26.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质 课件（共28张PPT）

第1课时 二次函数 y = ax2+k的图象与性质
第二十六章 二次函数
26.2.2 二次函数的图象与性质
1．会用描点法画出y＝ax2+k的图象，理解抛物线的念．
2．掌握形如y＝ax2+k的二次函数图象和性质，并会应用．
O
x
y
这个函数的图象是如何画出来的？
在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象.
解：先列表：
x
···
－3
－2
－1
0
1
2
3
···
···
···
···
···
知识点1 二次函数 y=ax2+k 的图象与性质
例1
x
y
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象：
抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
抛物线
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0，0）
（0，1）
y 轴
y 轴
想一想：通过上述例子，你能得出函数 y = ax2 + k(a＞0)的性质是什么？
思考？
做一做
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
2
y
-2
-2
4
2
-4
x
O
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
根据图象回答下列问题：
(1) 图象的形状都是 ；
(2) 三条抛物线的开口方向______；
(3) 对称轴都是__________；
(4) 从上往下三个顶点坐标分别是
_____________________；
抛物线
向下
直线 x = 0
(0，0)
(0，2)
( 0，-2)
(5) 顶点都是最____点，对应函数都有最____值，从上而下最大值分别为______、_______﹑_______；
(6) 对应函数的增减性都相同： ____________________________
____________________________.
高
大
y = 0
y = -2
y = 2
对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，
对称轴右侧 y 随 x 增大而减小
y = ax2 + k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y 轴
y 轴
顶点坐标
（0，k）
（0，k）
最值
当 x = 0 时，y最小值 = k
当 x = 0 时，y最大值 = k
增减性
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；x＜0 时，y 随 x 的增大而增大
二次函数 y = ax2 + k（a ≠ 0）的性质
例2
-1
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入后的正确计算是解题的关键．
例3
例3
D
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数
y = 2x2 + 1 与 y = 2x2 - 1 的图象．
解：先列表：
x
···
－2
－1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y = 2x2＋1
···
···
y = 2x2－1
···
···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
-1
1
3.5
7
知识点2 二次函数 y = ax2 + k 的图象及平移
探究？
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
(1) 抛物线 y = 2x2+1，y = 2x2-1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y = 2x2
向上
(0，0)
y轴
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
(0，1)
(0，-1)
y轴
y轴
(2) 抛物线 y = 2x2+1，y = 2x2-1与抛物线 y = 2x2 有什么关系？
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y = 2x2 - 1.
下
y = 2x2+1
上
解析式
y = 2x2
y = 2x2 + 1
y = 2x2 - 1
+ 1
- 1
点的坐标
函数对应值表
x
…
…
y = 2x2 - 1
…
…
y = 2x2
…
…
y = 2x2 + 1
…
…
4.5
-1.5
3.5
5.5
-1
2
1
3
x
2x2
2x2 - 1
(x, )
(x, )
(x, )
2x2 - 1
2x2
2x2 + 1
从“数”的角度探究
2x2 + 1
y = 2x2 + 1
y = 2x2 - 1
可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y = 2x2 - 1.
下
y = 2x2 + 1
上
从“形”的角度探究
4
x
y
O
-2
2
2
4
6
-4
8
10
-2
二次函数 y = ax2 + k 的图象可以由 y = ax2 的图象平移得到：
当 k＞0 时，向上平移 k 个单位长度得到；
当 k＜0 时，向下平移 -k 个单位长度得到.
二次函数 y = ax2 与 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
知识要点
例4
变式
想一想 1. 画抛物线 y = ax2 + k 的图象有几步？
2. 抛物线 y = ax2 + k 中的 a 决定什么？k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2 的图象，再向上（或向下）平移 |k| 个单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a 决定开口方向和大小；k 决定顶点的纵坐标；
对称轴：y 轴；顶点坐标：(0，k ).
例5
1.二次函数y＝－3x2－2的最大值为________．
－2
C
C
3.函数y＝－x2＋3与y＝－x2－2的图象的不同之处是(　　)
A．对称轴
B．开口方向 　
C．顶点
D．形状
4.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是(　　)
D
5.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m，水面下降________m，水面宽8 m.
二次函数 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质
图象
性质
与 y = ax2的关系
1. 开口方向由 a 的符号决定；
2. k 决定顶点位置；3. 对称轴是 y 轴
增减性结合开口方向和对称轴才能确定
平移|k|个单位：
k 正→向上平移；
k 负→向下平移