6.4线段的和差-2023-2024学年浙教版七年级上 同步分层作业(含解析)

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6.4线段的和差 同步分层作业
基础过关
1. 下列关系式中，与如图不符合的是（　　）
A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣DB
C．AC﹣BC＞AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC
2. 如图，下列说法错误的是（　　）
A．BM＝BN+MN B．BM＝AB﹣AM
C．BM＝BN+AN﹣MN D．BM＝AB﹣AN+MN
3. 如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式中，错误的是（　　）
A．CD＝AD﹣AC B．CD＝AD﹣BC C．CD＝AB﹣AC D．CD＝AB
4. 如图，点D是线段AC上一点，点C是线段AB的中点，则下列等式不成立的是（　　）
A．AD+BD＝AB B．BD﹣CD＝CB C．AB＝2AC D．
5. 已知线段AB＝60，点C为线段AB的中点，点D为射线CB上的一点，点E为线段BD的中点，且线段EB＝5，则线段CD的长为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．20或40
6. 根据所示图形填空．
①AD＝　 　+　 　+　 　；
②BD＝　 　+　 　；
③BC＝AC﹣　 　＝BD﹣　 　；
④AB+CD＝AD﹣　 　．
16．如图所示：
（1）AC＝　 　+　 　；
（2）AC＝　 　﹣　 　；
（3）BC＝　 　﹣　 　；
（4）BC+CD＝　 　；
（5）CD＝AD﹣　 　；
（6）AC+BD﹣BC＝　 　．
7. 如图，点C，D在线段AB上．若C是线段AB中点，CD＝AC，AB＝16，则BD长为 　6　．
8. 如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．若点C是线段AB的巧点，则AC＝　 　cm．
9. 已知：线段a，b．
求作：线段AB，使AB＝a﹣2b．
10.如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC：CB＝1：4，AC＝12cm．
（1）求AB的长；
（2）若F为CB的中点，求EF长．
11.已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：
（2）如图2，若BD＝AB＝CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
能力提升
12. 如图，O是AC的中点，B是线段AC上任意一点，M是AB的中点，N是BC的中点，那么下列四个等式中，不成立的是（　　）
A．MN＝OC B．MO＝（AC﹣AB）
C．ON＝（AC﹣CB） D．MN＝（AC+OB）
13. 下列说法中，正确的是（　　）
A．若AC＝AB，则C是AB的中点
B．若AC＝BC，则C是AB的中点
C．若C在线段AB上，且AC＝BC，则C是AB的中点
D．若C在直线AB上，且AC＝AB，则C是线段AB的中点
14. 如图，已知点C是线段AB上一点，点M，N分别是线段AC，BC的中点，则MN＝AB，小明对这个问题做了进一步的探究，并得出了相应的结论：
（1）若点C是线段AB延长线上一点，其余条件不变，则MN＝AB；
（2）若点C是线段AB反向延长线上一点，其余条件不变，则MN＝AB．
在上述结论中（　　）
A．（1）正确，（2）不正确 B．（1）不正确，（2）正确
C．（1）（2）都不正确 D．（1）（2）都正确
15. 如图，点C在线段AB上，图中共有三条线段AC、BC和AB，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段AB的“2倍点”．
（1）线段的中点 　是　这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”）
（2）若AB＝18，点C是线段AB的“2倍点”，则AC的长为 　 　．
16. 如图，已知线段a，b，c（a＞b）．求作：线段AB，使AB＝2c﹣b+a．
17.如图，点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，且AB＝BC．
（1）若BC＝8，求DC的长；
（2）若DE＝6，求AC的长．
18. 如图所示，点C在线段AB上，AB＝30cm，AC＝12cm，点M，N分别是AB，BC的中点．
（1）求CN的长度；
（2）求MN的长度；
（3）若点P在直线AB上，且PA＝2cm，点Q为BP的中点，请直接写出QN的长度，不用说明理由．
19. 已知线段AB，反向延长线段AB到C，使BC＝AB，D为BC的中点，E为BD的中点．
（1）①补全图形；
②若AB＝4，则AE＝　　（直接写出结果）．
（2）若AE＝2，求AC的长．
培优拔尖
20. 如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CN．其中正确的结论是 　 　．
