浙教版数学八年级下册5.1.2矩形的判定 素养提升练习（含解析）

第5章　特殊平行四边形
5.1　矩形
第2课时　矩形的判定
基础过关全练
知识点　矩形的判定
1.依据所标数据,下列一定为矩形的是(　　)
A　B　C　D
2.一个四边形在平面直角坐标系中,三个顶点坐标分别是(-1,-1),(-1,2),(3,-1),要使这个四边形是矩形,则第四个顶点坐标是　(　　)
A.(-2,-2)　　B.(3,2) C.(3,3)　　D.(2,3)
3.如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,OA=OB,点E在BD的延长线上,若∠BOC=110°,则∠ADE=　　　　.
　　　　
4. 如图,在平行四边形ABCD中,AC=BD,AB=6,两条对角线AC,BD所夹的钝角为120°,则对角线BD的长为　　　　.
5.【教材变式·P117T3】如图,在四边形ABCD中,对角线AC垂直于对角线BD,依次连结AB,BC,CD,AD的中点E,F,G,H,得到四边形EFGH.求证:EG=FH.
能力提升全练
6.(2023浙江丽水模拟,8,★★☆)如图,∠AOB=90°,OC平分∠AOB,PE⊥OA于点E,PF⊥OC于点F,PG⊥OB于点G,则的值是(　　)
A.1　B.2　C.　 D.
7.求证:直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.
已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点O是AC的中点.
求证:OB=AC.
证明:延长BO到D,使OD=OB,连结AD、CD,中间的证明过程排乱了:
①∵∠ABC=90°;
②∵OD=OB,OA=OC;
③∴四边形ABCD是平行四边形;
④∴四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD,∴OB=BD=AC.
则中间证明过程正确的顺序是(　　)
A.①④②③　　B.①③②④ C.②④①③　　D.②③①④
　
8. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BD,AB=5,BD=4,CD=3,点E是AC的中点,则BE的长为(　　)
A.2　B.　C.　D.3
9.【将军饮马问题】如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=4,点E、F分别是AB、DC上的动点,EF∥BC,则AF+CE的最小值是　　　　.
10.【一题多变·利用矩形的性质求线段长度的最小值】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.点D是AB边上的动点,过点D作边AC,BC的垂线,垂足分别为E,F,连结EF,则EF的最小值为　　　　.
第10题图 变式图
[变式·求对角线的一半长的最小值]如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5,AC=12,P为边BC上一动点.PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,则PM的最小值是　　　.
11.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.
12. 如图,DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
(1)求证:AF与DE互相平分;
(2)当AF与BC满足怎样的数量关系时,四边形ADFE为矩形 请说明理由.
13. (2023四川内江中考,18,★★☆)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证:FA=BD;
(2)连结BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形.
14.如图,在 ABCD中,AC⊥AD,作∠ECA=∠ACD,CE交AB于点O,交DA的延长线于点E,连结BE.
(1)求证:四边形ACBE是矩形;
(2)连结OD,若AB=4,∠ACD=60°,求OD的长.
15. 如图,在△ABC中,O是AC上一动点(不与点A、C重合),过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的邻补角的平分线于点F.
(1)OE与OF相等吗 证明你的结论.
(2)试确定点O的位置,使四边形AECF是矩形,并加以证明.
16.【推理能力】如图,在平面直角坐标系中,点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)(q第5章　特殊平行四边形
5.1　矩形
第2课时　矩形的判定
答案全解全析
基础过关全练
1.C　选项A、B都只有两个角可以确定是直角,它们都不一定是矩形;选项C中长度等于3的一组对边都垂直于同一边,可知长度等于3的这组对边平行且相等,所以这个四边形是平行四边形,又有两个角是直角,所以这个平行四边形是矩形;选项D知道一组邻边长是3、4,但不能确定它们的夹角是直角,所以这个四边形不一定是矩形.故选C.
2.B　如图,过点(-1,2)、(3,-1)分别作x轴、y轴的平行线,
易知交点坐标为(3,2),即第四个顶点坐标是(3,2),此时,这个四边形是矩形.
3.答案　145°
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,BO=OD,
∵OA=OB,∴2AO=2OB,即AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形,∴AO=OD,
∴∠ADO=∠OAD=(180°-∠AOD),
∵∠AOD=∠BOC=110°,∴∠ADO=35°,
∴∠ADE=180°-∠ADO=180°-35°=145°.
4.答案　12
解析　∵在平行四边形ABCD中,AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC=AC,OD=OB=BD,∴OA=OB,
∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,∴OB=AB=6,
∵OB=BD,∴BD=12.
5.证明　∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,AD的中点,
∴EF=AC,HG=AC,EH=BD,FG=BD,EF∥AC,EH∥BD,
∴EF=HG,EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形,∵AC⊥BD,∴EF⊥EH,即∠HEF=90°.
∴平行四边形EFGH是矩形.∴EG=FH.
能力提升全练
6.C　如图,过点G作GM⊥OC于点M,过点P作PN⊥MG于点N,
∵∠AOB=90°,PE⊥OA,PG⊥OB,∴∠AOB=∠OEP=∠OGP=90°,
∴四边形OEPG为矩形,∴OE=PG,
∵PN⊥MG,PF⊥OC,MG⊥OC,
∴∠PNM=∠PFM=∠NMF=90°,
∴四边形FMNP为矩形,∴PN=MF,
∵∠AOB=90°,OC平分∠AOB,∴∠MOG=45°,
∴OG=OM,同理可得PG=PN,∴OE=MF,
∴===.
