第1章 解直角三角形（单元小结）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（浙教版）
文档属性
| 名称 | 第1章 解直角三角形（单元小结）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（浙教版） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-25 14:00:20 | ||
图片预览
文档简介
单元小结
数学（浙教版）
九年级 下册
第1章 解直角三角形
单元小结
知识点一 锐角三角函数
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1) ∠A的正弦：
∠A的对边
斜边
sin A =
∠A的邻边
斜边
∠A的邻边
∠A的对边
单元小结
知识点二 特殊角的三角函数值
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
1
单元小结
知识点三 解直角三角形
(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
三边关系： ；
三角关系： ；
边角关系：sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB ＝ ，
tanA＝ ，tanB＝ .
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
单元小结
(2) 直角三角形可解的条件和解法
?条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
?解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边;知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
单元小结
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，
cosα = ，
sin2α + cos2α = .
tanα · tan(90°－α) = .
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
1
对于sinα与tanα，角度越大，函数值越 ；
对于cosα，角度越大，函数值越 .
大
小
(4) 锐角三角函数的增减性
单元小结
知识点四 借助计算器求锐角三角函数值及锐角
(1) 利用计算器求三角函数值
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
(也有的计算器是先输入角度再按函数名称键)
第一步：按计算器 键，
sin
tan
cos
单元小结
(2) 利用计算器求锐角的度数
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：输入函数值
屏幕显示答案 (按实际需要进行精确)
方法①：
°＇″
2nd F
第一步：按计算器 键，
2nd F
sin
cos
tan
方法②：
第二步：输入锐角函数值
屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值).
第一步：按计算器 键，
°＇″
2nd F
单元小结
知识点五 三角函数的应用
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
单元小结
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
单元小结
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 i = tan α.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i = .
(3) 坡度，坡角
单元小结
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
单元小结
知识点六 利用三角函数测高
A
C
M
N
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
E
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l · tanα+a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
单元小结
考点训练一 锐角三角函数
【例1】如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.
解：过点P作PA⊥x轴，P(3，4)，
∴A(3，0)
A (0，3)
在△APO中，由勾股定理得
因此
α
单元小结
针对训练
A
B
C
6
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6， sinA= ，求cosA、tanB的值.
解：∵
又
∴
单元小结
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinA的值是________．
【分析】
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB＝5，
∴sinA＝????????????????=????????．
?
????????
?
单元小结
3、一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为
__________．
【分析】
①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=3cm，∴cosB=????????；
②4cm为底边时，同理可得：
BD=CD=2cm，∴cosB=????????=????????．
?
????????或????????
?
单元小结
4、如图，已知△????????????中，????????=12，∠????=30°，tan????=247，边????????的垂直平分线分别交????????、????????于点????、????．求线段????????的长．
?
解：过A作AH⊥BC，垂足为点H，如图所示：
在Rt△ABH中，∠B=30°，AB=12，
∴AH=6，BH=63，
在Rt△ACH中，tanC=AHCH=247，
∴CH=74，
∴BC=BH+CH=63+74，
∵DE垂直平分AB，
∴BD=12AB=6，DE⊥AB，
?
单元小结
5、如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=32，求：
(1)CD的长
(2)cosB的值
?
（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵在Rt△ADC中，tanC=ADCD=32，
∴CD=23AD=4；
（2）解：由（1）得CD=4，
∴BD=BC-CD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=AD2+BD2=10，
∴cosB=BDAB=45．
?
单元小结
考点训练二 特殊角的三角函数值
【例2】计算：
（1）tan60°cos30°-3sin245°；
（2）2cos45°-????????tan30°cos30°+sin260°．
?
解：（1）原式=????×????????-3×(????????)2=????????-3×????????=????????-????????=0；
?
解：（2）原式=2×????????-????????×????????×????????+(????????)2=????-????????+????????=????．
?
单元小结
针对训练
1、计算：
（1）cos30°sin45°+sin30°cos45°；
（2）????????????????????°?????????????????????????°?????????????????????????°．
?
解：（1）原式=????????×????????+????????×????????=????????+????????=????+????????；
（2）原式=??????????????????????×????=1??????????????????????=????2．
?
单元小结
2、已知α为锐角，且sin(α-10°)=????????，则α等于_________．
?