21. 已知A，B，C，D四点在同一直线上，线段AB＝8，点D在线段AB上．
（1）如图1，点C是线段AB的中点，，求线段AD的长度；
（2）若点C是直线AB上一点，且满足AC：BC＝4：1，BD＝2，求线段CD的长度．
22. 如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝5cm，则线段AB的长 　 　cm，线段MN的长 　 　cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝a，直接写出线段MN的长．
23.已知：如图，M是线段AB上一定点，C，D两点分别从M，B出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向A，M运动，运动方向如箭头所示．
（1）若AB＝10cm，当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值．
（2）若点C，D运动时，总有MD＝3AC，则AM＝　　AB．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
24．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，求MN的长；
（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？
（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
答案与解析
基础过关
1. 下列关系式中，与如图不符合的是（　　）
A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣DB
C．AC﹣BC＞AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC
【思路点拨】根据两点间的距离，即可解答．
【解析】解：A、AD﹣CD＝AC，AB+BC＝AC，AC＝AC，所以正确，不符合题意；
B、AC﹣BC＝AB，AD﹣DB＝AB，AB＝AB，所以正确，不符合题意；
C、AC﹣BC＝AB，AC+BD＝AD+BC，AB＜AD+BC，所以错误，符合题意；
D、AD﹣AC＝CD，BD﹣BC＝CD，CD＝CD，所以正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是明确两点间的距离．
2. 如图，下列说法错误的是（　　）
A．BM＝BN+MN B．BM＝AB﹣AM
C．BM＝BN+AN﹣MN D．BM＝AB﹣AN+MN
【思路点拨】根据题意对各选项进行分析不难得出答案．
【解析】解：∵M、N是线段AB上的两点，
∴A、BM＝BN+MN，正确，
B、BM＝AB﹣AM，正确，
C、BM＝BN+AN﹣MN，故本选项错误，
D、BM＝AB﹣AN+MN，正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查线段的定义和等量代换，只要细心进行线段的代换便不难得到正确答案，难度不大．
3. 如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式中，错误的是（　　）
A．CD＝AD﹣AC B．CD＝AD﹣BC
C．CD＝AB﹣AC D．CD＝AB
【思路点拨】根据线段中点的性质，可得CD＝BD＝BC＝AB，再根据线段的和差，可得答案．
【解析】解：∵C是AB的中点，D是BC的中点，
∴CD＝BD＝BC＝AB，
∴AD﹣AC＝CD，A选项正确，不符合题意；
AD﹣BC＝AD﹣AC＝CD，B选项正确，不符合题意；
AB﹣AC＝BC﹣BD＝CD，C选项正确，不符合题意；
CD＝AB，D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出CD＝BD＝BC＝AB是解题关键，或令CD＝BD＝a，则BC＝2a，AB＝4a，再根据线段的和差进行计算．
4. 如图，点D是线段AC上一点，点C是线段AB的中点，则下列等式不成立的是（　　）
A．AD+BD＝AB B．BD﹣CD＝CB C．AB＝2AC D．
【思路点拨】根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确，本题得以解决．
【解析】解：∵点C是线段AB的中点，
∴AB＝2AC，故选项C符合题意；
∵D是不是线段AC的中点，
∴AD＝CD≠AC，
∴BD﹣AD＝BD﹣CD＝CB，故选项B符合题意；
由图形知AD+BD＝AB，故选项A符合题意；
∵D是不是线段AC的中点，
∴AD≠AC，故选项D不合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5. 已知线段AB＝60，点C为线段AB的中点，点D为射线CB上的一点，点E为线段BD的中点，且线段EB＝5，则线段CD的长为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．20或40
