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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第1章二次根式
1.2二次根式的性质（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式的计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4． 下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知a=，b=，用含a、b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A．a+b B．ab C．2a D．2b
6．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．把根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）
A． B． C． D．
8．若aA．-a B．a C．a D．
9．观察分析下列数据：，，根据数据排列的规律得到的第个数据的值是（ ）
A． B． C． D．
10．把根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．化简： ， ．
12．下列是最简二次根式的有 ．
①；②；③；④．
13．已知实数、满足，则的值为 ．
14．已知，则 ．
15．把中根号外的移入根号内得 ．
16．观察下列式子：；；；；…；请用字母表示其中的规律 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．化简：
（1）； （2）； （3）； （4）
18．已知一个直角三角形的两边长分别是 与 ，求第三边的长．
19．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
②
③
④
（1）上面的推导过程中，从第 步开始出现错误(填序号)；
（2）写出该步的正确结果．
20．海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当，，时．
（1）直接写出p的化简结果为 ．
（2）写出计算S值的过程．
21．探究：
（1）计算下列各式，并判断结果大小；
① ， ，则 ；
② ， ，则 ；
③ ， ，则 ．
（2）根据你发现的规律，再写出一个类似的式子；
（3）用字母表示这一规律，并给出证明．
22．如图的的方格中，每个小正方形的边长都为1．请画一个，使它的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，且，，．
（1）在的方格内画出．
（2）说明所画三角形各边的长度符合要求．
23．阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：
①要使二次根式有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；
②化简：，则需计算，而=
所以
（1）根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；
（2）利用①中的提示，请解答：如果，求a+b的值；
（3）利用②中的结论，计算：
24．点P(x，y)是平面直角坐标系中的一点，点A(1，0)为x轴上的一点．
（1）用二次根式的形式表示点P与点A之间的距离；
（2）当 时，连结OP，PA，求 的值；
（3）若点 位于第二象限，且满足函数表达式 ，求 的值.
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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第1章二次根式
1.2二次根式的性质（2）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵A、=3，
B、=，
C、=4，
∴这三项都不是最简二次根式，
故选D．
2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A..不是最简二次根式，故A选项不符合.
B.，不是最简二次根式，故B选项不符合.
C.，不是最简二次根式，故C选项不符合.
D.是最简二次根式，故D选项符合题意.
故答案为：D.
3．下列各式的计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；D、，D符合题意.
故答案为：D.
4． 下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、∵，∴A不正确；B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
5．已知a=，b=，用含a、b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A．a+b B．ab C．2a D．2b
【答案】B
【解析】∵a=，b=；
∴==×=ab．
故本题选B．
6．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原式=
=
=
=
故选：A
7．把根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
故答案为：B
8．若aA．-a B．a C．a D．
【答案】A
【解析】解：由题意得：-a3b＞0，
即a2（-ab）＞0，
∴-ab＞0，
又 ∵a∴a<0，b＞0，
∴
=
故选：A
9．观察分析下列数据：，，根据数据排列的规律得到的第个数据的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，第n个数据为，
∴根据数据排列的规律得到的第个数据的值是，
故答案为：B.
10．把根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知≥0，
∴x＜0，
原式=-= ；
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．化简： ， ．
【答案】；
【解析】，
．
故答案为：，．
12．下列是最简二次根式的有 ．
①；②；③；④．
【答案】②④
【解析】①，被开方中含有能开方的因数，它不是最简二次根式；②它是最简二次根式；③被开方数中含有分母，它不是最简二次根式；④符合最简二次根式特征，是最简二次根式。
故第1空答案为：②④
13．已知实数、满足，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵;
∴解得：a=3，b=6.
故答案为：.
14．已知，则 ．
【答案】
【解析】根据根式的双重非负性可知
而
∴
∴a-3=0 且 2-b=0
解得：a=3 b=2
∴原式===
15．把中根号外的移入根号内得 ．
【答案】
【解析】∵>0，
∴a-1<0，
∴原式=-=-=-.
故答案为：-.
16．观察下列式子：；；；；…；请用字母表示其中的规律 ．
【答案】（a为正整数）
【解析】
规律为： (a为正整数)
证明：
(a为正整数)
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：=；
（4）解：===
18．已知一个直角三角形的两边长分别是 与 ，求第三边的长．
【答案】解：①若第三边为斜边．则它的长为 =2；
②若第三边为直角边，则它的长为
19．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
②
③
④
（1）上面的推导过程中，从第 步开始出现错误(填序号)；
（2）写出该步的正确结果．
【答案】（1）②
（2）解：
20．海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当，，时．
（1）直接写出p的化简结果为 ．
（2）写出计算S值的过程．
【答案】（1）
（2）解：∵，，，，
∴===．
【解析】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：．
21．探究：
（1）计算下列各式，并判断结果大小；
① ， ，则 ；
② ， ，则 ；
③ ， ，则 ．
（2）根据你发现的规律，再写出一个类似的式子；
（3）用字母表示这一规律，并给出证明．
【答案】（1）；；＝；；；＝；；；＝
（2）解：
（3）解：猜想：
证明：左边
右边
∴左边=右边．
∴
【解析】（1）①， ，则 ；
②， ，则 ；
③， ，则 ．
22．如图的的方格中，每个小正方形的边长都为1．请画一个，使它的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，且，，．
（1）在的方格内画出．
（2）说明所画三角形各边的长度符合要求．
【答案】（1）解：画图结果不唯一，如：
（2）解：由图可知：．
在中，
．
∵，
∴符合要求．
在中，
．
∵，
∴符合要求．
23．阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：
①要使二次根式有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；
②化简：，则需计算，而=
所以
（1）根据二次根式的性质，要使成立，求a的取值范围；
（2）利用①中的提示，请解答：如果，求a+b的值；
（3）利用②中的结论，计算
【答案】（1）解：由题意得，，
由①得a≥-2，
由②得a＜3，
∴﹣2≤a＜3；
（2）解：由题意得，
∴a＝2，
∴b1＝0+0+1＝1，
∴a+b＝2+1＝3；
（3）解：原式＝
＝
＝
24．点P(x，y)是平面直角坐标系中的一点，点A(1，0)为x轴上的一点．
（1）用二次根式的形式表示点P与点A之间的距离；
（2）当 时，连结OP，PA，求 的值；
（3）若点 位于第二象限，且满足函数表达式 ，求 的值.
【答案】（1）解：点 P 与点 A 之间的距离：
（2）解：∵x=4， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：∵点P位于第二象限，
∴x<0，y>0．
又∵y=x+1，
∴ =|x|+|y|=-x+y=-x+x+1=1
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