjy.com )∠2。这是由于∠1 ( http: / / www.21cnjy.com )与∠2都和∠AOD互补，则∠1=∠2。
一般地，对顶角有下面性质：对顶角相等。
例2：如图6-48，已知：直线AD与BE相交与点O，∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°，求∠AOB的度数。
分析方法大致有两种：
（1） 从已知∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°可以先求出∠DOE，又由于∠DOE与∠AOB是对顶角，所以∠DOE=∠AOB 这样就可以求得∠AOB的度数。
（2） 从所求出发考虑，因为∠DOE与∠AOB为对顶角，∠DOE=∠AOB，故只要求出∠DOE的度数。根据一直∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°， ∠DOE的度数就可以求得。
另外，注意学生推理过程的书写格式，包括怎样用符号“∵”和“∴”表示因果关系，怎样注明理由等。三、随堂练习 练习：P168 课内练习1 、2ppt演示等
四、课内小结
（1） 对顶角除了了解其两个特点之外，在求找时强调选择一个合适的序。
（2） 用分析法或综合法来解决几何题，并注意理由的表述。
五、作业布置
课内练习和课内作业题
