6.8余角和补角-2023-2024学年浙教版七年级上 同步分层作业(含解析)

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6.8余角和补角 同步分层作业
基础过关
1. 已知∠1＝50°，则∠1的补角的度数是（　　）
A．130° B．140° C．40° D．60°
2. 已知∠α的余角为35°，则∠α的补角度数是（　　）
A．145° B．125° C．55° D．35°
3. ∠A的补角为125°12′，则它的余角为（　　）
A．54°18′ B．35°12′ C．35°48′ D．以上都不对
4. 下列推理错误的是（　　）
A．因为∠1+∠2＝90°，所以∠1＝∠2＝45°
B．因为∠1＝∠2，∠2＝∠3，所以∠1＝∠3
C．因为∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3，所以∠2+∠3＝180°
D．因为∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠3
5. 38°41'的角的余角等于 　 　．
123°59′的角的补角等于 　 　．
80°32'15″+90°27'45″＝　 　．
6. 如果∠A＝30°，则∠A的余角是　　度；如果∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，那么∠2与∠3的大小关系是　 　．
7.已知一个角的补角比这个角的余角3倍大10°，则这个角的度数是　　度．
8. 已知∠1＝100°，若∠2与∠1互补，∠3与∠2互余，则∠3＝　　°．
9. 如图，已知AOB是一条直线，∠1＝∠2，∠3＝∠4，OF⊥AB．则
（1）∠AOC的补角是　　；
（2）　 　是∠AOC的余角；
（3）∠DOC的余角是　 　；
（4）∠COF的补角是　 　．
10. 如图，已知∠α．
（1）试画出∠α的一个余角（用∠1表示）和∠α的一个补角（用∠2表示）
（2）若∠α＝32°33′，则∠1＝　 　°；∠2＝　 　°．
11. 如图所示，∠AOC和∠BOD都是直角．
（1）填空：图中与∠BOC互余的角有　 　和　 　；
（2）∠AOD与∠BOC互补吗？为什么？
12.按要求解答下列各题．
（1）一个角的余角比它的补角的大1°，求这个角的度数；
（2）一个角的余角比这个角的补角的还小10°，求这个角的余角及这个角的补角．
能力提升
13. 若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，则∠2﹣∠3的值为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．无法确定
14. 下列结论：①互补且相等的两个角都是45°；②同角的余角相等；③若∠1+∠2+∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大80°．其中正确的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15. 如图，点O是直线AB上的一点，∠AOC＝∠DOE＝90°，∠AOD＜∠COD，OC平分∠DOF，图中互余的角有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
16. 如图，F是直线AE上一点，∠AFC＝90°，点B在∠AFC内部运动，点B、C、D均在AE同侧，∠BFD＝90°，则图中互补的角有　　对．
17. 如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④（∠α﹣∠β）；⑤（∠α+∠β）．正确的是：　　．
18. 设∠α、∠β的度数分别为（2n+35）°和（n﹣5）°，且∠α与∠γ互补，∠β与∠γ互余．
（1）求n的值；
（2）∠α与∠β能否互补，请说明理由．
19. 如图∠AOB＝120°，OF平分∠AOB，2∠1＝∠2．
（1）判断∠1与∠2互余吗？试说明理由．
（2）∠2与∠AOB互补吗？试说明理由．
20.阅读下面的证明过程，在括号内填写适当的理由，并在横线上说明其中的因果关系．
（1）已知：如图，∠1与∠2、∠1与∠3互为补角．
求证：∠2＝∠3．
证明：因为∠1与∠2互为补角（　 　），
所以∠1+∠2＝180°（　 　），
即∠2＝180°﹣∠1，
（上面为第一段）
同理∠3＝180°﹣∠1，
（上面为第二段），
所以∠2＝∠3（　 　）．
（上面为第三段）．
第一段中：因：　 　；果：　 　．
第二段中：因：　 　；果：　 　．
第三段中：因：　 　；果：　 　．
21.如图．点O是直线AB上一点，∠AOE是直角，∠FOD＝90°，OB平分∠DOC．
