浙教版数学八年级下册4.5　三角形的中位线素养提升练习（含解析）

第4章　平行四边形
4.5　三角形的中位线
基础过关全练
知识点1　三角形的中位线
1. (2023云南中考)如图,A、B两点被池塘隔开,A、B、C三点不共线.设AC、BC的中点分别为M、N.若MN=3米,则AB=(　　)
A.4米　B.6米 C.8米　D.10米
2. 如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点.若∠A=70°,∠AED=65°,则∠B的度数为(　　)
A.45°　B.55°　C.65°　D.75°
3. 如图,BD是△ABC的中线,E、F分别是BD、BC的中点,连结EF.若EF=2,则AD的长为(　　)
A.4　B.6　C.8　D.2
4. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,D、E、F分别为AB、AC、AD的中点,连结CD、EF,则EF的长度为　　　.
知识点2　中点四边形
5.【中点四边形模型】【教材变式·P99例题】如图,四边形ABCD各边的中点分别是E、F、G、H,若对角线AC、BD的长都为10 cm,则四边形EFGH的周长是　　　　cm.
6.如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点.求证:四边形EGFH是平行四边形.
能力提升全练
7.(2023浙江杭州采荷中学期中,8,★★☆)如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F在DE上,且∠AFB=90°,若EF=2,BC=10,则AB的长为(　　)
A.3　B.4　C.5　D.6
8.(2023浙江宁波海曙四校期中联考,10,★★★)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=8,点D是AC上一个动点,以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中,线段DE长度的最小值是(　　)
A.4　B.4　C.2　D.6
9.【一题多变·利用中位线,求中点连线扫过的面积】(2023浙江宁波镇海立人中学期中,9,★★★)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=8,AD=CD=5,点M为BC上异于B、C的一定点,点N为AB上的一动点,E、F分别为DM、MN的中点,在N从A到B的运动过程中,线段EF扫过图形的面积为(　　)
A.4　B.4.5　C.5　D.6
[变式·利用中位线,求中点连线长度的最小值](2022浙江宁波慈溪期末,15,★★★)如图,在 ABCD中,∠B=45°,AB=2,点H,G分别是边DC,BC上的动点,连结AH,HG.点E为AH的中点,点F为GH的中点,连结EF,则EF的长的最小值为　　　　.
10.(2023浙江衢州柯城风华学校期中,17,★★☆)如图,已知△ABC的周长为1,连结△ABC三边的中点构成第二个三角形,再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形,依此类推,则第2 023个三角形的周长为　　　.
11. (2023浙江嵊州期末,19,★★☆)如图,在△ABC中,AH⊥BC于点H,其中D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,下列三个结论:①四边形BDEF是平行四边形;②△DEF≌△HFE;③S△DFH+S△HEC=S△BDF.其中正确的结论有　　　　.(填上相应的序号即可)
素养探究全练
12.【推理能力】(2022浙江温州中考节选)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E,F分别是AC,AB的中点,O是DF的中点,连结EO并延长,交线段BD于点G,连结DE,EF,FG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
第4章　平行四边形
4.5　三角形的中位线
答案全解全析
基础过关全练
1.B　∵点M、N分别是AC和BC的中点,
∴AB=2MN=6米.
2.A　∵∠A=70°,∠AED=65°,
∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-70°-65°=45°,
∵点D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,
∴∠B=∠ADE=45°.
3.A　∵E、F分别是BD、BC的中点,
∴EF是△BCD的中位线,∴DC=2EF=4,
∵BD是△ABC的中线,∴AD=CD=4.
4.答案　
解析　∵∠ACB=90°,BC=6,AC=8,
∴AB==10.
∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=AB=5,
∵E,F分别为AC、AD的中点,∴EF=CD=.
5.答案　20
解析　∵E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点,
∴HG=EF=AC,GF=HE=BD,
∴四边形EFGH的周长=HG+EF+GF+HE
=(AC+AC+BD+BD)=×(10+10+10+10)
=20(cm).
6.证明　∵E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点,
∴FH=BC,FH∥BC,GE=BC,GE∥BC,
∴FH=GE,FH∥GE,
∴四边形EGFH是平行四边形.
能力提升全练
7.D　∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE=BC=×10=5.
∴DF=DE-EF=5-2=3 ,
∵∠AFB=90°,∴DF是Rt△AFB斜边上的中线,
∴AB=2DF=2×3=6.
8.A　连结OC(图略),∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=8,
∴BC==4.
∵四边形ADBE是平行四边形,对角线AB与DE相交于点O,∴OD=OE=DE,OA=OB.
∴当OD的值最小时,DE的值最小,此时OD⊥AC,∴∠ADO=∠C=90°,
易知OC=OA=OB,∴AD=CD,即D是AC的中点,又∵OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,
∴OD=BC=2,∴DE=2OD=4.
9.A　如图,取BM的中点P,连结EP,FP,DN,过点D作DQ⊥AB于点Q,
∵F是MN的中点,E是DM的中点,
∴FP是△BMN的中位线,EF是△DMN的中位线,
∴FP∥BN,FP=BN,EF∥DN,EF=DN.
在点N从A到B的运动过程中,点F在FP所在的直线上运动,∴线段EF扫过的图形面积为△EFP面积的最大值.
当点N与点A重合时,FP=AB=4,
∵AB∥CD,∠C=90°,∴∠B=90°,即BC⊥AB,
∵DQ⊥AB,∴DQ∥CB,∴四边形BCDQ是平行四边形,
∴CD=BQ,∵AB=8,AD=CD=5,
∴AQ=AB-QB=8-5=3.
∴DQ==4,
当点N与点Q重合时,EF=DN=DQ=2,EF∥DQ,∴EF⊥AB,∴EF⊥FP,
∴△EFP中FP边上的高为2,
∴在点N从点A到点B的运动过程中,线段EF扫过的图形面积为×4×2=4.
[变式]答案　
解析　如图,连结AG,
∵点E,F分别是AH,GH的中点,
∴EF是△AGH的中位线,∴EF=AG,
∴当AG的长最小时,EF的长最小,
当AG⊥BC时,AG的长最小,
∵∠B=45°,AB=2,∴AG的长的最小值为,
∴EF的长的最小值是.
10.答案　
解析　如图,△ABC的周长为1,连结△ABC三边的中点构成的△A1B1C1的周长为(AB+BC+AC)=△ABC的周长=×1=,再连结△A1B1C1三边的中点构成△A2B2C2的周长为(A1B1+B1C1+A1C1)=△A1B1C1的周长=×=,依此类推,则第2 023个三角形的周长为.
11.答案　①②③
解析　因为D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,
所以EF=BC=BD,EF∥BC,
所以四边形BDEF是平行四边形,故结论①正确.
因为E,F分别是AC,AB的中点,AH⊥BC,
所以FH=AB,HE=AC.
因为D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,
所以DE=AB,DF=AC,所以DE=FH,DF=HE.
又EF=EF,所以△DEF≌△HFE,故结论②正确.
因为DE=FH,DF=HE,DH=DH,
所以△DHF≌△HDE.所以S△DHF=S△HDE.
因为D为BC的中点,EF∥BC,
所以S△DBF=S△CDE=S△HDE +S△HEC=S△DHF +S△HEC,即S△DFH+S△HEC=S△BDF.故结论③正确.
素养探究全练
12.证明　∵E,F分别是AC,AB的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BC,∴∠EFO=∠GDO,
∵O是DF的中点,∴OF=OD,
在△OEF和△OGD中,
∴△OEF≌△OGD(ASA),∴EF=GD,又EF∥GD,
∴四边形DEFG是平行四边形.