【分析】
∵sin(α-10°)=????????，
∴α-10°=60°，
∴α=70°．
?
70°
单元小结
3、在Rt△ABC中，BC=6，AC=2????，∠C=90°，则∠A的度数是_________．
?
【分析】
∵BC＝6，AC＝2????，∠C=90°，
∴tanA＝????????????????＝????????????＝????，
∴∠A=60°．
?
60°
单元小结
4、若锐角α满足cosα＜????????且tanα＜????，则α的范围是（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
?
【分析】
∵α是锐角，∴cosα＞0，
∵cosα＜????????，∴0＜cosα＜????????，
又∵cos90°=0，cos45°=????????，
∴45°＜α＜90°；
?
∵α是锐角，∴tanα＞0，
∵tanα＜????，∴0＜tanα＜????，
又∵tan0°=0，tan60°=????，
∴0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
?
B
单元小结
5.已知△????????????中，∠????、∠????都是锐角，且cos?????122+tan?????1=0，
(1)分别求出三个内角度数；
(2)若????????=2，求????????长度．
?
(1)解：∵cos?????122+tan?????1=0
∴cos?????12=0， tan?????1=0
∴cos????=12， tan????=1
∴∠????=60°，∠????=45°
∴∠????=180°?60°?45°=75°；
?
单元小结
(2)解：如图：过点C作CD⊥AB于点D
∵AC=2，∠A=60°
∴∠ACD=30°
∴AD=1，CD=AC2?AD2=22?12=3
∵∠B=45°
∴∠BCD=∠B=45°
∴BD=CD=3
∴AB=AD+BD=1+3．
?
单元小结
6、求下列各式的值：
(1)1-2sin30°cos30° (2)3tan30°-tan45°+2sin60°
(3)(cos230°+sin230°)×tan60°
解：(1)原式
(3)原式
(2)原式
单元小结
考点训练三 解直角三角形
【分析】
∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD=????????AB=AD，
∴AB=2CD=6，∠ACD=∠A，
∴sin∠ACD=sinA=????????????????=????????=????????．
?
【例3】如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点．若BC=4，CD=3，则sin∠ACD=__________．
????????
?
单元小结
针对训练
1、在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边AC的长是____________．
【分析】如图：
∵∠A=35°，
∴cos35°=????????????，
∴AC=m?cos35°．
?
m?cos35°
单元小结
2、在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=8，sinA=????????，则BC的长为____________．
?
【分析】如图：
∵sinA=????????，AB=8，
∴sinA=????????????????=????????????=????????，
解得：BC=6．
?
单元小结
3、在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB=????????，则△ABC的面积等于____________．
?
【分析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵在△ABD中，AB=4，sinB=????????，
∴AD=ABsinB=4×????????=3，
∴△ABC的面积=????????BC?AD=????????×5×3=????????????．
?
单元小结
4、如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是____________．
【分析】如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，
∵在Rt△ACD中，AC=2，
∴AD=ACcos60°=2×????????=1，CD=ACsin60°=2×????????=????，
∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，
∴在Rt△BDC中，BC=????????????+????????????=????????+????????=2????
∴sinB=????????????????=????????????=????????????????．
?
????????????????
?
单元小结
5、如图，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值．
D
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵△ABC中，AB＝12，
∴AD=AB×sin60°=12×32=63，
BD=AB×cos60°=12×12=6，
∵BC＝15，
∴DC=BC?BD=15?6=9，
∴tanC＝ADCD=639=233．
?
单元小结
6、如图，已知在△????????????中，????????⊥????????，垂足为点D，????????=2，????????=6,
tan∠????=23，点E是边????????的中点．
(1)求边????????的长；
(2)求∠????????????的正切值．
?
（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴tan∠B＝CDDB=23，
∵BD＝6，
∴CD＝4，
∴AC=CD2+AD2=42+22=25；
?
单元小结
（2）解：过点E作EH⊥AB于点H．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴EH∥CD，
∴BECE=BHDH，
∵EC＝EB，
∴DH=BH=12BD=3，
∴EH=12CD=2，
∴AH=AD+DH=2+3=5，∴tan∠EAB=EHAH=25．
?