（1）求∠DOE所有互为余角的角；
（2）求与∠DOE所有互为补角的角；
（2）若∠AOF＝70°，求∠DOC的度数．
22.根据补角和余角的定义，可知10°角的补角为170°，余角为80°；15°角的补角为165°，余角为75°；32°补角为148°，余角为58°，40°角的补角为140°，余角为50°…观察以上几组数据，你能得出怎样的结论？请用任意角代替题中的10°，15°，32°，40°来说明你的结论？
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23. 已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的度数为（　　）
A．180° B．90° C．45° D．无法确定
24. 如果∠α和∠β互余，则下列式子中表示∠β补角的是（　　）
①180°﹣∠β； ②∠β+2∠α； ③2∠β+∠α； ④∠α+90°．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
25. 如图，直线AB、CD相交于点O，OF平分∠COD，∠AOE比∠EOD大30°，∠EOD比∠BOD大30°
（1）求∠AOE的度数；
（2）写出图中所有的直角；
（3）写出∠BOD所有的余角；
（4）写出∠BOD所有的补角．
26. 如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O，OE⊥OD于点O，直接指出图中所有互为垂角的角；
（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；
（3）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝75°，将整个图形绕点O逆时针旋转n（0＜n＜90°），直线AB旋转到A′B′，OC旋转到OC′，作射线OP，使∠BOP＝∠BOB′，求：当n为何值时，∠POA′与∠AOC′互为垂角．
答案与解析
基础过关
1. 已知∠1＝50°，则∠1的补角的度数是（　　）
A．130° B．140° C．40° D．60°
【思路点拨】根据互为补角的两角之和为180°，可得出∠1的补角度数．
【解析】解：∠1的补角＝180°﹣∠1＝130°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查补角，属于基础题，关键是掌握互为补角的两角之和为180°．
2. 已知∠α的余角为35°，则∠α的补角度数是（　　）
A．145° B．125° C．55° D．35°
【思路点拨】根据余角的定义得出∠α＝90°﹣35°＝55°，再由补角的定义即可求出答案．
【解析】解：∵∠α的余角为35°，
∴∠α＝90°﹣35°＝55°，
∴∠α的补角＝180°﹣∠α
＝180°﹣55°
＝125°．
故选：B．
【点睛】本题考查余角和补角的计算，掌握余角和补角的定义是解题关键．
3. ∠A的补角为125°12′，则它的余角为（　　）
A．54°18′ B．35°12′ C．35°48′ D．以上都不对
【思路点拨】两角互补和为180°，互余和为90°，先求出∠A，再用90°﹣∠A即可解出本题．
【解析】解：∵∠A＝180°﹣125°12′，
∴∠A的余角为90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣125°12′）＝125°12′﹣90°＝35°12′．
故选：B．
【点睛】此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°．
4. 下列推理错误的是（　　）
A．因为∠1+∠2＝90°，所以∠1＝∠2＝45°
B．因为∠1＝∠2，∠2＝∠3，所以∠1＝∠3
C．因为∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3，所以∠2+∠3＝180°
D．因为∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠3
【思路点拨】根据余角、补角的性质，利用等量代换思想逐项分析即可得出答案．
【解析】解：∠1与∠2不一定相等，根据∠1+∠2＝90°，不能推出∠1＝∠2＝45°，故A选项推理错误，符合题意；
∠1＝∠2，∠2＝∠3，通过等量代换可得∠1＝∠3，故B选项推理正确，不合题意；
∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3，通过等量代换可得∠2+∠3＝180°，故C选项推理正确，不合题意；
∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，根据等角的余角相等可得∠1＝∠3，故D选项推理正确，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查余角、补角，掌握等量代换思想是解题的关键．
5. 38°41'的角的余角等于 　51°19'　．
123°59′的角的补角等于 　56°1'　．
80°32'15″+90°27'45″＝　171°　．
【思路点拨】分别根据余角、补角和度分秒的计算法则计算即可．
【解析】解：38°41'的角的余角等于90°﹣38°41'＝51°19'；
123°59′的角的补角等于180°﹣123°59'＝56°1'；
80°32'15″+90°27'45″＝171°．
故答案为：51°19'；56°1'；171°．
【点睛】此题考查余角和补角、度分秒的换算，关键是根据1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″解答．
6. 如果∠A＝30°，则∠A的余角是　60　度；如果∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，那么∠2与∠3的大小关系是　相等（或∠2＝∠3）　．
【思路点拨】根据余角的定义以及余角的性质进行计算和判断即可．
【解析】解：∵∠A＝30°，
∠A的余角＝90°﹣30°＝60°；
∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3．
故答案为：60，相等．
【点睛】本题考查了余角和补角．注意同角的余角相等．
7.已知一个角的补角比这个角的余角3倍大10°，则这个角的度数是　50　度．
【思路点拨】相加等于90°的两角称作互为余角，也作两角互余．和是180°的两角互为补角，本题实际说明了一个相等关系，因而可以转化为方程来解决．
【解析】解：设这个角是x°，
则余角是（90﹣x）度，补角是（180﹣x）度，
根据题意得：180﹣x＝3（90﹣x）+10
解得x＝50．
故填50．
【点睛】题目反映了相等关系问题，就可以利用方程来解决．
8. 已知∠1＝100°，若∠2与∠1互补，∠3与∠2互余，则∠3＝　10　°．
【思路点拨】根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，求解即可．
【解析】解：∵∠1＝100°，∠2与∠1互补，
∴∠2+∠1＝180°，
∴∠2＝80°，
∵∠3与∠2互余，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝10°，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°是解答本题的关键．
9. 如图，已知AOB是一条直线，∠1＝∠2，∠3＝∠4，OF⊥AB．则
（1）∠AOC的补角是　∠COB　；
（2）　∠3、∠4　是∠AOC的余角；
（3）∠DOC的余角是　∠DOF　；
（4）∠COF的补角是　∠AOE　．
【思路点拨】根据已知条件，以及补角、余角的定义来求．
【解析】解：根据题意和图示可知：
（1）∠AOC+∠BOC＝180°，应填∠COB；
（2）∠3＝∠4，∠AOC+∠3＝90°，应填∠3、∠4；
（3）∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，OF⊥AB，
∴∠DOC+∠1+∠3＝∠DOC+∠DOF＝90°，应填∠DOF；
（4）∵∠COF+∠1+∠2+∠EOF+∠4＝180°，
∴∠COF+∠AOE＝180°，应填∠AOE．
【点睛】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果，判断角与角之间的关系．
10. 如图，已知∠α．
（1）试画出∠α的一个余角（用∠1表示）和∠α的一个补角（用∠2表示）
（2）若∠α＝32°33′，则∠1＝　57.45　°；∠2＝　147.45　°．
【思路点拨】（1）根据互余、互补角的定义画出即可；
（2）∠A的余角为90°﹣∠A，∠A的补角是180°﹣∠A，代入求出即可．
【解析】解：（1）如图1，图2所示：
（2）∵∠α＝32°33′，
∴∠1＝90°﹣32°33′＝57°27′＝57.45°；
∠2＝180°﹣32°33′＝147.45°；
故答案为：57.45，147.45．
【点睛】本题考查了互余，互补的定义的应用，注意：∠A的余角为90°﹣∠A，∠A的补角是180°﹣∠A．
11. 如图所示，∠AOC和∠BOD都是直角．
（1）填空：图中与∠BOC互余的角有　∠AOB　和　∠COD　；
（2）∠AOD与∠BOC互补吗？为什么？
【思路点拨】（1）根据∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，解答即可；
