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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第1章二次根式
1.3二次根式的运算（3）卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
A．6 B．16 C． D．
（第1题） （第2题） （第5题） （第8题） （第9题） （第10题）
2．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．将一组数 ，2， ， ， ，…， 按下面的方式进行排列： ，2， ， ， ； ，， ， ；…若 的位置记为（1，4）， 的位置记为（2，2），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A．（7，2） B．（7，5） C．（6，2） D．（6，3）
4．△ABC的两边长分别为2和2 ，第三边上的高等于 ，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C． 或2 D．不能确定
5．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小正方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为 、宽为 ，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（ ）
A．大长方形的长为6 B．大长方形的宽为5
C．大长方形的周长为11 D．大长方形的面积为90
6．等腰三角形的两条边分别为2 和3 ，则这个三角形的周长为（ ）
A．4 +3 B．2 +6
C．4 +3 或2 +6 D．4 +6 或2 +6
7．已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（ ）秒．
A．5 B．4 C．5 D．4
8．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，EC=，则BC的长度是（ ）
A． B．8 C． D．
9．如图，在直角三角形 中， ，点 为 上一动点，连接 .若 的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于M，于N，，则的长是（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．面积为的矩形，若宽为，则长为 ．
12．若一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边长是这条直角边长的2倍，则这个直角三角形的面积为 .
13．一个三角形的三边长分别为
，
，
，则这个三角形的面积为
14．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝9，AD⊥BC于D，∠ACB＝45°，则BC的长为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图是一个长为、宽为、高为的长方体木块一只蚂蚁要沿着长方体的表面从左下角的点处爬行至右上角的点处，那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为 ．
16．如图，锐角三角形ABC中，，，，则的面积为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～21题每题8分，第22～24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：秒）与细线长度l（单位：m）之间满足关系，
（1）当所花时间为秒时，求此时细线的长度．
（2）当细线的长度为2m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位，，）
18．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝ ，CD＝8，AD＝10.
（1）求∠BCD的度数；
（2）求四边形ABCD的面积.
19． 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出几块这样的木条，并说明理由．
20．三角形的周长为 ，面积为 ，已知两边的长分别为 和 ，求：
（1）第三边的长；
（2）第三边上的高．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接DE，DF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）连接EF交CD于点G，若AC＝，当AD＝CE时，求EG2的值．
22．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 、 、 ，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ．
（2）思维拓展：
我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别为 a、2 a、 a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
（3）探索创新：
若△ABC三边的长分别为 、 、2 （m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
23．在中，，点为直线BC上一动点，，．
（1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
（2）如图2，延长至点使得，连接，求证：；
（3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．
24．如图1，在中，，，点D是边上一动点，连接，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，，点M是的中点．
（1）若，求四边形的面积；
（2）在（1）的条件下，求当点D从点B运动至点C的过程中，点M运动的路径长．
（3）如图2，连接并延长交射线于点F，设，，求y与x之间的函数关系式．
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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第1章二次根式
1.3二次根式的运算（3）（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
A．6 B．16 C． D．
【答案】D
【解析】∵，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，
∴三个小正方形的边长分别为，，，
∴大正方形的边长为：+-=+，
∴大正方形的面积为（+）2=20+，
∴ 空白部分的面积=20+-（18+12-2）=-8；
故答案为：D.
2．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为 ，
故答案为：B.
