(共29张PPT)
2.2切线长定理
浙教版九年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1.理解切线长的定义，会推导切线长定理.
2.掌握切线长定理，并会利用它进行相关的计算和证明
新知导入
你见过抖空竹表演吗？如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，AC与BD的延长线交于点P. PC与PD有什么大小关系？
·
O
A
C
P
D
B
新知讲解
O
B
P
A
思考：P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O 于A、B两点，比较PA、PB两条线段的长短,你能发现什么
新知讲解
如图,P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。
从圆外一点作圆的切线，我们把圆外这点到切点间的线段的长叫做切线长。
O
A
B
注意：切线是直线，不可以度量；切线长是切线上的切点与切点外另一点之间的线段长，可以度量.
P
归纳总结
切线长定理
过圆外一点所作的圆的两条切线长相等.
·
O
A
P
B
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，
∴PA=PB.
几何语言：
你能证明这个定理吗？
新知讲解
已知：如图，P为⊙O外一点PA,PB分别与⊙O相切于点A,B.求证：PA=PB.
证明：连结AO,BO,PO.
∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB
新知讲解
2.若连结两切点A，B，AB交OP于点M.
你能得出什么新的结论
3.若延长PO交⊙O于点C，连结CA，CB.
你又能得出什么新的结论
如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B.
1.∠PAO与∠PBO有什么关系？
·
O
A
P
B
∠PAO=∠PBO
OP垂直平分AB
CA=CB
M
C
典例精析
例1 如图，点O是所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B. 已知∠ACB=80°，OC=102m. 求C到⊙O的切线长(结果精确到1m).
解：如图，连结OA，OB.
∵AC ， BC分别与⊙O相切于点A、B，
∴AC=BC(过圆外一点所作的圆的两条
切线长相等).
C
B
O
A
典例精析
又∵OA=OB，OC=OC，
∴△OAC≌△OBC
∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=×80°=40°.
在Rt△OAC中，∠OAC=90°，
∴=cos40°，
∴AC=OC×cos40°
=102×cos40°≈78(m).
答：点C到⊙O的切线长约为78m.
典例精析
例2 如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B. 延长MA，NB，相交于点P.已知∠APB=60°，AP=24cm，求两切点间的距离和的长(结果精确到1cm).
解：如图，连结AB，OA，OB，OP .
∵MP，NP分别切⊙O于点A ，B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP ， AP=BP.
又∵∠APB=60°，
∴△ABP为等边三角形，
·
M
N
O
A
B
P
∴AB=AP=24cm.
典例精析
∵OA=OB，
∴∠OPA=30°，
∴OA=AP×tan30°=24×=8(cm).
而∠AOB=360°-2×90°-60°=120° ，
∴=
=≈29(cm).
答：两个切点间的距离为24cm， 的长约为29cm.
·
M
N
O
A
B
P
∴OP平分∠APB，
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
A.4 B.8 C.4 D.8
B
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝5，则△PCD的周长为______.
4.如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，则∠P的度数为________.
10
70°
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P，
求证：AD+BC=AB+CD.
证明：∵四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P，
∴AL=AP，LB=MB ， NC=MC，
DN=DP ，
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP ，
即 AB+CD=AD+BC.
·
A
B
L
O
D
C
M
N
P
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
(1)求证：∠A＝∠ADE；
(2)若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（1）连接CD，
∵BC为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵AC⊥BC，
∴EC是⊙O的切线，
∵ED是⊙O的切线，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，∵∠EDC+∠ADE=∠ECD+∠A=90°，∴∠A=∠ADE
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(2)如图，连结CD.
∵∠ADE＝∠A，
∴AE＝DE.
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线．
∴ED＝EC.
∴AE＝EC.
∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10.
∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝∠CDA＝90°.
课堂练习
【综合拓展类作业】
在Rt△ADC中，AD=8，AC=10，
∴DC=6
设BD=x，在Rt△BDC中，
在RtABC中，
∴=
解得：
∴BC=
课堂总结
切线长
切线长的定义
从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长.
切线长定理
过圆外一点所作的圆的两条切线长相等.
板书设计
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
2.切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
1.把直尺、三角尺和圆形螺母桉如图所示放置于桌面上，∠CAB= 60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）
12cm B. 24cm C.6
2.如图，正方形ABCD边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则△ADE的面积为 ( )
A．12 B．24 C．8 D．6
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
D
D
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连结AB，分别过A，B作⊙O的切线，两切线交于点P，若已知⊙O的半径为1，则△PAB的周长＝_______.