（2）求出∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOD，代入求出即可．
【解析】解：（1）因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，
所以∠BOC与∠AOB互余，∠BOC与∠COD互余，
所以图中与∠BOC互余的角有∠AOB和∠COD；
（2）∠AOD与∠BOC互补，理由如下：
因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，
又因为∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD，
所以∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC＝180°，
所以∠AOD与∠BOC互补．
故答案为：∠AOB，∠COD
【点睛】本题考查了角的有关计算．解题的关键是明确角的有关计算方法，以及能够根据图形进行计算，题目比较好，难度适中．
12.按要求解答下列各题．
（1）一个角的余角比它的补角的大1°，求这个角的度数；
（2）一个角的余角比这个角的补角的还小10°，求这个角的余角及这个角的补角．
【思路点拨】（1）设这个角的度数为x，则这个角的余角为90﹣x，补角为180﹣x，根据余角比它的补角的大1°列方程解决问题；
（2）设这个角的度数为x，则这个角的余角为90﹣x，补角为180﹣x，根据余角比这个角的补角的还小10°，列方程求得这个角，再进一步解决问题．
【解析】解：（1）设这个角的度数为x，则这个角的余角为90﹣x，补角为180﹣x，由题意得，
90﹣x＝×（180﹣x）+1
解得x＝63；
答：这个角的度数为63°．
（2）设这个角的度数为x，则这个角的余角为90﹣x，补角为180﹣x，由题意得，
90﹣x＝×（180﹣x）﹣10
解得x＝60，
则90﹣x＝30，180﹣x＝120；
答：这个角的余角30°，这个角的补角120°．
【点睛】此题考查余角和补角的意义，注意题目蕴含的数量关系，正确列方程解答即可．
能力提升
13. 若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，则∠2﹣∠3的值为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．无法确定
【思路点拨】根据∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，可得∠1+∠2＝180°①，∠1+∠3＝90°②，通过求差，可得∠2与∠3的关系．
【解析】解：∵∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，
∴∠1+∠2＝180°①，∠1+∠3＝90°②，
∴①﹣②得，∠2﹣∠3＝180°﹣90°＝90°．
故选：C．
【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行恒等变形，是寻找关系的一般方法．
14. 下列结论：①互补且相等的两个角都是45°；②同角的余角相等；③若∠1+∠2+∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大80°．其中正确的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】根据余角和补角的有关概念，逐一判断即可．
【解析】解：①互补且相等的两个角都是90°，原说法错误，不符合题意；
②同角的余角相等，原说法正确，符合题意；
③根据余角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，得出互为补角是指两个角之间的关系，原说法错误，不符合题意；
④锐角的补角是钝角，原说法正确，符合题意；
⑤锐角的补角比其余角大90°，原说法错误，不符合题意；
综上分析可知，正确的有2个，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角、补角的定义和性质，以及角的计算，掌握这些概念，并熟练应用，是解答这类题目的关键．
15. 如图，点O是直线AB上的一点，∠AOC＝∠DOE＝90°，∠AOD＜∠COD，OC平分∠DOF，图中互余的角有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【思路点拨】直接根据余角的定义进行判断即可．
【解析】解：∵∠DOE＝90°，
∴∠AOD与∠AOE互余①．
∵∠AOC＝90°，
∴∠COD与∠AOD互余②．