3．将一组数 ，2， ， ， ，…， 按下面的方式进行排列： ，2， ， ， ； ，， ， ；…若 的位置记为（1，4）， 的位置记为（2，2），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A．（7，2） B．（7，5） C．（6，2） D．（6，3）
【答案】A
【解析】由题意可得，
这组数中最大的有理数是 ，
的位置记为（1，4）， 的位置记为（2，2），
∴ 的位置记为（7，2），
故选A．
4．△ABC的两边长分别为2和2 ，第三边上的高等于 ，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C． 或2 D．不能确定
【答案】C
【解析】如图1，
根据题意，AB=2、AC=2 ，AD= ，
∴BD= =1，CD= =3，
则S△ABC= ×（1+3）× =2 ；
如图2，
S△ABC= ×（3﹣1）× = ，
故选：C．
5．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小正方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为 、宽为 ，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（ ）
A．大长方形的长为6 B．大长方形的宽为5
C．大长方形的周长为11 D．大长方形的面积为90
【答案】C
【解析】∵小长方形的长为 =3 、宽为 =2 ，
∴大长方形的长为： ，大长方形的宽为： ，
大长方形的周长是： ，大长方形的面积为： ，
故选项C错误，选项A、B、D正确；
故选C．
6．等腰三角形的两条边分别为2 和3 ，则这个三角形的周长为（ ）
A．4 +3 B．2 +6
C．4 +3 或2 +6 D．4 +6 或2 +6
【答案】C
【解析】2 是腰长时，三角形的三边分别为2 、2 、3 ，
能组成三角形，
周长=2 +2 +3 =4 +3 ；
2 是底边时，三角形的三边分别为2 、3 、3 ，
能组成三角形，
周长=2 +3 +3 =2 +6 ，
综上所述，这个三角形的周长为4 +3 或2 +6 ．
故选C．
7．已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（ ）秒．
A．5 B．4 C．5 D．4
【答案】A
【解析】如图，作点关于y轴的对称点，
过点B作x轴的垂线，在此垂线上取一点C使，
∴，
连接，交y轴于D，
当点，N，M，C在同一条线上时，最小，最小值为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
中，，
∴，
∴点，
∴的解析式为，
当时，则，
∴，
，，
∴点P运动花费的时间最短为．
故答案为：A.
8．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，EC=，则BC的长度是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【解析】∵D为AB的中点，
∴
在中，
在中，
故答案为：C.
9．如图，在直角三角形 中， ，点 为 上一动点，连接 .若 的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】以 为对称轴作点 的对称点 ，过点 作 ，垂足为点E，过 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，如图所示，
在 中， ∴
在 ，
∴ ∴
当 时， 最短， 故 的最小值为
连接 ，得 ，
∴
∵ ， ∴
∴ ， ∴
∴ 的最小值为
故答案为：B.
10．如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于M，于N，，则的长是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【解析】∵DG：GE=1：3，GE=GF，
∴DE=4DG，GF=3DG，
∵∠D=90°，
∴DF=DG，
∴EF=DG=，
∴DG=，
∴DF=4，
∵S△EGF=EG·DF=EG·QM+FG·QN=EG（QM+QN），
∴QM+QN=DF=4.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．面积为的矩形，若宽为，则长为 ．
【答案】
【解析】由题意，可知该矩形的长为：．
故答案为：．
12．若一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边长是这条直角边长的2倍，则这个直角三角形的面积为 .
【答案】10
【解析】.
故答案为：10.
13．一个三角形的三边长分别为
，
，
，则这个三角形的面积为
【答案】
【解析】∵三角形的三边长分别为
，
，
，
∴（
）2+（
）2=8=（
）2，
∴此三角形为直角三角形，
∴三角形的面积=
×
×
=
.
故答案为：
.
14．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝9，AD⊥BC于D，∠ACB＝45°，则BC的长为 ．
【答案】21
【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ACB=45°，∴∠DAC=90°-∠ACB=45°，∴AD=DC，
在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，AC=9，∴AD=CD=9，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，AB=15，
∴BD=12，
∴BC=BD+DC=12+9=21，
故答案为：21.
15．如图是一个长为、宽为、高为的长方体木块一只蚂蚁要沿着长方体的表面从左下角的点处爬行至右上角的点处，那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为 ．
【答案】
【解析】A到B的最短距离，为长方体展开图中，AB的距离。
则从前面上面展开：AB=
从前面右边展开：AB=
展开左边的上面：AB=，综上最小为：
故答案为：.