【思路点拨】根据中点的定义求出BC，BD，再由CD＝BC﹣BD或CD＝BC+BD，可得出答案．
【解析】解：∵AB＝60，C是AB的中点，
∴BC＝AB＝30，
又∵E为BD的中点，EB＝5，
∴BD＝2EB＝10，
∴CD＝CB﹣BD＝30﹣10＝20，
或CD＝CB+BD＝30+10＝40．
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．
6. 根据所示图形填空．
①AD＝　AB　+　BC　+　CD　；
②BD＝　BC　+　CD　；
③BC＝AC﹣　AB　＝BD﹣　CD　；
④AB+CD＝AD﹣　BC　．
【思路点拨】根据图形和线段的和差填空即可．
【解析】解：①AD＝AB+BC+CD；
②BD＝BC+CD；
③BC＝AC﹣AB＝BD﹣CD；
④AB+CD＝AD﹣BC；
故答案为：①AB，BC，CD；②BC，CD；③AB，CD；④BC．
【点睛】本题考查线段的和差，解题的关键是能根据图形计算线段的和差．
16．如图所示：
（1）AC＝　AB　+　BC　；
（2）AC＝　AD　﹣　CD　；
（3）BC＝　AC　﹣　AB　；
（4）BC+CD＝　BD　；
（5）CD＝AD﹣　AC　；
（6）AC+BD﹣BC＝　AD　．
【思路点拨】根据图形和线段之间的关系填空即可．
【解析】解：（1）AC＝AB+BC；
（2）AC＝AD﹣CD；
（3）BC＝AC﹣AB；
（4）BC+CD＝BD；
（5）CD＝AD﹣AC；
（6）AC+BD﹣BC＝AD．
故答案为：（1）AB、BC；（2）AD、CD；（3）AC、AB；（4）BD；（5）AC；（6）AD．
【点睛】本题考查线段的和差，能够根据图形得到线段之间的关系是解题关键．
7. 如图，点C，D在线段AB上．若C是线段AB中点，CD＝AC，AB＝16，则BD长为 　6　．
【思路点拨】利用线段的中点的定义，线段的和差计算．
【解析】解：∵点C，D在线段AB上．C是线段AB中点，
∴AC＝CB＝AB，
∵CD＝AC，AB＝16，
∴BD＝AC＝AB＝×16＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了两点间的距离和线段的和差，解题的关键是掌握线段的中点的定义和线段的和差．
8. 如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．若点C是线段AB的巧点，则AC＝　6；8；4　cm．
【思路点拨】由线段的巧点的概念，分三种情况讨论，即可求出AC的长．
【解析】解：（1）当AB＝2AC时，C为AB中点，AC＝6cm；
（2）当AC＝2BC时，AC＝AB＝8cm；
（3）当BC＝2AC时，AC＝AB＝4cm．
故答案为：6；8；4cm．
【点睛】本题考查线段的新定义问题，关键是理解题目中的新概念“线段的巧点”．
9. 已知：线段a，b．
求作：线段AB，使AB＝a﹣2b．
【思路点拨】作射线AM，在射线AM上截取AC＝a，在线段CA上截取CB＝2b，线段AB即为所求．
【解析】解：如图线段AB即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
10.如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC：CB＝1：4，AC＝12cm．
（1）求AB的长；
（2）若F为CB的中点，求EF长．
【思路点拨】（1）由线段的和差倍分，线段的中点，方程解得AB的长20cm；
（2）由线段的中点，线段的和差计算出EF长为6cm．
【解析】解：如图所示：
（1）设EC的长为x，
∵EC：CB＝1：4，
∴BC＝4x，
又∵BE＝BC+CE，
∴BE＝5x，
又∵E为线段AB的中点，
∴AE＝BE＝，
∴AE＝5x，
又∵AC＝AE+EC，AC＝12cm，
∴6x＝12，
解得：x＝2，
∴AB＝10x＝20cm；
（2）∵F为线段CB的中点，
∴，
又∵EF＝EC+CF
∴EF＝3x＝6cm．
【点睛】本题综合考查了线段的和差倍分，线段的中点等知识点，重点掌握两点间距离计算方法．
11.已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：
（2）如图2，若BD＝AB＝CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
【思路点拨】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度为1cm；
（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为18cm．
【解析】解：（1）如图1所示：
∵AC＝AB+BC，AB＝6cm，BC＝4cm
∴AC＝6+4＝10cm
又∵D为线段AC的中点
∴DC＝AC＝×10＝5cm
∴DB＝DC﹣BC＝6﹣5＝1cm
（2）如图2所示：
设BD＝xcm
∵BD＝AB＝CD
∴AB＝4BD＝4xcm，CD＝3BD＝3xcm，
又∵DC＝DB+BC，
∴BC＝3x﹣x＝2x，
又∵AC＝AB+BC，
∴AC＝4x+2x＝6xcm，
∵E为线段AB的中点
∴BE＝AB＝×4x＝2xcm
又∵EC＝BE+BC，