∴∠COD＝∠AOE．
∵点O是直线AB上一点，且∠AOC＝90°．
∴∠BOC＝90°．
∴∠COF与∠BOF互余③．
∵OC平分∠DOF，
∴∠COD＝∠COF．
∴∠COD与∠BOF互余④．
∠COF与∠AOD互余⑤．
∠BOF与∠AOE互余⑥．
故选：D．
【点睛】本题考查了余角的定义，正确理解余角的定义是解题的关键．
16. 如图，F是直线AE上一点，∠AFC＝90°，点B在∠AFC内部运动，点B、C、D均在AE同侧，∠BFD＝90°，则图中互补的角有　7　对．
【思路点拨】依据补角的定义和直角的定义回答即可．
【解析】解：互补的角有：∠AFB与∠BFE、∠CFD与∠BFE、∠AFC与∠CFE、∠AFC与∠BFD、∠CFE与∠BFD、∠DFE与∠AFD、∠BFC与∠AFD，有7对．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查的是余角和补角的定义，掌握余角和补角的定义是解题的关键．
17. 如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④（∠α﹣∠β）；⑤（∠α+∠β）．正确的是：　①②④　．
【思路点拨】根据∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，求出∠β的余角是90°﹣∠β，90°﹣∠β表示∠β的余角；∠α﹣90°＝90°﹣∠β，即可判断②；180°﹣∠α＝∠β，根据余角的定义即可判断③；求出（∠α﹣∠β）＝90°﹣∠β，即可判断④．
【解析】解：∵∠α与∠β互补，
∴∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，
∴90°﹣∠β表示∠β的余角，∴①正确；
∠α﹣90°＝180°﹣∠β﹣90°＝90°﹣∠β，∴②正确；
180°﹣∠α＝∠β，∴③错误；
（∠α﹣∠β）＝（180°﹣∠β﹣∠β）＝90°﹣∠β，∴④正确
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β；∠β的余角是90°﹣∠β，题目较好．
18. 设∠α、∠β的度数分别为（2n+35）°和（n﹣5）°，且∠α与∠γ互补，∠β与∠γ互余．
（1）求n的值；
（2）∠α与∠β能否互补，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据补角和余角的定义，列解方程解得即可；
（2）根据补角的定义，可得答案．
【解析】解：（1）由∠α与∠γ互补，∠β与∠γ互余得
∠α+∠γ＝180°，∠β+∠γ＝90°，
所以∠γ＝180°﹣∠α，∠γ＝90°﹣∠β，
所以180°﹣∠α＝90°﹣∠β，
因为∠α、∠β的度数分别为（2n+35）°和（n﹣5）°，
所以180﹣（2n+35）＝90﹣（n﹣5），
解得n＝50；
（2）∠α与∠β互补，理由如下：
∠α＝（2n+35）°＝135°，∠β＝（n﹣5）°＝45°，
∵∠α+∠β＝180°，
∴∠α与∠β互为补角．
【点睛】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义和性质是解题的关键．
19. 如图∠AOB＝120°，OF平分∠AOB，2∠1＝∠2．
（1）判断∠1与∠2互余吗？试说明理由．
（2）∠2与∠AOB互补吗？试说明理由．
【思路点拨】（1）由角平分线的定义可求解∠2的度数，结合2∠1＝∠2可求解∠1的度数，利用余角的定义可求解；
（2）通过计算∠2+∠AOB＝180°，可说明∠2与∠AOB互补．
【解析】解：（1）∠1与∠2互余．
∵∠AOB＝120°，OF平分∠AOB，
∴∠2＝∠AOB＝60°，
∵2∠1＝∠2，
∴∠1＝30°，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠1与∠2互余；
（2）∠2与∠AOB互补．
∵∠2+∠AOB＝60°+120°＝180°，
∴∠2与∠AOB互补．
【点睛】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，掌握余角和补角的定义是解题的关键．
20.阅读下面的证明过程，在括号内填写适当的理由，并在横线上说明其中的因果关系．
（1）已知：如图，∠1与∠2、∠1与∠3互为补角．
求证：∠2＝∠3．
证明：因为∠1与∠2互为补角（　已知　），
所以∠1+∠2＝180°（　邻补角的定义　），
即∠2＝180°﹣∠1，
（上面为第一段）
同理∠3＝180°﹣∠1，
（上面为第二段），
所以∠2＝∠3（　等量代换　）．
（上面为第三段）．
第一段中：因：　∠1与∠2互为补角　；果：　∠1+∠2＝180°　．
第二段中：因：　∠1+∠2＝180°　；果：　∠1+∠3＝180°　．