单元小结
考点训练四 三角函数的应用
解:如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形.
∴EF=CD，CF=DE=1Om
由题意得∠DAC=∠ADC=45°，∠BEF=30°
设AC=xm,则CD=EF=xm,BF=AC-CF-AB=(x-16)m
在Rt△BEF中，tan∠BEF=
即 ，解得x≈37.8(m)
答:乙楼AC的高度约为37.8m
【例4】如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB=6m,DE=10m，求乙楼AC的高度(参考数据: 2≈1.41,3≈1.73,精确到0. 1m).
?
单元小结
【例5】已知：如图，斜坡AP的坡度为5：12，坡长AP为13米，在坡顶A处的同一水平面上有一颗大树BC，在斜坡底P处测得该树的树顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该树的树顶B的仰角为76°．求：
(1)坡顶A到地面PQ的距离；
(2)树BC的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0）
?
单元小结
(1)坡顶A到地面PQ的距离；
（1）解：过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为5：12，
∴AHPH=512．
设AH=5k米，则PH=12k米，由勾股定理，得
AP=5k2+12k2=13k米．
∴13k=13，
解得k=1．
∴AH=5．
答：坡顶A到地面PQ的距离为5米．
?
H
单元小结
(2)树BC的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0）
?
（2）解：延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=5，AC=DH．
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD．
设BC=x米，则x+5=PH+HD，
由（1）知：PH=12，
∴x+5=12+DH，
∴DH=x?7，
∴AC=DH=x?7．
?
H
D
在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，
即xx?7≈4.0，
∴x≈9．
答：树BC的高度约为9米．
?
单元小结
针对训练
1、某人沿着坡度i＝1:????的山坡走了150米，则他离地面的高度上升了__________米．
?
【分析】设山坡的坡角为α，
∵山坡的坡度为1:????，
∴tanα=????????=????????，则α=30°，
∴????????×150=75（米）．
?
75
单元小结
2、速滑运动受到许多年轻人的喜爱．如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为5米，且坡面BC的坡度为1:1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1:????．
（1）求新坡面AC的坡角及AC的长；
?
【分析】（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，
∵新坡面AC的坡度为1:????，
∴tan∠CAH=????????=????????，
∴∠CAH=30°，即新坡面AC的坡角为30°，
∴AC=2CH=10（米）；
?
单元小结
（2）原坡面底部BG的正前方10米处（EB=10）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据：????≈1.73）
?
【分析】（2）新的设计方案不能通过，理由如下：
∵坡面BC的坡度为1:1，∴BH=CH=5，
∵tan∠CAH=????????，∴AH=????CH=5????，
∴AB=5????-5，
∴AE=EB-AB=10-(5????-5）=15-5????≈6.35＜7，
∴新的设计方案不能通过．
?
单元小结
3、如图，某同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为30°，向前走60米到达D处，在D处测得点A的仰角为45°，则建筑物AB的高度为__________米．
【分析】
∵∠ADB=45°，∠B=90°，
∴∠BAD=∠ADB=45°，∴AB=BD，
∵tan∠ACB=????????????????，∠ACB=30°，CD=60米，
∴????????=????????????????+????????=????????????????+????????，
解得：AB=30????+30（米）．
?
(30????+30)
?
单元小结
4、一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处（参考数据：????≈1.732，结果精确到0.1）？
?
【分析】如图，AC⊥PC，
根据题意，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，
在Rt△APC中，∵cos∠APC=????????????????，
∴PC=20?cos60°=10，
∴AC=?????????????????????????=10????，
在△PBC中，∵∠BPC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，∴BC=PC=10，
∴AB=AC-BC=10????-10≈7.3（海里）．
答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．
?
单元小结
5.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD
的长(精确到0.1 m)．
分析： 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长．
单元小结
单元小结
6.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角,且DB＝5 m.在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01 m)
解：由题意得，BD＝5，∠CDB=40°，CE=2m，
在Rt△CBD中， tan∠CDB＝????????????????，
∴ BC＝ BD·tan∠CDB=5tan 40°≈4.195 5≈4.20.
∴BE＝BC+CE＝4.20+2=6.20，
∴ 在Rt△BED中，DE＝????????????+????????????＝????????.????????+????????＝????????.????????≈7.96.