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM= .
3
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连结OF.
(1)求证：OD∥BE.
(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
作业布置
【综合拓展类作业】
(1)证明：连结OE，OC
∵AM，DE是⊙O的切线，
∴DA＝DE，易证△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE，
又∵∠ABE＝∠AOE，
∴∠AOD＝∠ABE，
∴OD∥BE.
作业布置
【综合拓展类作业】
解：OF＝CD.
理由：
∵AM，BN，DC是⊙O的切线，
∴AD＝DE，BC＝CE，
∴AD＋BC＝DE＋CE.即AD＋BC＝DC.
由AB是⊙O的直径，且点F 是CD的中点，
易得，OF＝(AD＋BC)＝DC.
即OF＝DC.
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《2.2切线长定理》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时是在学习完切线的判定和性质以后，进一步研究切线的相关知识点，其中切线长定理又为学习三角形的内切圆提供理论支撑，体现了由浅入深、循序渐进的学习原则．由切线长定理可以推出线段，角，弧相等以及垂直关系等，在学习切线长定理时要注意切线和切线长的区分。
学习者分析 学生学习了圆的基本性质、垂径定理、点和圆、直线和圆的位置关系，以及有关的三角形、四边形的有关证明，对本节课的学习应该不是很困难，处于这一阶段的学生，其思维已经具备了明显的逻辑性，但还不是不够完整，如何分析、如何入手等还有待进一步提高。在本堂课上通过具体的问题的指引，学生自己思考，动手操作等，引发学生的兴趣，能够引导他们一步步达成教学目标。
教学目标 1.理解切线长的定义，会推导切线长定理. 2.掌握切线长定理，并会利用它进行相关的计算和证明
教学重点 切线长定理及其应用
教学难点 与切线长定理有关的计算和证明问题
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 你见过抖空竹表演吗？如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，AC与BD的延长线交于点P. PC与PD有什么大小关系？. 学生活动1： 学生观察回答问题活动意图说明：通过问题情境，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。同时让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有。环节二：新知探究教师活动2： 思考：P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O 于A、B两点，比较PA、PB两条线段的长短,你能发现什么 从圆外一点作圆的切线，我们把圆外这点到切点间的线段的长叫做切线长。 注意：切线是直线，不可以度量；切线长是切线上的切点与切点外另一点之间的线段长，可以度量. 归纳总结： 切线长定理 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等. 几何语言： ∵PA，PB分别切⊙O于A，B， ∴PA=PB. 你能证明这个定理吗？ 已知：如图，P为⊙O外一点PA,PB分别与⊙O相切于点A,B.求证：PA=PB. 证明：连结AO,BO,PO. ∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB 1.∠PAO与∠PBO有什么关系？ ∠PAO=∠PBO 2.若连结两切点A，B，AB交OP于点M.你能得出什么新的结论 OP垂直平分AB 3.若延长PO交⊙O于点C，连结CA，CB.你又能得出什么新的结论 CA=CB 学生活动2： 小组交流合作，教师适时指导，探索切线长定理 活动意图说明：引导学生发现问题，总结经验，不仅是知识的积累，更是数学方法的小结，是高层次自我认识环节三：典例精析教师活动3： 例1 如图，点O是所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B. 已知∠ACB=80°，OC=102m. 求C到⊙O的切线长(结果精确到1m). 解：如图，连结OA，OB. ∵AC ， BC分别与⊙O相切于点A、B， ∴AC=BC(过圆外一点所作的圆的两条 切线长相等). 又∵OA=OB，OC=OC， ∴△OAC≌△OBC ∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=×80°=40°. 在Rt△OAC中，∠OAC=90°， ∴=cos40°， ∴AC=OC×cos40° =102×cos40°≈78(m). 答：点C到⊙O的切线长约为78m. 例2 如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B. 延长MA，NB，相交于点P.已知∠APB=60°，AP=24cm，求两切点间的距离和的长(结果精确到1cm). 解：如图，连结AB，OA，OB，OP . ∵MP，NP分别切⊙O于点A ，B， ∴OA⊥AP，OB⊥BP ， AP=BP. 又∵∠APB=60°， ∴△ABP为等边三角形，∴AB=AP=24cm. ∵OA=OB，∴OP平分∠APB， ∴∠OPA=30°， ∴OA=AP×tan30°=24×=8(cm). 而∠AOB=360°-2×90°-60°=120° ， ∴= =≈29(cm). 答：两个切点间的距离为24cm， 的长约为29cm.学生活动3： 学生自主解答，教师进行个别指导，最后让学生说明做题理由，教师做好总结. 活动意图说明：学以致用，从做题中加强对知识的理解和运用能力.