∴EC＝2x+2x＝4xcm
又∵EC＝12cm
∴4x＝12，
解得：x＝3，
∴AC＝6x＝6×3＝18cm．
【点睛】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法．
能力提升
12. 如图，O是AC的中点，B是线段AC上任意一点，M是AB的中点，N是BC的中点，那么下列四个等式中，不成立的是（　　）
A．MN＝OC B．MO＝（AC﹣AB）
C．ON＝（AC﹣CB） D．MN＝（AC+OB）
【思路点拨】由中点的定义结合图形逐一判断每个选项；
【解析】解：∵O是AC的中点，M是AB的中点，N是BC的中点，
∴AO＝CO＝，AM＝BM＝AB，BN＝CN＝BC，
A、MN＝MB+BN＝（AB+BC）＝OC，故本选项不符合题意，
B．MO＝AO﹣AM＝AC﹣AB＝（AC﹣AB），故本选项不符合题意，
C．ON＝OC﹣NC＝AC﹣BC＝（AC﹣CB），故本选项不符合题意，
D．MN＝MB+BN＝AB+BC＝AC≠（AC+OB）＝AC+OB，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，结合图形列出等式适当变形即可．
13. 下列说法中，正确的是（　　）
A．若AC＝AB，则C是AB的中点
B．若AC＝BC，则C是AB的中点
C．若C在线段AB上，且AC＝BC，则C是AB的中点
D．若C在直线AB上，且AC＝AB，则C是线段AB的中点
【思路点拨】根据线段之间的关系判定点的位置有几种情况来解答．
【解析】解：A、若AC＝AB，则C是AB的中点，点C不在线段AB上时不成立，故A选项错误；
B、若AC＝BC，则C是AB的中点，在AB中垂线的点都满足AC＝BC，但只有一个是AB的中点，故B选项错误；
C、若C在线段AB上，且AC＝BC，则C是AB的中点，故C选项正确；
D、若C在直线AB上，且AC＝AB，则C是线段AB的中点，当C点在A点的左边时不成立，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解题的关键是根据线段之间的关系判定点的位置，可作图说明．
14. 如图，已知点C是线段AB上一点，点M，N分别是线段AC，BC的中点，则MN＝AB，小明对这个问题做了进一步的探究，并得出了相应的结论：
（1）若点C是线段AB延长线上一点，其余条件不变，则MN＝AB；
（2）若点C是线段AB反向延长线上一点，其余条件不变，则MN＝AB．
在上述结论中（　　）
A．（1）正确，（2）不正确 B．（1）不正确，（2）正确
C．（1）（2）都不正确 D．（1）（2）都正确
【思路点拨】（1）、（2）根据题意画出图形，再根据各线段之间的关系求解．
【解析】解：（1）如图1所示：
∵点M，N分别是线段AC，BC的中点，
∴AM＝MC，BN＝CN，
∴MN＝MC﹣NC＝（AC﹣BC）
＝（AB+BC﹣BC）
＝AB，故此结论正确；
（2）如图2所示：
∵点M，N分别是线段AC，BC的中点，
∴AM＝MC，BN＝CN，
∴MN＝CN﹣MC＝（BC﹣AC）＝（AB+AC﹣AC）＝AB，故此结论正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
15. 如图，点C在线段AB上，图中共有三条线段AC、BC和AB，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段AB的“2倍点”．
（1）线段的中点 　是　这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”）
（2）若AB＝18，点C是线段AB的“2倍点”，则AC的长为 　6或12或9　．
【思路点拨】（1）根据“2倍点”的定义即可求解；
（2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可．
【解析】解：（1）∵线段的长是线段中点分割的两条线段长度的2倍，
∴线段的中点是这条线段的“2倍点”；
故答案为：是；
（2）∵AB＝18，点C是线段AB的“2倍点”，
若C在中点的左边，则；
若C在中点的右边，则；
若点C在中点，则．
故AC的长度为6或12或9．
故答案为：6或12或9．
【点睛】本题考查线段的和差倍分．（1）能理清题意，并根据题意进行判断是解决此题的关键；（2）能分情况讨论是解决此题的关键．
16. 如图，已知线段a，b，c（a＞b）．求作：线段AB，使AB＝2c﹣b+a．
【思路点拨】首先画一条射线，接下来在射线上截取两条c，和一条a，此时还需截取一个“﹣b”；以线段2c+a的另一端点为圆心，在线段2c+a上截取一条线段长度为b，即可完成作图．
【解析】解：AB即为所求．
【点睛】本题是一道关于尺规作图的题目，解答本题的关键是熟练掌握利用尺规作图作一条线段等于已知线段．
17.如图，点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，且AB＝BC．
（1）若BC＝8，求DC的长；
（2）若DE＝6，求AC的长．
【思路点拨】（1）根据线段之间的和差关系及线段中点的性质求解即可；