7.D　证明:延长BO到D,使OD=OB,连结AD、CD,
∵OD=OB,OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,∴OB=BD=AC.
∴中间证明过程正确的顺序是②③①④.
故选D.
8.C　如图,过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F,
∵AB∥CD,AB⊥BD,∴CD⊥BD,
∴∠F=∠DBF=∠CDB=90°,
∴四边形BFCD是矩形,
∴BF=CD=3,CF=BD=4,
在Rt△BCF中,BC===5,
在Rt△AFC中,AC====4,
∴BC=AB=5,∴△ABC是等腰三角形,
∵点E是AC的中点,∴BE⊥AC,
∵AB·CF=AC·BE,
∴×5×4=×4BE,解得BE=.
9.答案　
解析　连结BF,作点A关于CD的对称点G,连结BG,FG,如图所示:
则AF=FG,AD=DG,
在矩形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=∠BAD=90°,
∵EF∥BC,∴四边形BEFC是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形BEFC是矩形,
∴CE=BF,∴AF+CE的最小值等于AF+BF的最小值,即BG的长度,
∵AB=5,AD=4,∴AG=8,
根据勾股定理,得BG===,
∴AF+CE的最小值为.
10.答案　
解析　如图,连结CD,
∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB===5,
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEC=∠DFC=90°,
∴四边形CFDE是矩形,
∴EF=CD,
当CD⊥AB时,CD的值最小,
此时,EF的值最小,
S△ABC=BC·AC=AB·CD,
∴×4×3=×5·CD,解得CD=,
∴EF的最小值为.
[变式]答案　
解析　连结AP,如图.
∵∠BAC=90°,AB=5,AC=12,∴BC===13,∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴四边形AFPE是矩形,∴EF=AP,EF与AP互相平分,∵M是EF的中点,∴M为AP的中点,∴PM=AP,∵AP⊥BC时,AP最短,此时PM也最短,当AP⊥BC时,AP===,∴AP最短时,AP=,∴当PM最短时,PM=AP=,即PM的最小值为.
11.解析　(1)证明:∵AO=OC,BO=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD,
∴∠DAO=∠ADO,∴AO=DO,
∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,∠BAD=90°,∴∠ABO=∠CDO,
∵∠AOB∶∠ODC=4∶3,∴∠AOB∶∠ABO=4∶3,
∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO=3∶4∶3,∴∠ABO=54°,
∵∠BAD=90°,∴∠ADO=90°-54°=36°.
12.解析　(1)证明:∵DE是△ABC的中位线,∴点D是AB的中点,点E是AC的中点,∴AD=AB,
∵AF是△ABC的中线,∴点F是BC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AB,EF=AB,∴EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形,
∴AF与DE互相平分.
(2)当AF=BC时,四边形ADFE为矩形.
理由:由(1)得四边形ADFE是平行四边形,
∵DE为△ABC的中位线,∴DE=BC,
∵对角线相等的平行四边形是矩形,∴当AF=DE=BC时,四边形ADFE是矩形,
故应满足的关系为AF=BC.
13.证明　(1)∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,
∵E为AD的中点,∴AE=DE,
∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC,
∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴AF=BD.
(2)∵AF=BD,AF∥BD,
∴四边形ADBF是平行四边形,
∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,∴四边形ADBF是矩形.
14.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵AC⊥AD,∴∠EAC=∠DAC=90°,
∵∠ECA=∠ACD,∴∠AEC=∠ADC,
∴CE=CD,∴AE=AD=BC,
∵AE∥BC,∴四边形ACBE是平行四边形,
∵∠EAC=90°,∴四边形ACBE是矩形.
(2)如图,过点O作OF⊥DE于F,∴∠OFA=90°.
由(1)知四边形ACBE是矩形,
∴OA=OC=OB=OE,
∵OF⊥DE,∴AF=EF,∴OF=AC,
∵∠ACD=∠ACO=60°,
∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA=2,
∴OF=1,∴AF=,∴EF=,∴AD=AE=2,
∴DF=AF+AD=+2=3,
∴OD===2.
15.解析　(1)OE=OF.证明如下:
∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠FCD,
∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠BCE=∠ACE,∠OCF=∠FCD,
∴∠ACE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,
∴OE=OC,OC=OF,
∴OE=OF.
(2)当O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.
证明:∵AO=CO,OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
由(1)知OE=OC=OF,∴OE=OC=OF=OA,∴AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
素养探究全练
16.证明　∵AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB,∠BAC=∠ACD,
又∵BE=DE,∴△ABE≌△CDE.
∴AE=CE.∴四边形ABCD为平行四边形.
∴AB=CD=4,易知AB∥CD∥x轴,∴m=2+4=6.
∵点B在直线y=x+1上,∴n=4,
∴A(2,4),B(6,4),
作EF⊥AB于F,如图,
∵△AEB的面积是2,AB=4,∴EF=1,
∵D(p,q),∴E,F,
∴+1=4,∴q=2,∵点D在直线y=x+1上,∴P=2,∴DA⊥AB,
∴四边形ABCD是矩形.