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绝对值与数轴压轴专题
一、绝对值
【题型1 绝对值的定义】
【变式3-1】已知a＝﹣4，|a|＝|b|，则b的值为（ ）
A．+4 B．±4 C．0 D．﹣4
【变式3-3】下列各式的结论成立的是（ ）
A．若|m|＝|n|，则m＝n B．若|m|＞|n|，则m＞n
C．若m＞n，则|m|＞|n| D．若m＜n＜0，则|m|＞|n|
【题型2 绝对值的非负性】
【例5】（2021秋 顺德区月考）若|＝0，则x＝ ，y＝ ．
【变式5-1】（2022春 东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为 ．
【题型3 绝对值的几何意义】
【例6】在数轴上，点M、N分别表示数m，n．则点M、N之间的距离为|m﹣n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d．且|a﹣c|＝|b﹣c|＝2，|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为（ ）
A．4.5 B．1.5 C．6.5或1.5 D．4.5或1.5
【变式6-1】适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
二、数轴
【题型9 利用数轴比较有理数大小】
【变式9-2】有理数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则m，﹣m，n，﹣n，0的大小关系是（ ）
A．n＜﹣n＜0＜﹣m＜m B．n＜﹣m＜0＜﹣n＜﹣m
C．n＜﹣m＜0＜m＜﹣n D．n＜0＜﹣m＜m＜﹣n
【题型1 数轴上点的平移】
例1已知点A，B在数轴上表示的数分别是﹣2，3，解决下列问题：
（1）将点A在数轴上向左平移个单位长度后记为A1，A1表示的数是 ，将点B在数轴上向右平移1个单位长度后记为B1，B1表示的数是 ；
（2）在（1）的条件下，将点B1向 移动 个单位长度后记为B2，则B2表示的数与A1表示的数互为相反数；
（3）在（2）的条件下，将原点在数轴上移动5个单位长度，则点B2表示的数是多少？
【题型2 数轴上点表示的数】
【例2】（2022秋 三元区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C＝2πr，本题中π的取值为3.14）
（1）把圆片沿数轴向右滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
【题型3 判断数轴上点的符号或原点位置】
【例3】有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝a．其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【题型4 数轴上两点距离的和差倍分问题】
【例4】已知数轴上两点A、B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C叫做点A、B的“n节点”，例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A、B的“4节点”．
请根据上述规定回答下列问题：
（1）若点C为点A、B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝ ．
（2）若点D是数轴上点A、B的“5节点”，请你直接写出点D表示的数为 ；
（3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足B、E之间的距离是A、E之间距离的一半，且此时点E为点A、B的“n节点”，求出n的值．
【题型5 数轴上的行程问题】
【例5】如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示）
（1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ；
（2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数；
（3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动．
求：①P、Q相遇时求P对应的数
②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动．当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？
【题型6 数轴上的折叠问题】
【变式8-1】（2022秋 苏州期末）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是 ．
【变式4-2】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．
（1）数 所表示的点是{M，N}的奇点；数 所表示的点是{N，M}的奇点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？
【变式5-1】如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
【题型1 利用绝对值性质化简或求值】
【例1】（2022 博湖县校级期中）已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|．
【题型2 根据绝对值的非负性求值】
【例2】（2022春 诸暨市月考）已知|a﹣3|+|2ab﹣8|+|c﹣2|＝0，求a+3b﹣c的值．
【题型3 根据绝对值的意义求取值范围】
【例4】（2022秋 海淀区校级期中）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是 ．
【题型4 绝对值中的分类讨论之类型问题】
【变式3-1】（2022秋 全椒县期中）已知0，有以下结论：
①a，b一定互为相反数； ②ab＜0； ③a+b＜0； ④1
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
【例5】（2022秋 江阳区校级期中）有理数a、b在数轴上的对应点位置如图所示
（1）用“＜”连接0、﹣a、﹣b、﹣1
（2）化简：|a|﹣2|a+b﹣1||b﹣a﹣1|
（3）若c （a2+1）＜0，且c+b＞0，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
数轴与绝对值
1．下列说法中：①一个数的绝对值一定比0大；②一个数的相反数一定比它本身小；③到原点的距离相等的点表示的数相等；④相反数、绝对值都等于它本身的数只有0；⑤数轴上的点离原点越远，表示的数越大；⑥绝对值等于它本身的数一定是非负数．其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为－2和2，则刻度尺上1 cm对应数轴上的点表示的数是( )
A．1 B．－1 C．0 D．2
3．判断下列各式是否正确(正确的填入“T”，错误的填入“F”)：
(1)|－a|＝|a|.____
(2)|－a|＝－a.____
(3)若a＝b，则|a|＝|b|.____
(4)若|a|＝|b|，则a＝b.____
(5)若a＞b，则|a|＞|b|.____
(6)若|a|＞|b|，则a＞b.____
(7)若a＞b，则|b－a|＝a－b.____
4．若|a|＋|b|＝2，则满足条件的整数a，b的值有____组．
5．阅读：已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为|AB|＝|a－b|，且我们发现存在以下不等关系：|a|＋|b|≥|a＋b|.
理解：(1)数轴上表示2和－3的两点之间的距离是____
(2)数轴上表示x和－5的两点之间的距离是________．
(3)利用几何意义，可求得|x＋1|＋|x－2|的最小值是____，此时x的取值范围是___________．
(4)已知|y－3|＋|1－x|＋|z－5|＝10－|x＋4|－|1－z|－|y－2|，求x＋y＋z的最大值与最小值．
6．阅读以下材料，并解决问题：
已知|a|＝现在我们利用这个结论来化简含绝对值的代数式．如化简|a－1|＋|a＋2|，可以令a－1＝0和a＋2＝0，分别求得a＝1和a＝－2，我们把a＝1和a＝－2叫做|a－1|＋|a＋2|的零点值，零点值a＝1和a＝－2可以将有理数分成不重复且不遗漏的如下三种情况：
①当a＜－2时，|a－1|＋|a＋2|＝－(a－1)－(a＋2)＝－2a－1；
②当－2≤a≤1时，|a－1|＋|a＋2|＝－(a－1)＋(a＋2)＝3；
③当a＞1时，|a－1|＋|a＋2|＝(a－1)＋(a＋2)＝2a＋1.
综上所述，|a－1|＋|a＋2|＝
(1)求|x＋2|＋|x－5|的零点值．
(2)化简：|x＋2|＋|x－5|.
7．如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20(单位：cm)；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为________cm；
(2)由题(1)的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”．请求出爷爷现在多少岁了．
8．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P为AB的中点，则点P对应的数是 ．
（2）数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值．
（3）现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数．
9．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化
（1）平移运动
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是
A．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5 D．（﹣3）+（+2）＝﹣1
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
（2）翻折变换
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示 的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示 B点表示 ．
③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为 ．（用含有a，b的式子表示）
