浙教版数学八年级下册4.3 中心对称 素养提升练习（含解析）

第4章　平行四边形
4.3　中心对称
基础过关全练
知识点1　中心对称图形与中心对称
1.【一题多变·识别实物图案中的中心对称图形】(2023浙江嵊州期末)下列与杭州亚运会有关的图案中,是中心对称图形的是(　　)
A　 B　　 C　　 D
[变式1·识别含圆的几何图形中的中心对称图形](2023浙江杭州上城东城实验中学期中)下列四个图形中,属于中心对称图形的是(　　)
A　B　C　D
[变式2·识别既是轴对称图形,又是中心对称图形的图形](2023浙江宁波镇海立人中学期中)北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.下列各届冬奥会会徽部分图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(　　)
A　B　C　D
2.(2022四川成都邛崃期末)围棋在我国古代称为弈,相传已有4 000多年的历史,春秋战国时期,围棋已在社会上广泛流传了,围棋也被认为是世界上最复杂的棋盘游戏,下图是截取的两人在围棋比赛中的四个部分,由黑白棋子摆成的图形是中心对称图形的是(　　)
A B C D
3. 【新独家原创】小林在画图软件中画了一个正方形,复制后用来拼接图形,拼出如下四个图形,其中属于中心对称图形的有　　　　个.
知识点2　中心对称图形的性质
4. 如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,下列结论中不成立的是(　　)
A.OB=OB'
B.∠ACB=∠A'B'C'
C.BC∥B'C'
D.点A的对称点是点A'
第4题图 第5题图
5. 如图,已知点A与点C关于点O对称,点B与点D也关于点O对称,若BC=3,OD=4,则AB的长可能是(　　)
A.3　B.4　C.7　D.11
6.【一题多变·利用全等三角形,证中心对称】如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,点F在CD上且DF=CF,连结AF并延长交BC的延长线于E点,请证明△ADF与△ECF关于点F成中心对称.
[变式·利用中心对称,证角相等]如图,将△ABC以点C为旋转中心,顺时针旋转180°,得到△DEC,过点A作AF∥BE,交DE的延长线于点F,试问:∠B与∠F相等吗 为什么
知识点3　作与简单图形关于已知点中心对称的图形
7.【一题多变·求作三角形关于一点成中心对称的图形】如图所示,三角形ABC和三角形A'B'C'关于某一点成中心对称,一同学不小心把墨水泼在纸上,只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B'C',请你帮该同学找到对称中心O,并补全三角形A'B'C'.
[变式·根据两三角形关于一点成中心对称,找出对称中心]如图所示的两个三角形成中心对称,请找出对称中心.
知识点4　关于原点对称
8. (2023四川凉山州中考)点P(2,-3)关于原点对称的点P'的坐标是(　　)
A.(2,3)　B.(-2,-3)　C.(-3,2)　D.(-2,3)
9.【方程思想】 在平面直角坐标系中,点A(5,m+1)与点B(-5,-3)关于原点对称,则m的值为(　　)
A.-4　B.4　C.2　D.-5
10.【教材变式·P90例2】(2022湖南怀化中考)已知点A(-2,b)与点B(a,3)关于原点对称,则a-b=　　　　.
11. 在平面直角坐标系中,已知点P(3,-1)关于原点对称的点Q的坐标是(a+b,b-1),求ab的值.
能力提升全练
12.在玩俄罗斯方块游戏时,底部已有的图形如图所示,接下来出现如下哪个形状时,通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形 (　　)
A B C D
13.将一张正方形纸片按如图①②所示的步骤沿虚线对折两次,然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④,将图④展开铺平后的图形
(　　)
　 图①　　　　图② 图③　　　　图④
A.是轴对称图形,但不是中心对称图形
B.是中心对称图形,但不是轴对称图形
C.不是轴对称图形,也不是中心对称图形
D.是中心对称图形,也是轴对称图形
14. 如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC经过中心对称变换得到△A'B'C',那么对称中心的坐标为　　　　.
　
15.若+(b+4)2=0,那么点(a,b)关于原点对称的点的坐标是　　　　.
16. 如图,△ABC与△DEC关于点C成中心对称,AG为△ABC的高,若CE=5,AG=2,则=　　　　.
17.【一题多变·坐标含字母两点关于原点对称,求字母之和】
已知点P(a+3b,3)与点Q(-5,a+2b)关于原点对称,则a+b=　　　　.
[变式1·坐标含字母两点关于原点对称,求字母之积]若M(3,y)与N(x,y-1)关于原点对称,则xy的值为　　　　.
[变式2·已知一点坐标及位置,求这个点关于原点对称的点的坐标]已知在平面直角坐标系中,点M(a,2)在第二象限,且|a|=1,则点M关于原点对称的点的坐标是　　　　.
[变式3·根据一点关于原点对称的点的位置,求字母的范围]已知在平面直角坐标系中,点A(m-3,1-m)关于坐标原点对称的点位于第一象限,则m的取值范围是　　　　.