第三段中：因：　∠1+∠2＝180°，∠1+∠2＝180°　；果：　∠2＝∠3　．
【思路点拨】根据余角和补角的概念、等量代换进行解答即可．
【解析】证明：因为∠1与∠2互为补角（已知），
所以∠1+∠2＝180°（邻补角的定义），
即∠2＝180°﹣∠1，
（上面为第一段）
同理∠3＝180°﹣∠1，
（上面为第二段），
所以∠2＝∠3（等量代换）．
（上面为第三段）．
第一段中：因：∠1+∠2＝180°；果：∠2＝180°﹣∠1．
第二段中：因：∠1+∠3＝180°；果：∠3＝180°﹣∠1．
第三段中：因：∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°；果：∠2＝∠3．
【点睛】本题考查的是余角和补角的概念，掌握两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补是解题的关键．
21.如图．点O是直线AB上一点，∠AOE是直角，∠FOD＝90°，OB平分∠DOC．
（1）求∠DOE所有互为余角的角；
（2）求与∠DOE所有互为补角的角；
（2）若∠AOF＝70°，求∠DOC的度数．
【思路点拨】（1）由∠AOE＝90°，可得∠BOE＝90°，则∠DOE+∠BOD＝90°，要求与∠DOE互余的角，只要找到与∠BOD相等的角即可，即∠BOC，∠EOF；
（2）根据同角的补角相等，可得∠DOE＝∠AOF，则∠DOE的补角与∠AOF的补角相等，即∠DOE互补的角：∠BOF、∠EOC；
（3）根据∠AOF＝70°，得出∠DOE＝70°，进而得出∠DOB＝20°，再利用角平分线的定义解答即可．
【解析】解：（1）∵∠AOE＝∠FOD＝90°，
∴∠AOF+∠EOF＝90°，∠BOD+∠DOE＝90°，∠DOE+∠EOF＝90°，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOD＝∠BOC，
∴∠DOE互余的是∠EOF、∠BOD、∠BOC；
（2）∵∠AOF+∠BOF＝180°，∠DOE+∠BOF＝180°，
∴与∠DOE互补的角是∠BOF、∠EOC；
（3）∵∠AOF＝70°，
∴∠DOE＝70°，
∴∠DOB＝20°，
∵OB平分∠DOC，
∴∠DOC＝40°．
【点睛】本题考查了补角和余角的定义，关键是根据同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等进行解答．
22.根据补角和余角的定义，可知10°角的补角为170°，余角为80°；15°角的补角为165°，余角为75°；32°补角为148°，余角为58°，40°角的补角为140°，余角为50°…观察以上几组数据，你能得出怎样的结论？请用任意角代替题中的10°，15°，32°，40°来说明你的结论？
【思路点拨】发现：每一个角的补角比余角的差大90°，用α表示任意角：表示其余角和补角，相减即可．
【解析】解：观察发现：每一个角的补角比余角的差都是90°，
设任意角为α，则α的余角为90°﹣α，α的补角为180°﹣α，
180°﹣α﹣（90°﹣α）＝180°﹣α﹣90°+α＝90°，
所以结论成立，即每一个角的补角比余角的差都是90°．
【点睛】本题考查了余角和补角，解题的关键是明确余角和补角的特征．
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23. 已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的度数为（　　）
A．180° B．90° C．45° D．无法确定
【思路点拨】由补角和余角的概念可得∠β＝180°﹣∠α，∠γ＝90°﹣∠α，进一步求解即可．
【解析】解：∵∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，
∴∠α+∠β＝180°，∠α+∠γ＝90°，
∴∠β＝180°﹣∠α，∠γ＝90°﹣∠α，
∴∠β﹣∠γ＝180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，
故选：B．
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，属于基础题目，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
24. 如果∠α和∠β互余，则下列式子中表示∠β补角的是（　　）
①180°﹣∠β； ②∠β+2∠α； ③2∠β+∠α； ④∠α+90°．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【思路点拨】由题意可知∠α+∠β＝90°，再验证下面的式子加∠β是否等于180°即可．
