6.9直线的相交-2023-2024学年浙教版七年级上 同步分层作业(含解析)

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6.9直线的相交 同步分层作业
基础过关
1. 如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B． C． D．
2. 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（　　）
A． B． C． D．
3. 如图，直线AB经过点O，若OC⊥OD，则图中∠1与∠2的关系是（　　）
A．对顶角 B．互为余角 C．互为邻补角 D．互为补角
4. 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（　　）
A．66° B．76° C．90° D．144°
5. 如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．360° B．180° C．120° D．90°
6. 如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOD+∠BOC＝236°，则∠AOC＝（　　）
A．72° B．62° C．124° D．144°
7. 如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（　　）
①线段BP的长度是点P到直线l的距离；②线段AP是A点到直线PC的距离；③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长度是点P到直线l的距离
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
8. 如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O．若∠BOE＝125°，则∠AOC的度数为（　　）
A．125° B．65° C．55° D．35°
9. 如图，直线a，b相交，则∠1＝∠2，其中的依据是 　　．
10.如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2＝60°，则∠2＝　　度．
11.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠AOC＝52°24′，则∠EOD的度数等于 　　．
12.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
（1）直接写出∠AOC的对顶角和邻补角；
（2）若∠AOC：∠COE＝3：1，求∠AOD的度数．
能力提升
13. 如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则点C到直线AB的距离是（　　）
A．线段AC的长度 B．线段CB的长度 C．线段AD的长度 D．线段CD的长度
14. 下列说法中，不正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于这个角 B．同角的余角相等
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
15. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOC，若OF⊥OB，且∠EOF＝110°，则∠DOF＝　　．
16. 已知∠A与∠B的两边互相垂直，且2∠A﹣∠B＝30°，则∠A的度数为 　 　．
17. 如图1，直线AB和CD交于点O，射线OE满足∠DOB＝∠BOE．
（1）若∠AOD＝130°，求∠COE的度数；
（2）如图2，射线OF⊥OE，若∠COE＝70°，求∠AOF的度数．
18. 如图，直线AB，CD交于点O，已知OF⊥CD，∠COE＝2∠AOC．
（1）若∠BOD＝28°，求∠COE的度数；
（2）若∠BOF＝60°，判断OE与AB的位置关系，并说明理由．
19. 已知：如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD于O．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，请你过点O画直线OF⊥AB（点F与O不重合），求出∠EOF的度数．
培优拔尖
20．平面内互不重合的三条直线的交点个数是（　　）
A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，3
21. 2023年无锡市中考体育考试评分标准中，女生立定跳远满分成绩是1.9m，小芳跳出了2.1m，记为+0.2m；若小敏的成绩记为﹣0.3m，则小敏跳远的成绩是 　　m．
22. 如图所示中有两条直线l1，l2，l1，l2上分别有点A、点B，A与B两点之间长度为30cm，图①、②、③中三处的30cm各有什么不同？
23. 如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）①图中与∠AOC互余的角是 　 　；
②与∠COE互补的角是 　 　．（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC＝30°，求∠E0F和∠EOD的度数．
解：（2）因为OE⊥AB，
所以∠AOC+　 　＝90°．
因为OF⊥CD，
∠AOC+　 　＝90°．
因为∠AOC＝30°，
所以∠EOC＝∠AOF＝　 　，
所以∠EOF＝　 　．
因为OE⊥AB，
所以∠EOB＝　 　．
因为∠AOC＝　 　（对顶角相等），
又∠AOC＝30°，
所以∠BOD＝　 　，
所以∠EOD＝　 　．
24．综合与实践
如图1，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝72°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝4：5．
（1）求∠EOD的度数．
（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．
