浙教版数学八年级下册4.2.3平行四边形的对角线的性质 素养提升练习（含解析）

第4章　平行四边形
4.2　平行四边形及其性质
第3课时　平行四边形的对角线的性质
基础过关全练
知识点　平行四边形对角线的性质
1.【教材变式·P87例4】如图,平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥AB,垂足为点A,若AB=4,AC=6,则BD的长为(　　)
A.6　B.8　C.10　D.12
第1题图 第2题图
2.如图,平行四边形ABCD的周长为80,△BOC的周长比△AOB的周长多20,则BC的长为(　　)
A.40　B.10　C.20　D.30
3.【一题多变·已知一边和两对角线长,求证直角三角形】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.△AOB是直角三角形吗 请说明理由.
[变式·已知一边和两对角线长,求面积]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=10,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
4.【一题多变·过对角线交点直线与一对边相交,证线段相等】如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O.过点O的直线EF,分别交BA,DC的延长线于E,F,求证:AE=CF.
[变式·对角线延长线上两段线段相等,证线段相等]如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在CA和AC的延长线上,且AE=CF,连结DE,BF.求证:DE=BF.
能力提升全练
5.【面积法】(2023浙江金华金东光南教育集团月考,9,★★☆)如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=,AC=2,BD=2,则AE的长为(　　)
A.　B.2　 C.　D.
6.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=12,点P为BC上任意一点(不与点B,C重合),连结PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连结PQ,则PQ长的最小值为(提示:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)(　　)
A.6　B.4　C.12　D.6
7.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连结EC.若△CDE的周长为5,则AD+CD=　　　　.
8.在①DE=BF;②AF=CE;③OE=OF这三个条件中,选择一个合适的条件补充在下面横线上,并完成证明过程.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,点E、F在AC上,且　　　　(填写序号).
求证:DE∥BF.
素养探究全练
9.在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,分别过点A,C作直线l的垂线,垂足分别为E,F,连结OE,OF.
(1)如图①,若直线l恰好经过点O,试判断线段OE与OF的数量关系并证明;
(2)若直线l不经过点O,请结合图②判断(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
图① 图②
第4章　平行四边形
4.2　平行四边形及其性质
第3课时　平行四边形的对角线的性质
答案全解全析
基础过关全练
1.C　∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
∴BO=DO,AO=CO=AC=3,
∵AB⊥AC,AB=4,∴BO===5,
∴BD=2BO=10.故选C.
2.D　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,
∵△BOC的周长比△AOB的周长多20,
∴OB+OC+BC-20=OB+OA+AB,∴BC-AB=20,①
∵平行四边形ABCD的周长为80,
∴AB+BC+CD+DA=2(AB+BC)=80,
∴BC+AB=40,②
由①+②,可得2BC=60,∴BC=30.
3.解析　△AOB是直角三角形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8,
∴OB=OD=BD=4,
∵OA=3,OB=4,AB=5,
∴OA2+OB2=AB2,
∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°.
[变式]解析　∵四边形ABCD是平行四边形,且AC=6,BD=10,∴OA=OC=3,OB=OD=5,
∵AB=4,∴AB2+AO2=OB2,
∴△ABO是直角三角形,且∠OAB=90°,即AB⊥AC,
∴平行四边形ABCD的面积为AB·AC=4×6=24.
4.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,∴AO=OC,AB∥CD,
∴∠EAO=∠FCO,又∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF.
[变式]证明　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵AE=CF,∴OA+AE=OC+CF,即OE=OF,
在△DOE和△BOF中,
∴△DOE≌△BOF(SAS),∴DE=BF.
能力提升全练
5.D　本题考查平行四边形对角线的性质,要求其中的线段长,可用面积法求解.
∵四边形ABCD为平行四边形,AC=2,BD=2,
∴OA=AC=1,OB=BD=,
∵AB=,∴AB2 +OA2=OB2,
∴△AOB为直角三角形,且∠BAO=90°,
∴BC===3,
∵S△ABC=AC·AB=BC·AE,
∴×2×=×3AE,∴AE=.故选D.
6.D　设PQ与AC交于点O,如图,作OP'⊥BC于点P'.
∵四边形PAQC是平行四边形,∴OA=OC,OP=OQ.
易知当点P与P'重合时,OP的长最小,此时PQ长最小,在Rt△ABC中,∠B=60°,∴∠ACB=30°,
∴BC=2AB=24,∴AC===12,∴OA=OC=6,
∵OP'⊥BC,∠ACB=30°,∴OP'=OC=3.
∴PQ长的最小值=2OP'=6.故选D.
7.答案　5
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,
∵△CDE的周长为5,∴CE+CD+ED=5,
∴AD+CD=AE+ED+CD=CE+ED+CD=5.
8.解析　可选的条件为②或③.
若选②AF=CE.
证明:∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,∠ADB=∠CBD,
在△DAE和△BCF中,
∴△DAE≌△BCF(SAS),∴∠ADE=∠CBF,
∴∠EDO=∠FBO,∴DE∥BF.
若选③OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,
在△DOE和△BOF中,
∴△DOE≌△BOF(SAS),∴∠ODE=∠OBF,
∴DE∥BF.
素养探究全练
9.解析　(1)OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,
∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴∠AEO=∠CFO=90°,
在△AEO和△CFO中,
∴△AEO≌△CFO(AAS),∴OE=OF.
(2)OE=OF仍然成立.
证明:如图,延长FO与AE相交于点G,
∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴AE∥CF,∴∠GAO=∠FCO,
在△AGO和△CFO中,
∴△AGO≌△CFO(ASA),∴OG=OF,
又∵∠AEF=90°,∴OE是Rt△GFE斜边上的中线,
∴EO=GF=OF.