16．如图，锐角三角形ABC中，，，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，
过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到D，使得CD=AC，则∠CAD=∠D，
∵∠ACB=∠D+∠CAD，∴∠ACB=2∠D，
∵，∴∠B=∠D，
∴AB=AD，∴BE=DE，
∵，∴BD=BC+CD=BC+AC=8，
∴BE=BD=4，∴，
由勾股定理可得：AE2+CE2=AC2，
∴，
解得：BC=5，
∴S△ABC=×BC×AE=×5×=，
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～21题每题8分，第22～24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：秒）与细线长度l（单位：m）之间满足关系，
（1）当所花时间为秒时，求此时细线的长度．
（2）当细线的长度为2m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位，，）
【答案】（1）解：当时，而，
∴，
解得：；
（2）解：由题可知，
则小重物来回摆动一次所用的时间为；
．
答：小重物来回摆动一次所用的时向约为．
18．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝ ，CD＝8，AD＝10.
（1）求∠BCD的度数；
（2）求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解：连接 ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ， ，
， ，
，
为直角三角形，即 ，
则 ；
（2）解：根据题意得： .
19． 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出几块这样的木条，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）解：剩余木条的长为，宽为，
∵，，
∴能截出个木条．
20．三角形的周长为 ，面积为 ，已知两边的长分别为 和 ，求：
（1）第三边的长；
（2）第三边上的高．
【答案】（1）解： 三角形周长为 ，两边长分别为为 和 ，
第三边的长是： ；
故第三边的长为： ；
（2）解：设第三边上的高为 ，
则 ，
解得： ，
故第三边上的高为： ．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接DE，DF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）连接EF交CD于点G，若AC＝，当AD＝CE时，求EG2的值．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵D是AB的中点，
∴∠CDA＝90°，∠FCD＝∠A＝45°，CD＝AD＝BD，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠CDA＝90°，
∴∠FDC＝∠EDA，
在△DFC与△DEA中，
，
∴△DFC≌△DEA（ASA），
∴ DE=DF ，
即 DE=DF ；
（2）解：由（1）可得，△DFC≌△DEA，
∴DF＝DE，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
∴∠CED＝∠EDF+∠CEF＝45°+∠CEF，
又∠EGD＝∠DCE+∠CEF＝45°+∠CEF，
∴∠EGD＝∠CED，
∵CE＝AD，AD＝CD，
∴CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠EGD，
∴EG＝DE，
过E作EQ⊥DC于Q，如图1，
∴DQ＝GQ，且∠QCE＝∠QEC＝45°，∴CQ＝EQ，
∵AC＝，∴，
同理，CQ＝QE＝，
∴DQ＝CD﹣CQ＝
在中，
．
22．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 、 、 ，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ．
（2）思维拓展：
我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别为 a、2 a、 a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
（3）探索创新：
若△ABC三边的长分别为 、 、2 （m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
【答案】（1）
（2）解：作图如图②，
∴
（3）解：构造△ABC所示， ， ，
∴
【解析】（1） ．
故答案为：
23．在中，，点为直线BC上一动点，，．
（1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
（2）如图2，延长至点使得，连接，求证：；
（3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．
【答案】（1）解：为中点，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
如图，取的中点，连接，令、交于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
点的轨迹为直线，交于，连接，再将该直线沿翻折可得到的轨迹，则，此时，
作交的延长线于，
，
，，，
，，
，
作交于，
，
，
，
，，
，
，
点关于直线的对称点，
，，，
当时，最小，
，
，
，
，
，
．
24．如图1，在中，，，点D是边上一动点，连接，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，，点M是的中点．
（1）若，求四边形的面积；
（2）在（1）的条件下，求当点D从点B运动至点C的过程中，点M运动的路径长．
（3）如图2，连接并延长交射线于点F，设，，求y与x之间的函数关系式．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵把绕点A逆时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴点M在的垂直平分线上，
如图，延长，交于点H，过点M作的垂直平分线，交于点F，交于点G，
∵垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
即F为的中点，
∵，为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
即G为的中点，
∴当点D在点B时，点M在点F处，点D在点C处时，点M在点G处，
∴点D在边上运动时，点M的运动轨迹为线段，
∴点M运动的路径长为；
（3）解：连接，，如图所示：
根据解析（2）可知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，
，
即．
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