（3）如图2，过点O在∠BOC内作射线OG，使∠BOG：∠COG＝4：5，将条件“∠AOC＝72°”改为“∠AOC＝a°”，其余条件不变，问∠EOG是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
答案与解析
基础过关
1. 如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据对顶角的定义判断即可．
【解析】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠2符合对顶角的定义，是对顶角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2不是由两条直线相交构成的角，不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、∠1与∠2不是由两条直线相交构成的角，不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了对顶角，熟记对顶角的定义是解题的关键．对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
2. 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据过直线外一点作已知直线的垂线做法及三角板的特征直接可得．
【解析】解：∵三角板有一个角是直角．
∴三角板的一条直角边与直线AB重合．
∵过点P作直线AB的垂线．
∴三角板的另一条直角边过点P．
∴符合上述条件的图形只有选项C．
故选：C．
【点睛】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线，熟记其做法是解题的关键．
3. 如图，直线AB经过点O，若OC⊥OD，则图中∠1与∠2的关系是（　　）
A．对顶角 B．互为余角 C．互为邻补角 D．互为补角
【思路点拨】根据OC⊥OD得到∠COD＝90°，进而得到∠1+∠2＝90°，根据互为余角的定义即可得解．
【解析】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1与∠2的关系是互为余角．
故选：B．
【点睛】本题考查了互为余角的定义，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键．
4. 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（　　）
A．66° B．76° C．90° D．144°
【思路点拨】根据条件∠AOE＝2∠AOC、对顶角相等和补角的定义可得答案．
【解析】解：如图，∠1＝∠AOC＝38°．
∵∠AOE＝2∠AOC，
∴∠AOE＝76°．
∴∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠AOE＝180°﹣38°﹣76°＝66°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了邻补角和对顶角，关键是掌握对顶角相等．
5. 如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．360° B．180° C．120° D．90°
【思路点拨】利用对顶角相等，可知∠1+∠2+∠3的和是360°的一半．
【解析】解：因为对顶角相等，所以∠1+∠2+∠3＝×360°＝180°．
故选：B．
【点睛】本题考查对顶角的性质，是一个需要熟记的内容．
6. 如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOD+∠BOC＝236°，则∠AOC＝（　　）
A．72° B．62° C．124° D．144°
【思路点拨】由两直线相交，对顶角相等，可得∠AOD＝∠BOC，已知∠AOD+∠BOC＝236°，可求∠AOD；又∠AOC与∠AOD互为邻补角，即∠AOC+∠AOD＝180°，将∠AOD的度数代入，可求∠AOC．
【解析】解：∵∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠AOD＝∠BOC，
又已知∠AOD+∠BOC＝236°，
∴∠AOD＝118°．
∵∠AOC与∠AOD互为邻补角，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣118°＝62°．
故选：B．
【点睛】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，是一个需要熟记的内容．
7. 如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（　　）
①线段BP的长度是点P到直线l的距离；②线段AP是A点到直线PC的距离；③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长度是点P到直线l的距离
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
【思路点拨】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条线段的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可得解．
【解析】解：∵PB⊥l于点B，
∴线段BP的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误；
∵∠APC＝90°，
∴线段AP的长度是A点到直线PC的距离，故②错误；
根据垂线段最短，在PA，PB，PC三条线段中，PB最短，故③正确；
故选C．
【点睛】本题考查了垂线的性质，解题的关键是掌握垂线的性质．
8. 如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O．若∠BOE＝125°，则∠AOC的度数为（　　）
A．125° B．65° C．55° D．35°
【思路点拨】根据垂直定义可得∠EOD＝90°，然后利用角的和差关系可得∠DOB＝35°，再根据对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD＝35°，即可解答．