答：钢缆ED的长度约为7.96 m.
数学（浙教版）
九年级 下册
第1章 解直角三角形
单元小结
知识点一 锐角三角函数
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1) ∠A的正弦：
∠A的对边
斜边
sin A =
∠A的邻边
斜边
∠A的邻边
∠A的对边
单元小结
知识点二 特殊角的三角函数值
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
1
单元小结
知识点三 解直角三角形
(1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
三边关系： ；
三角关系： ；
边角关系：sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB ＝ ，
tanA＝ ，tanB＝ .
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
单元小结
(2) 直角三角形可解的条件和解法
?条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
?解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边;知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
单元小结
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，
cosα = ，
sin2α + cos2α = .
tanα · tan(90°－α) = .
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
1
对于sinα与tanα，角度越大，函数值越 ；
对于cosα，角度越大，函数值越 .
大
小
(4) 锐角三角函数的增减性
单元小结
知识点四 借助计算器求锐角三角函数值及锐角
(1) 利用计算器求三角函数值
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
(也有的计算器是先输入角度再按函数名称键)
第一步：按计算器 键，
sin
tan
cos
单元小结
(2) 利用计算器求锐角的度数
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：输入函数值
屏幕显示答案 (按实际需要进行精确)
方法①：
°＇″
2nd F
第一步：按计算器 键，
2nd F
sin
cos
tan
方法②：
第二步：输入锐角函数值
屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值).
第一步：按计算器 键，
°＇″
2nd F
单元小结
知识点五 三角函数的应用
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
单元小结
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
单元小结
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 i = tan α.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i = .
(3) 坡度，坡角
单元小结
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
单元小结
知识点六 利用三角函数测高
A
C
M
N
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
E
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l · tanα+a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
单元小结
考点训练一 锐角三角函数
【例1】如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.
解：过点P作PA⊥x轴，P(3，4)，
∴A(3，0)
A (0，3)
在△APO中，由勾股定理得
因此
α
单元小结
针对训练
A
B
C
6
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6， sinA= ，求cosA、tanB的值.
解：∵
又
∴
单元小结
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinA的值是________．
【分析】
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB＝5，
∴sinA＝????????????????=????????．
?
????????
?
单元小结
3、一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为
__________．
【分析】
①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=3cm，∴cosB=????????；
②4cm为底边时，同理可得：
BD=CD=2cm，∴cosB=????????=????????．
?
????????或????????
?
单元小结
4、如图，已知△????????????中，????????=12，∠????=30°，tan????=247，边????????的垂直平分线分别交????????、????????于点????、????．求线段????????的长．
?
解：过A作AH⊥BC，垂足为点H，如图所示：
在Rt△ABH中，∠B=30°，AB=12，
∴AH=6，BH=63，
在Rt△ACH中，tanC=AHCH=247，
∴CH=74，
∴BC=BH+CH=63+74，
∵DE垂直平分AB，
∴BD=12AB=6，DE⊥AB，
?
单元小结
5、如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=32，求：
(1)CD的长
(2)cosB的值
?
（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵在Rt△ADC中，tanC=ADCD=32，
∴CD=23AD=4；
（2）解：由（1）得CD=4，
∴BD=BC-CD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=AD2+BD2=10，
∴cosB=BDAB=45．
?
单元小结
考点训练二 特殊角的三角函数值
【例2】计算：
（1）tan60°cos30°-3sin245°；
（2）2cos45°-????????tan30°cos30°+sin260°．
?
解：（1）原式=????×????????-3×(????????)2=????????-3×????????=????????-????????=0；
?
解：（2）原式=2×????????-????????×????????×????????+(????????)2=????-????????+????????=????．
?
单元小结
针对训练
1、计算：
（1）cos30°sin45°+sin30°cos45°；
（2）????????????????????°?????????????????????????°?????????????????????????°．
?
解：（1）原式=????????×????????+????????×????????=????????+????????=????+????????；
（2）原式=??????????????????????×????=1??????????????????????=????2．
?
单元小结
2、已知α为锐角，且sin(α-10°)=????????，则α等于_________．
?
【分析】
∵sin(α-10°)=????????，
∴α-10°=60°，
∴α=70°．
?