（2）结合图形易得AC＝AB+BC＝BC+BC＝BC，再根据线段中点的性质推出DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，进而根据线段之间的和差关系求解即可．
【解析】解：（1）∵BC＝8，
∴AB＝BC＝×8＝6，
∴AC＝AB+BC＝6+8＝14，
∵点D是线段AC的中点，
∴DC＝DA＝AC＝×14＝7；
（2）∵AB＝BC，
∴AC＝AB+BC＝BC+BC＝BC，
∵点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，
∴DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，
∴DE＝DC﹣EC＝BC﹣BC＝BC＝6，
解得BC＝16，
∴AC＝×16＝28．
【点睛】本题考查两点间的距离及线段的和差，解题的关键是根据线段中点的性质得出DC＝DA＝AC＝×BC＝BC，EC＝BE＝BC，并且应充分运用数形结合的思想方法，寻找各线段之间的和差关系．
18. 如图所示，点C在线段AB上，AB＝30cm，AC＝12cm，点M，N分别是AB，BC的中点．
（1）求CN的长度；
（2）求MN的长度；
（3）若点P在直线AB上，且PA＝2cm，点Q为BP的中点，请直接写出QN的长度，不用说明理由．
【思路点拨】（1）利用线段的和差关系可得BC＝18cm，然后利用线段的中点定义进行计算，即可解答；
（2）利用线段的中点定义可得AM＝BM＝15cm，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答；
（3）分两种情况：当点P在线段AB上时；当点P在线段BA的延长线上时；然后分别进行计算即可解答．
【解析】解：（1）∵AB＝30cm，AC＝12cm，
∴BC＝AB﹣AC＝30﹣12＝18（cm），
∵点N是BC的中点，
∴CN＝BN＝BC＝9（cm），
∴CN的长为9cm；
（2）∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝AB＝15（cm），
∵BN＝9cm，
∴MN＝BM﹣BN＝15﹣9＝6（cm），
∴MN的长度为6cm；
（3）QN的长度为5cm或7cm，
理由：分两种情况：
当点P在线段AB上时，如图：
∵PA＝2cm，AB＝30cm，
∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2＝28（cm），
∵点Q为BP的中点，
∴QB＝BP＝14（cm），
∵BN＝9cm，
∴QN＝QB﹣BN＝5（cm）；
当点P在线段BA的延长线上时，如图：
∵PA＝2cm，AB＝30cm，
∴BP＝AB+AP＝30+2＝32（cm），
∵点Q为BP的中点，
∴QB＝BP＝16（cm），
∵BN＝9cm，
∴QN＝QB﹣BN＝7（cm）；
综上所述：QN的长度为5cm或7cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键．
19. 已知线段AB，反向延长线段AB到C，使BC＝AB，D为BC的中点，E为BD的中点．
（1）①补全图形；
②若AB＝4，则AE＝　　（直接写出结果）．
（2）若AE＝2，求AC的长．
【思路点拨】（1）由尺规作图画出符合题意的图，线段的中点，线段的和差倍分计算出AE的长为；
（2）由线段的中点，线段的和差倍分，方程计算出AC的长为8．
【解析】解：（1）依题意得：
①如图所示：
②∵AB＝4，BC＝AB，
∴BC＝10，
又∵D为BC的中点，
∴DB＝＝＝5，
又∵E为BD的中点，
∴BE＝＝＝，
又∵AE＝AB﹣BE，
∴AE＝4﹣＝，
故答案为；
（2）设BE＝x，则BD＝2x，BC＝4x，
∵BC＝AB，
∴4x＝，
解得：x＝，
又∵AD＝DE﹣AE
∴AD＝﹣2＝，
又∵AC＝AD+CD，
∴AC＝2×+＝8，
【点睛】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分，尺规作图等知识点，重点掌握两点间的距离计算方法．
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20. 如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CN．其中正确的结论是 　①②③　．
【思路点拨】由AD＝BM可得AM＝BD得出AD＝MD+BD，由中点的意义得出AD＝2BD，进一步得出AD+BD＝2BD+BD，从而可判断①正确；由AC＝BD可得AD＝BC，由中点的意义可得结论，从而判断②正确；由中点的意义可得AD＝2MD，BC＝2CN代入AC﹣BD＝AD﹣BC可判断③正确；由2MN＝2MC+2CN，MC＝MD﹣CD得2MN＝2（MD﹣CD）+2CN，代入可得2MN＝AB﹣CD故可判断④错误．
【解析】解：如图
∵AD＝BM，
∴AM＝BD
∴AD＝MD+BD，
∴，
∴AD＝2BD，
∴AD+BD＝2BD+BD，即AB＝3BD，故①正确；
∵AC＝BD，
∴AD＝BC，
∵M、N分别是线段AD、BC的中点，
∴，
∴AM＝BN，故②正确；
∵M、N分别是线段AD、BC的中点，
∴AD＝2MD，BC＝2CN