【解析】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠BOE＝125°，
∴∠DOB＝∠EOB﹣∠EOD＝35°，
∴∠AOC＝∠BOD＝35°，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
9. 如图，直线a，b相交，则∠1＝∠2，其中的依据是 　对顶角相等　．
【思路点拨】根据对顶角性质即可得出答案．
【解析】解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
其依据是对顶角相等，
故答案为：对顶角相等．
【点睛】本题考查对顶角的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10.如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2＝60°，则∠2＝　30　度．
【思路点拨】根据对顶角相等结合题意计算即可．
【解析】解：∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝60°，
∴∠2＝30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查的是对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
11.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠AOC＝52°24′，则∠EOD的度数等于 　142°24′　．
【思路点拨】由垂线的定义可得∠BOE＝90°，根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝52°24′，最后根据∠EOD＝∠EOB+∠BOD进行计算即可．
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠AOC＝52°24′，
∴∠BOD＝∠AOC＝52°24′，
∴∠EOD＝∠EOB+∠BOD＝90°+52°24′＝142°24′．
故答案为：142°24′．
【点睛】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
12.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
（1）直接写出∠AOC的对顶角和邻补角；
（2）若∠AOC：∠COE＝3：1，求∠AOD的度数．
【思路点拨】（1）根据对顶角、邻补角的定义，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠AOE＝90°，从而求出∠AOC，利用邻补角进行计算即可解答．
【解析】解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD；
（2）∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC：∠COE＝3：1，
∴∠AOC＝∠AOE＝×90°＝67.5°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝112.5°．
【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
能力提升
13. 如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则点C到直线AB的距离是（　　）
A．线段AC的长度 B．线段CB的长度 C．线段AD的长度 D．线段CD的长度
【思路点拨】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答．
【解析】解：点C到AB的距离是线段CD的长度．
故选：D．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键．
14. 下列说法中，不正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于这个角 B．同角的余角相等
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【思路点拨】直接利用余角和补角的性质以及垂线的性质和垂线段的性质逐项判定可得出答案．
【解析】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，错误，故此选项符合题意；
B、同角的余角相等，正确，故此选项不符合题意；
C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故此选项不符合题意；
D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了余角和补角的性质以及垂线的性质和垂线段的性质，正确把握相关定义性质是解题关键．
15. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOC，若OF⊥OB，且∠EOF＝110°，则∠DOF＝　50°　．
【思路点拨】根据垂直定义可得∠BOF＝90°，从而可得∠BOE＝20°，再根据角平分线的定义可得∠BOC＝2∠BOE＝40°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解析】解：∵OF⊥OB，
∴∠BOF＝90°，
∵∠EOF＝110°，
∴∠BOE＝∠EOF﹣∠BOF＝20°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOE＝40°，
∴∠DOF＝180°﹣∠BOF﹣∠BOC＝50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
16. 已知∠A与∠B的两边互相垂直，且2∠A﹣∠B＝30°，则∠A的度数为 　30°或70°　．
【思路点拨】根据题意，列关于∠A和∠B的二元一次方程组，求解即可．