70°
单元小结
3、在Rt△ABC中，BC=6，AC=2????，∠C=90°，则∠A的度数是_________．
?
【分析】
∵BC＝6，AC＝2????，∠C=90°，
∴tanA＝????????????????＝????????????＝????，
∴∠A=60°．
?
60°
单元小结
4、若锐角α满足cosα＜????????且tanα＜????，则α的范围是（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
?
【分析】
∵α是锐角，∴cosα＞0，
∵cosα＜????????，∴0＜cosα＜????????，
又∵cos90°=0，cos45°=????????，
∴45°＜α＜90°；
?
∵α是锐角，∴tanα＞0，
∵tanα＜????，∴0＜tanα＜????，
又∵tan0°=0，tan60°=????，
∴0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
?
B
单元小结
5.已知△????????????中，∠????、∠????都是锐角，且cos?????122+tan?????1=0，
(1)分别求出三个内角度数；
(2)若????????=2，求????????长度．
?
(1)解：∵cos?????122+tan?????1=0
∴cos?????12=0， tan?????1=0
∴cos????=12， tan????=1
∴∠????=60°，∠????=45°
∴∠????=180°?60°?45°=75°；
?
单元小结
(2)解：如图：过点C作CD⊥AB于点D
∵AC=2，∠A=60°
∴∠ACD=30°
∴AD=1，CD=AC2?AD2=22?12=3
∵∠B=45°
∴∠BCD=∠B=45°
∴BD=CD=3
∴AB=AD+BD=1+3．
?
单元小结
6、求下列各式的值：
(1)1-2sin30°cos30° (2)3tan30°-tan45°+2sin60°
(3)(cos230°+sin230°)×tan60°
解：(1)原式
(3)原式
(2)原式
单元小结
考点训练三 解直角三角形
【分析】
∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD=????????AB=AD，
∴AB=2CD=6，∠ACD=∠A，
∴sin∠ACD=sinA=????????????????=????????=????????．
?
【例3】如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点．若BC=4，CD=3，则sin∠ACD=__________．
????????
?
单元小结
针对训练
1、在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边AC的长是____________．
【分析】如图：
∵∠A=35°，
∴cos35°=????????????，
∴AC=m?cos35°．
?
m?cos35°
单元小结
2、在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=8，sinA=????????，则BC的长为____________．
?
【分析】如图：
∵sinA=????????，AB=8，
∴sinA=????????????????=????????????=????????，
解得：BC=6．
?
单元小结
3、在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB=????????，则△ABC的面积等于____________．
?
【分析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵在△ABD中，AB=4，sinB=????????，
∴AD=ABsinB=4×????????=3，
∴△ABC的面积=????????BC?AD=????????×5×3=????????????．
?
单元小结
4、如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是____________．
【分析】如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，
∵在Rt△ACD中，AC=2，
∴AD=ACcos60°=2×????????=1，CD=ACsin60°=2×????????=????，
∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，
∴在Rt△BDC中，BC=????????????+????????????=????????+????????=2????
∴sinB=????????????????=????????????=????????????????．
?
????????????????
?
单元小结
5、如图，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值．
D
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵△ABC中，AB＝12，
∴AD=AB×sin60°=12×32=63，
BD=AB×cos60°=12×12=6，
∵BC＝15，
∴DC=BC?BD=15?6=9，
∴tanC＝ADCD=639=233．
?
单元小结
6、如图，已知在△????????????中，????????⊥????????，垂足为点D，????????=2，????????=6,
tan∠????=23，点E是边????????的中点．
(1)求边????????的长；
(2)求∠????????????的正切值．
?
（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴tan∠B＝CDDB=23，
∵BD＝6，
∴CD＝4，
∴AC=CD2+AD2=42+22=25；
?
单元小结
（2）解：过点E作EH⊥AB于点H．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴EH∥CD，
∴BECE=BHDH，
∵EC＝EB，
∴DH=BH=12BD=3，
∴EH=12CD=2，
∴AH=AD+DH=2+3=5，∴tan∠EAB=EHAH=25．
?
单元小结
考点训练四 三角函数的应用
解:如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形.