∵AC﹣BD＝AD﹣BC，
∴AC﹣BD＝2MD﹣2CN＝2（MC﹣DN），故③正确；
∵2MN＝2MC+2CN，MC＝MD﹣CD，
∴2MN＝2（MD﹣CD）+2CN，
∵，
∴，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题关键．
21. 已知A，B，C，D四点在同一直线上，线段AB＝8，点D在线段AB上．
（1）如图1，点C是线段AB的中点，，求线段AD的长度；
（2）若点C是直线AB上一点，且满足AC：BC＝4：1，BD＝2，求线段CD的长度．
【思路点拨】（1）由线段中点的定义可得AC＝BC＝4，再由求得CD＝1，于是AD＝AC+CD；
（2）分三种情况讨论：点C在线段AB上，分别求得BC，CD，则CD＝BD﹣BC；点C在点B的右侧，分别求得BC，CD，则CD＝BD+BC；点C在点A的左侧，此种情况不满足题意．
【解析】解：（1）∵AB＝8，点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC＝AB＝4，
又∵CD＝BD，CD+BD＝BC＝4，
∴CD＝1，
∴AD＝AC+CD＝5；
（2）①当点C在线段AB上时，如图，
∵AC：BC＝4：1，AB＝8，
∴BC＝，
∴CD＝BD﹣BC＝2﹣＝；
②当点C在点B的右侧时，如图，
∵AC：BC＝4：1，AB＝8，
∴，
∴BC＝，
∴CD＝BD+BC＝2+＝；
③当点C在点A的左侧时，此时，不存在符合题意的点C．
综上，线段CD的长度为或．
【点睛】本题主要考查线段中点的定义、两点间的距离，学会利用数形结合和分类讨论思想是解题关键．
22. 如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝5cm，则线段AB的长 　20　cm，线段MN的长 　10　cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝a，直接写出线段MN的长．
【思路点拨】（1）根据线段中点的定义得AB＝2AP，AP＝2MP，进而得出AB＝4MP，然后再根据MP＝5cm可得线段AB的长；根据线段中点的定义得AP＝BP，MP＝AP，NP＝BP，进而得MP＝NP，则MN＝MP+NP＝2MP，然后根据MP＝5cm可得出MN的长；
（2）根据线段中点的定义得MP＝AP，NP＝BP，进而得MP+NP＝（AP+BP）＝AB，然后根据MN＝MP+NP可得出MN＝AB，由此可得线段MN的长；
（3）由（2）即可得出线段MN的长．
【解析】解：（1）∵点P是线段AB的中点，
∴AB＝2AP，
∵点M是AP的中点，
∴AP＝2MP，
∴AB＝4MP，
又∵MP＝5cm，
∴AB＝20cm；
∵点P是线段AB的中点，
∴AP＝BP，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴MP＝AP，NP＝BP，
∴MP＝NP，
∴MN＝MP+NP＝2MP，
又∵MP＝5cm，
∴MN＝10cm；
故答案为：20，10．
（2）点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴MP＝AP，NP＝BP，
∴MP+NP＝（AP+BP）＝AB，
又∵MN＝MP+NP，AB＝12cm，
∴MN＝AB＝×12＝6（cm），
（3）∵点P是直线AB上的任意一点，
∴有以下三种情况，
①当点P在线段AB上时，由（2）可知：MN＝AB＝；
②点P在AB的延长线上时，如图1所示：
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴PM＝AP＝（AB+BP），PPN＝BP，
∴MN＝PM﹣PN＝（AB+BP）﹣BP＝AB＝；
③当点P在BA的延长线上时，如图2所示：
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴PM＝AP，NP＝BP＝（AB+AP），
∴MN＝NP﹣PM＝（AB+AP）﹣AP＝AB＝．
综上所述：点P是直线AB上的任意一点，线段MN＝．
【点睛】此题主要考查了线段中点的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握线段中点的定义是解决问题的关键．
23.已知：如图，M是线段AB上一定点，C，D两点分别从M，B出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向A，M运动，运动方向如箭头所示．
（1）若AB＝10cm，当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值．
（2）若点C，D运动时，总有MD＝3AC，则AM＝　　AB．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【思路点拨】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；
（2）根据图形即可直接解答；
（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．