【解析】解：①180°﹣∠β+∠β＝180°，故正确，
②∠β+2∠α+∠β＝2（∠α+∠β）＝2×90°＝180°，故正确，
③2∠β+∠α+∠β＝2∠β+90°，∠β不确定，故不合题意，
④∠α+90°+∠β＝180°，故正确，
∴表示∠β补角的有①②④，
故选：C．
【点睛】本题考查补角的定义，熟练掌握补角的定义是解题关键．
25. 如图，直线AB、CD相交于点O，OF平分∠COD，∠AOE比∠EOD大30°，∠EOD比∠BOD大30°
（1）求∠AOE的度数；
（2）写出图中所有的直角；
（3）写出∠BOD所有的余角；
（4）写出∠BOD所有的补角．
【思路点拨】（1）根据角平分线和平角的定义可得∠COF＝∠DOF＝90°，再根据∠AOE比∠EOD大30°，∠EOD比∠BOD大30°，设未知数，列方程可求出∠BOD，进而求出∠EOD，∠AOE即可；
（2）根据（1）中的结论可得答案；
（3）根据互余的定义结合图形中角的和差关系可得答案；
（4）根据互补的定义结合图形中角的和差关系得出答案．
【解析】解：（1）∵OF平分∠COD，∠COD＝180°，
∴∠COF＝∠DOF＝∠COD＝90°，
设∠BOD＝x°，
由于∠EOD比∠BOD大30°，∠AOE比∠EOD大30°，
因此∠EOD＝（x+30）°，∠AOE＝（x+60）°，
又∵∠AOB＝180°，
∴x+（x+30）+（x+60）＝180，
解得x＝30，
即∠BOD＝30°，
∴∠EOD＝60°，∠AOE＝90°；
（2）由（1）可得，
∠AOE＝90°＝∠BOE，∠COF＝∠DOF＝90°，
即图中的直角有∠AOE，∠BOE，∠COF，∠DOF；
（3）∵∠BOD+∠EOD＝∠BOE＝90°，∠BOD+∠BOF＝∠DOF＝90°，
∴∠BOD的余角有∠EOD，∠BOF；
（4）∵∠BOD+∠AOD＝∠AOB＝180°，
∠BOD+∠BOC＝∠COD＝180°，
∠BOD+∠EOF＝2∠DOF＝180°，
∴∠BOD的补角有∠AOD，∠BOC，∠EOF．
【点睛】本题考查相交线与平行线，理解互为余角、互为补角的定义是解决问题的前提，掌握图形中角的和差关系是正确解答的关键．
26. 如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O，OE⊥OD于点O，直接指出图中所有互为垂角的角；
（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；
（3）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝75°，将整个图形绕点O逆时针旋转n（0＜n＜90°），直线AB旋转到A′B′，OC旋转到OC′，作射线OP，使∠BOP＝∠BOB′，求：当n为何值时，∠POA′与∠AOC′互为垂角．
【思路点拨】（1）根据互为垂角的定义即可求解；
（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的”作为相等关系列方程求解；
（3）分0＜n＜75，75＜n＜90两种情况讨论可得n的值．
【解析】解：（1）互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；
（2）设这个角的度数为x度，则
①当0＜x＜90时，它的垂角是90+x度，依题意有
90+x＝（180﹣x），
解得x＝18；
②当90＜x＜180时，它的垂角是x﹣90度，依题意有
x﹣90＝（180﹣x），
解得x＝126；
故这个角的度数为18或126度；
（3）当n＝75时OC′和OA重合，分两种情况：
①当0＜n＜75时，∠COC′＝n°，∠AOC′＝75°﹣n°，
∠POB＝∠BOB′＝n°，
∠A′OP＝180°﹣（∠POB+∠BOB′）＝180°﹣2n°，
∵∠A′OP﹣∠AOC′＝90°，
∴|（180﹣2n）﹣（75﹣n）|＝90，
∵0＜n＜75，
∴n＝15；
②当75＜n＜90时，∠AOC′＝n°﹣75°，
∠POB＝∠BOB′＝n°，
∠A′OP＝180°﹣（∠POB+∠BOB′）＝180°﹣2n°，
∵∠A′OP﹣∠AOC′＝90°，
∴|（180﹣2n）﹣（n﹣75）|＝90，
解得n＝55或115，
∵75＜n＜90，
∴n＝55或115舍去．
综上所述；n＝15时，∠POA′与∠AOC′互为垂角．
【点睛】主要考查了互为垂角和补角的概念以及运用．互为垂角的两个角的差的绝对值等于90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．
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