板书设计 1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 2.切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB的长是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( ) A.4 B.8 C.4 D.8 3.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝5，则△PCD的周长为______. 4.如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，则∠P的度数为________. 选做题： 5.如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P， 求证：AD+BC=AB+CD. 【综合拓展类作业】 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E. (1)求证：∠A＝∠ADE； (2)若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.把直尺、三角尺和圆形螺母桉如图所示放置于桌面上，∠CAB= 60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ） 12cm B. 24cm C.6 2.如图，正方形ABCD边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则△ADE的面积为 ( ) A．12 B．24 C．8 D．6 选做题 3.如图，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连结AB，分别过A，B作⊙O的切线，两切线交于点P，若已知⊙O的半径为1，则△PAB的周长＝_______. 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM= . 【综合拓展类作业】 5.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连结OF. (1)求证：OD∥BE. (2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
教学反思 通过本节课,使我更进-步的认识到教师在教学过程中不能闭门造车，以自己的固有知识与过往教学经验来权衡学生，更应该注重学生的实际水平与认知能力，以学生为主体，在设置问题时能够更好地注重知识的生成。在今后的练习中更加注重双基，设置适当的难度与梯度。我认为，有效课堂的灵魂是以生为本，力争让学生作为课堂的主人，一切为了学生能自主学习而授课。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1)了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念，切线的性质和判定。2)能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线；作三角形的内切圆。3)探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等4)了解三角形的内心与内切圆
内容分析 本章的主要内容有直线和圆的位置关系，需理解相交、相切、相离等概念，掌握切线的性质定理和判定定理，切线长定理等。本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性，在中考中所涉及的命题大多和圆有关的位置关系、圆中的计算有关。
学情分析 初三学生有了一定的分析力和归纳力，根据他们的特点，联系生活实际，结合本节课适合学生的学习材料，注重激发学生的求知欲，在此之前学生已学习了圆的相关知识。本章主要是在已有的知识基础上，通过自己动手平移实践得到直线与圆的三种位置关系，直线与圆相切学生会觉得难以理解，所以应进一步进行交流、探索，通过直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的位置关系，进而探究切线长定理以及内切圆，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点;通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和化归思想的认识。
单元目标 教学目标1）会判断直线与圆之间的位置关系 .2)了解圆的确定条件，了解三角形内切圆相关的概念.3) 了解切线长定理(二)教学重点、难点教学重点：正确理解直线与圆之间的位置关系以及三角形内切圆。教学难点:切线的性质和判定的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1直线与圆的位置关系32.2切线长定理12.3三角形的内切圆1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1直线与圆的位置关系1.认识直线与圆的三种位置关系 2.理解切线的判定和性质定理学生能够判断出直线与圆的位置关系，并运用切线的判定和性质定理解决问题任务1.认识直线与圆的三种位置关系任务2.探究切线的判定与性质定理 任务3.出示例题2.2切线长定理1．经历切线长定理的探索过程．2．掌握切线长定理．3．会运用切线长定理解决有关的几何证明和计算等问题．学生能够利用切线长定理解决有关的几何证明和计算问题任务1：认识切线长任务2.探究切线长定理任务3.出示例题2.3三角形的内切圆1、了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；会画三角形的内切圆并理解其相关概念会应用三角形内切圆有关性质解决问题任务1.出示问题 任务2.探究三角形的内切圆的相关概念任务3.出示例题
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：探究直线与圆的三种位置关系
活动3：例题
活动2：探究切线的判定定理
活动3：例题
2.3三角形的内切圆
2.2切线长定理
2.1直线与圆的位置关系(第3课时)
活动1：引入课题
活动2：探究切线的性质定理
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究切线长定理
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：通过问题探究三角形的内切圆相关概念
活动3：例题
直线与圆的位置关系
2.1直线与圆的位置关系(第2课时)
2.1.直线与圆的位置关系(第1课时)
活动1：引入课题
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