∴EF=CD，CF=DE=1Om
由题意得∠DAC=∠ADC=45°，∠BEF=30°
设AC=xm,则CD=EF=xm,BF=AC-CF-AB=(x-16)m
在Rt△BEF中，tan∠BEF=
即 ，解得x≈37.8(m)
答:乙楼AC的高度约为37.8m
【例4】如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB=6m,DE=10m，求乙楼AC的高度(参考数据: 2≈1.41,3≈1.73,精确到0. 1m).
?
单元小结
【例5】已知：如图，斜坡AP的坡度为5：12，坡长AP为13米，在坡顶A处的同一水平面上有一颗大树BC，在斜坡底P处测得该树的树顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该树的树顶B的仰角为76°．求：
(1)坡顶A到地面PQ的距离；
(2)树BC的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0）
?
单元小结
(1)坡顶A到地面PQ的距离；
（1）解：过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为5：12，
∴AHPH=512．
设AH=5k米，则PH=12k米，由勾股定理，得
AP=5k2+12k2=13k米．
∴13k=13，
解得k=1．
∴AH=5．
答：坡顶A到地面PQ的距离为5米．
?
H
单元小结
(2)树BC的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0）
?
（2）解：延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=5，AC=DH．
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD．
设BC=x米，则x+5=PH+HD，
由（1）知：PH=12，
∴x+5=12+DH，
∴DH=x?7，
∴AC=DH=x?7．
?
H
D
在Rt△ABC中，tan76°=BCAC，
即xx?7≈4.0，
∴x≈9．
答：树BC的高度约为9米．
?
单元小结
针对训练
1、某人沿着坡度i＝1:????的山坡走了150米，则他离地面的高度上升了__________米．
?
【分析】设山坡的坡角为α，
∵山坡的坡度为1:????，
∴tanα=????????=????????，则α=30°，
∴????????×150=75（米）．
?
75
单元小结
2、速滑运动受到许多年轻人的喜爱．如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为5米，且坡面BC的坡度为1:1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1:????．
（1）求新坡面AC的坡角及AC的长；
?
【分析】（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，
∵新坡面AC的坡度为1:????，
∴tan∠CAH=????????=????????，
∴∠CAH=30°，即新坡面AC的坡角为30°，
∴AC=2CH=10（米）；
?
单元小结
（2）原坡面底部BG的正前方10米处（EB=10）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据：????≈1.73）
?
【分析】（2）新的设计方案不能通过，理由如下：
∵坡面BC的坡度为1:1，∴BH=CH=5，
∵tan∠CAH=????????，∴AH=????CH=5????，
∴AB=5????-5，
∴AE=EB-AB=10-(5????-5）=15-5????≈6.35＜7，
∴新的设计方案不能通过．
?
单元小结
3、如图，某同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为30°，向前走60米到达D处，在D处测得点A的仰角为45°，则建筑物AB的高度为__________米．
【分析】
∵∠ADB=45°，∠B=90°，
∴∠BAD=∠ADB=45°，∴AB=BD，
∵tan∠ACB=????????????????，∠ACB=30°，CD=60米，
∴????????=????????????????+????????=????????????????+????????，
解得：AB=30????+30（米）．
?
(30????+30)
?
单元小结
4、一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处（参考数据：????≈1.732，结果精确到0.1）？
?
【分析】如图，AC⊥PC，
根据题意，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，
在Rt△APC中，∵cos∠APC=????????????????，
∴PC=20?cos60°=10，
∴AC=?????????????????????????=10????，
在△PBC中，∵∠BPC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，∴BC=PC=10，
∴AB=AC-BC=10????-10≈7.3（海里）．
答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．
?
单元小结
5.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD
的长(精确到0.1 m)．
分析： 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长．
单元小结
单元小结
6.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角,且DB＝5 m.在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01 m)
解：由题意得，BD＝5，∠CDB=40°，CE=2m，
在Rt△CBD中， tan∠CDB＝????????????????，
∴ BC＝ BD·tan∠CDB=5tan 40°≈4.195 5≈4.20.
∴BE＝BC+CE＝4.20+2=6.20，
∴ 在Rt△BED中，DE＝????????????+????????????＝????????.????????+????????＝????????.????????≈7.96.
答：钢缆ED的长度约为7.96 m.