【解析】解：如图一、图二所示，有两种情况．
（1）根据图一：
∵∠C＝∠B＝90°，
∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，即∠A+∠B+180°＝360°，
∴∠A+∠B＝180°
∴，解得．
（2）根据图二：
∵∠C＝∠B＝90°，∠AED＝∠BEC，
∴∠A＝∠B．
∴，解得．
综上，∠A＝30°或70°．
故答案为：30°或70°．
【点睛】本题考查垂线，利用四边形的内角和是360°和三角形的内角和是180°是本题的关键．
17. 如图1，直线AB和CD交于点O，射线OE满足∠DOB＝∠BOE．
（1）若∠AOD＝130°，求∠COE的度数；
（2）如图2，射线OF⊥OE，若∠COE＝70°，求∠AOF的度数．
【思路点拨】（1）先利用平角定义可得∠BOD＝50°，从而可得∠DOB＝∠BOE＝50°，然后再利用平角定义进行计算，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠FOE＝90°，再根据已知和平角定义可得∠DOB＝∠BOE＝55°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解析】解：（1）∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝50°，
∵∠DOB＝∠BOE，
∴∠DOB＝∠BOE＝50°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOB﹣∠BOE＝80°，
∴∠COE的度数为80°；
（2）∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∵∠COE＝70°，∠DOB＝∠BOE，
∴∠DOB＝∠BOE＝＝55°，
∴∠AOF＝180°﹣∠FOE﹣∠BOE＝35°，
∴∠AOF的度数为35°．
【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
18. 如图，直线AB，CD交于点O，已知OF⊥CD，∠COE＝2∠AOC．
（1）若∠BOD＝28°，求∠COE的度数；
（2）若∠BOF＝60°，判断OE与AB的位置关系，并说明理由．
【思路点拨】（1）由对顶角相等得到∠AOC＝28°，则∠COE＝2∠AOC＝56°；
（2）先根据垂线的定义结合∠BOF＝60°得到∠BOD＝30°，则∠AOE＝∠AOC+∠COE＝90°，由此即可得到结论．
【解析】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝28°，
∴∠AOC＝28°，
∵∠COE＝2∠AOC，
∴∠COE＝2×28°＝56°．
（2）OE⊥AB，理由如下：
∵OF⊥CD，
∴∠DOF＝90°．
∵∠BOF＝60°，
∴∠BOD＝30°，
∴∠COE＝2∠AOC＝2∠BOD＝60°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝30°+60°＝90°，即OE⊥AB．
【点睛】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
19. 已知：如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD于O．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，请你过点O画直线OF⊥AB（点F与O不重合），求出∠EOF的度数．
【思路点拨】（1）根据垂直定义可得∠COE＝90°，然后再利用平角定义进行计算即可解答；
（2）根据已知和平角定义可得∠BOD＝30°，再利用对顶角相等可得∠AOC＝30°，然后再利用（1）的结论∠COE＝90°，进行计算即可解答；
（3）分两种情况：当点F在射线OM上，当点F′在射线ON上，分别进行计算即可解答．
【解析】解：（1）∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠AOC＝36°，
∴∠BOE＝180°﹣∠COE﹣∠AOC＝54°，
∴∠BOE的度数为54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：5，∠BOD+∠BOC＝180°，
∴∠BOD＝180°×＝30°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝120°，
∴∠AOE的度数为120°；
（3）如图：
分两种情况：
当点F在射线OM上，
∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
∴∠BOF＝∠DOE＝90°，
∴∠BOF﹣∠BOE＝∠DOE﹣∠BOE，
∴∠EOF＝∠BOD＝30°，
当点F′在射线ON上，
∵∠EOF＝30°，
∴∠EOF′＝180°﹣∠EOF＝150°，
综上所述，∠EOF的度数为30°或150°．
【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
培优拔尖
20．平面内互不重合的三条直线的交点个数是（　　）
A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，3
【思路点拨】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，平行和相交，三条直线互相平行无交点，两条直线平行，第三条直线与它相交，有2个交点，三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点．
【解析】解：由题意画出图形，如图所示：
故选：D．
【点睛】本题考查了直线的交点个数问题．此类题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
21. 2023年无锡市中考体育考试评分标准中，女生立定跳远满分成绩是1.9m，小芳跳出了2.1m，记为+0.2m；若小敏的成绩记为﹣0.3m，则小敏跳远的成绩是 　1.6　m．
【思路点拨】由正数和负数表示的实际意义，即可得到答案．
【解析】解：1.9﹣0.3＝1.6（m）．