【解析】解：（1）当点C、D运动了2s时，CM＝2cm，BD＝6cm，
∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝6cm，
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣6＝2（cm）．
（2）设运动时间为t，
则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，
∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，
即BM＝3AM，
∵BM＝AB﹣AM
∴AB﹣AM＝3AM，
∴AM＝AB，
故答案为：．
（3）当点N在线段AB上时，如图：
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝AB，
∴MN＝AB，即＝．
当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB，
∴MN＝AB，即＝1．
综上所述＝或1．
【点睛】本题考查求线段的长短的知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答．
24．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，求MN的长；
（2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？
（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，MN＝7cm；
（2）由题意，得：AM＝t cm，MC＝（6﹣t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t＝2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t＝2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t＝；
（3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．
【解析】解：（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，
∴MC＝AC﹣AM＝6﹣1＝5（cm），
∴MN＝MC+CN＝5+2＝7（cm）；
（2）由题意，得：AM＝t cm，MC＝（6﹣t）cm，
∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，
∴0≤t≤6，
①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2t cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC＝CN，即6﹣t＝2t，
解得：t＝2；
②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN＝（2t﹣4）cm，CN＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC＝CN，即6﹣t＝8﹣2t，
解得：t＝2（舍去）；
③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC＝CN，即6﹣t＝2t﹣8，
解得：t＝；
综上所述，当t＝2或时，点C为线段MN的中点.
（3）如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2t cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP＝CN＝t cm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+t＝6cm，此时，PM的长度保持不变；
②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN＝（8﹣2t）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP＝CN＝（8﹣2t）＝（4﹣t） cm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（4﹣t）＝（10﹣2t）cm，此时，PM的长度变化；
③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP＝CN＝（2t﹣8）＝（t﹣4）cm，
∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（t﹣4）＝2cm，此时，PM的长度保持不变；
综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键．
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