18.如图,已知四边形ABCD和点P,画四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称.
素养探究全练
19.【推理能力】数学兴趣小组活动时,提出了如下问题:如图①,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决方法:如图①,延长AD到E,使得DE=AD,再连结BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD).把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造关于中点中心对称的图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
迁移应用:请参考上述解题方法,回答下列问题:
如图②,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连结EF.
(1)求证:BE+CF>EF;
(2)若∠A=90°,试探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
图① 图②
第4章　平行四边形
4.3　中心对称
答案全解全析
基础过关全练
1.D　A、B、C选项中的图形都不是中心对称图形,D选项中的图形是中心对称图形,故选D.
[变式1]D　A、B、C选项中的图形都不是中心对称图形,D选项中的图形是中心对称图形,故选D.
[变式2]C　A、B选项中的图形不是轴对称图形,也不是中心对称图形;D选项中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;C选项中的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.故选C.
2.D　　选项A、B、C中的图形都不能找到这样的一个点,使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形,选项D中的图形能找到这样的一个点,使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合,所以是中心对称图形,故选D.
3. 答案　3
解析　第①②④个图形是中心对称图形,第③个图形不是中心对称图形.共有3个中心对称图形.
4.B　 ∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,
∴OB=OB',∠ACB=∠A'C'B',点A的对称点是点A',BC∥B'C',故A,C,D正确.故选B.
5.C　∵点A与点C关于点O对称,点B与点D也关于点O对称,∴OB=OD=4,AD=BC=3,∴BD=8,
∵BD-AD∴56.证明　∵AD∥BC,∴∠DAF=∠CEF,
又∵∠AFD=∠EFC,DF=CF,
∴△ADF≌△ECF(AAS),∴AF=EF,
∴△ADF与△ECF关于点F成中心对称.
[变式]　解析　∠B与∠F相等.理由如下:∵将△ABC以点C为旋转中心,顺时针旋转180°,得到△DEC,∴∠B=∠DEC,∵AF∥BE,∴∠F=∠DEC,∴∠B=∠F.
7.解析　如图,点O和△A'B'C'即为所求作.
[变式]解析　如图,连结CC',BB',两条线段相交于点O,点O即为对称中心.
8.D　 关于原点对称的点,横、纵坐标都互为相反数,
∴点P(2,-3)关于原点对称的点P'的坐标是(-2,3).
9.C　∵点A(5,m+1)与点B(-5,-3)关于原点对称,
∴m+1=3,解得m=2.
10.答案　5
解析　∵点A(-2,b)与点B(a,3)关于原点对称,
∴a=2,b=-3,∴a-b=2+3=5.
11.解析　∵点P(3,-1)关于原点对称的点Q的坐标是(a+b,b-1),
∴a+b=-3,b-1=1,解得b=2,a=-5,
∴ab=(-5)2=25.
能力提升全练
12.D　如图所示(拼成的图形不唯一),只有选项D中的图形通过旋转变换后可以与已有图形拼成中心对称图形.故选D.
13.D　将题图④展开铺平后的图形大致如下:
所以题图④展开铺平后的图形是中心对称图形,也是轴对称图形.故选D.
14.答案　(-1,0)
解析　对应点连线的中点即为对称中心,以此来求解即可.CC'的中点坐标是(-1,0),所以对称中心的坐标为(-1,0).
15.答案　(-3,4)
解析　∵+(b+4)2=0,
∴a-3=0,b+4=0,解得a=3,b=-4,
∴点(a,b)的坐标为(3,-4),
∴点(a,b)关于原点对称的点的坐标是(-3,4).
16.答案　5
解析　∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称,
∴CE=BC,S△DEC=S△ABC,
∴S△ABC=BC·AG=×5×2=5,∴S△DEC=5.
17.答案　-11
解析　∵点P(a+3b,3)与点Q(-5,a+2b)关于原点对称,∴a+3b=5,a+2b=-3,∴a=-19,b=8,
∴a+b=-11.
[变式1]答案　-
解析　∵M(3,y)与N(x,y-1)关于原点对称,
∴x=-3,y-1=-y,∴x=-3,y=,∴xy=-.
[变式2]答案　(1,-2)
解析　∵M(a,2)在第二象限,且|a|=1,
∴M(-1,2),
∴M关于原点对称的点的坐标是(1,-2).
[变式3]答案　1解析　∵点A(m-3,1-m)关于坐标原点对称的点位于第一象限,∴点A位于第三象限,
∴m-3<0,1-m<0,∴118.解析　如图,四边形A'B'C'D'为所求作.
素养探究全练
19.解析　(1)证明:如图,延长FD到G,使得DG=DF,连结BG,EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD),
易知CF=BG,DF=DG,∵DE⊥DF,∴EF=EG.
在△BEG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.
(2)BE2+CF2=EF2.证明如下:
∵∠A=90°,∴∠EBC+∠FCB=90°,
易知∠FCD=∠DBG,
∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,
由(1)知BG=CF,EG=EF,
∴BE2+CF2=EF2.