∴小敏跳远的成绩是1.6m．
故答案为：1.6．
【点睛】本题考查正数和负数，关键是掌握正数和负数实际意义．
22. 如图所示中有两条直线l1，l2，l1，l2上分别有点A、点B，A与B两点之间长度为30cm，图①、②、③中三处的30cm各有什么不同？
【思路点拨】根据点到直线的距离的定义，两点间距离的定义解答．
【解析】解：图①表示点B到l1的距离为30cm，
图②表示点A到l2的距离为30cm，
图③表示点A、B的距离为30cm．
【点睛】本题考查了垂线，主要利用了点到直线的距离，两点间的距离，熟记概念是解题的关键．
23. 如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）①图中与∠AOC互余的角是 　∠COE，∠AOF　；
②与∠COE互补的角是 　∠EOD，∠BOF　．（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC＝30°，求∠E0F和∠EOD的度数．
解：（2）因为OE⊥AB，
所以∠AOC+　∠COE　＝90°．
因为OF⊥CD，
∠AOC+　∠AOF　＝90°．
因为∠AOC＝30°，
所以∠EOC＝∠AOF＝　60°　，
所以∠EOF＝　150°　．
因为OE⊥AB，
所以∠EOB＝　90°　．
因为∠AOC＝　∠BOD　（对顶角相等），
又∠AOC＝30°，
所以∠BOD＝　30°　，
所以∠EOD＝　120°　．
【思路点拨】（1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可；
（2）根据垂直的定义和余角、补角和对顶角，即可求出答案．
【解析】解：（1）①∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOC+∠COE＝90°，
∠AOC+∠AOF＝90°，
∴图中与∠AOC互余的角是∠COE，∠AOF；
②由①得∠COE＝∠AOF，
∵∠COE+∠EOD＝180°，
∠AOF+∠BOF＝180°，
∴与∠COE互补的角是∠EOD，∠BOF，
故答案为：∠COE，∠AOF；∠EOD，∠BOF；
（2）因为OE⊥AB，
所以∠AOC+∠COE＝90°．
因为OF⊥CD，
∠AOC+∠AOF＝90°．
因为∠AOC＝30°，
所以∠EOC＝∠AOF＝60°，
所以∠EOF＝150°．
因为OE⊥AB，
所以∠EOB＝90°．
因为∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），
又∠AOC＝30°，
所以∠BOD＝30°，
所以∠EOD＝120°．
故答案为：∠COE，∠AOF，60°，150°，90°．∠BOD，30°，120°．
【点睛】本题考查了垂线、余角和补角、对顶角与邻补角的知识，注意结合图形进行求解．
24．综合与实践
如图1，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝72°，射线OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD＝4：5．
（1）求∠EOD的度数．
（2）过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．
（3）如图2，过点O在∠BOC内作射线OG，使∠BOG：∠COG＝4：5，将条件“∠AOC＝72°”改为“∠AOC＝a°”，其余条件不变，问∠EOG是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【思路点拨】（1）设∠BOE＝4x，∠EOD＝5x，根据对顶角的性质可得∠BOD＝∠AOC，由∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝4x+5x＝72°，算出x的值即可得出答案；
（2）分两类情况，①如图3，OF在OE的上方，根据垂直的性质可得∠FOE＝90°，由（1）可得∠EOD＝40°，根据∠FOD＝∠FOE﹣∠EOD即可得答案，②如图4，OF在OE的下方，根据垂直的性质可得∠FOE＝90°，由（1）可得∠EOB＝50°，根据∠FOD＝∠FOE﹣∠EOB即可得答案；
（3）由已知条件∠AOC＝a，根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝a，由邻补角的性质∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣a，由已知∠BOE：∠EOD＝4：5，∠BOG：∠COG＝4：5，可得∠BOE＝∠BOD＝a，＝（180°﹣a），根据∠EOG＝∠BOE+∠BOG＝a+（180°﹣a）即可得出答案．
【解析】解：（1）设∠BOE＝4x，∠EOD＝5x，
∵∠BOD＝∠AOC＝72°，
∴∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝4x+5x＝72°，
∴x＝8°，
∴∠EOD＝40°；
（2）①如图3，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∵∠EOD＝40°，
∴∠FOD＝∠FOE﹣∠EOD＝90°﹣40°＝50°；
②如图4，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∵∠EOB＝32°，
∴∠FOD＝∠FOE﹣∠EOB＝90°﹣32°＝58°；
综上所述，∠FOD的度数为50°或58°；
（3）∠EOG是定值，∠EOG＝80°．
理由如下：
∵∠AOC＝a，
∴∠BOD＝∠AOC＝a，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣a，
∵∠BOE：∠EOD＝4：5，∠BOG：∠COG＝4：5，
∴∠BOE＝∠BOD＝a，＝（180°﹣a），
∴∠EOG＝∠BOE+∠BOG＝a+（180°﹣a）＝80°．
∴∠EOG是定值，∠EOG＝80°．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键．
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